1、北京市丰台区2020-2021学年高一数学上学期期中试题（B卷）（含解析）第卷（选择题 共40分）一、选择题:共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 已知集合，那么下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求解A中的方程，得到集合A=0,1，进而作出判定.【详解】，故选A【点睛】本题考查元素与集合的关系，是容易题.2. 已知命题 ，那么命题的否定为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】命题是特称命题，其否定为全称命题，需修改量词，否定原命题的结论，即可得到命题的否定.【详解】命题p是存在量词命题，其
2、否定是全称量词命题，即为“，”故选：C.3. 已知函数的定义域，值域，下列选项中，能表示的图象的只可能是()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义，中每一个自变量有且仅有中一个函数值与之对应，据此可作出选择.【详解】根据函数的定义，观察图象，对于选项A，B，值域为，不符合题意，而C中当时，一个自变量对应两个不同的，不是函数故选D.【点睛】本题考查函数定义，考查基本分析判断能力.4. 下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）A. B. ，C. D. 【答案】C【解析】【分析】相同函数具有相同的定义域、值域、对应关系，对四个选项逐个分析，可选出答案.【详解】对于A，函数的定
3、义域为，函数的定义域为，两个函数的定义域不同，故二者不是同一函数；对于B，由，可得，解得，即该函数的定义域为，由，可得，解得或，即该函数的定义域为，两个函数的定义域不同，故二者不是同一函数；对于C，所以是相同函数；对于D，的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，故二者不是同一函数.故选：C.【点睛】本题考查相同函数的判断，考查学生的推理能力，属于基础题.5. 已知函数，那么 （ ）A. 0B. 2C. 4D. 8【答案】C【解析】【分析】根据分段函数的解析式，代入可得选项.【详解】因为，所以，所以，所以，故选：C.6. 已知，那么函数的最小值是（ ）A. 5B. 6C. 4D. 8【答案
4、】B【解析】【分析】根据基本不等式可求得最小值【详解】，当且仅当，即时等号成立的最小值是6故选：B【点睛】本题考查用基本不等式求最值，利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.7. 已知集合，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不
5、必要条件【答案】A【解析】【分析】本题首先可判断“”能否证得“”，然后判断“”能否证得“”，即可得出结果.【详解】当时，集合，满足，故“”可以证得“”， “”是“”的充分条件，若，则的值为、都可，故“”不是“”的必要条件，综上所述，“”是“”的充分不必要条件，故选：A.【点睛】本题考查充分条件以及必要条件的判定，给出若则，如果可以证得，则说明是的充分条件，如果可以证得，则说明是的必要条件，考查推理能力，是中档题.8. 下列四个函数中，在上为增函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】A. 利用一次函数的性质判断；B. 利用二次函数的性质判断；C. 利用反比例函数的性质判断
6、；D. 由，利用一次函数的性质判断；【详解】A. 由一次函数性质知：在上为减函数，故错误；B. 由二次函数的性质知：在递减，在 上递增，故错误；C. 由反比例函数的性质知：在 上递增，在递增，则在上为增函数，故正确；D. 由知：函数在上为减函数，故错误；故选：C【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数和反比例函数的单调性，属于基础题.9. 对于任意实数，以下四个命题中正确的有（ ）若，则 若则若则 若，则A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个【答案】C【解析】【分析】根据不等式性质，逐个分析即可得解.【详解】对，若，则有，所以，故正确；对，若根据不等式性质有，故正确；对，若若则，故错误； 对，
7、若，若同号，则，故错误.故选：C.10. 某家庭利用十一长假外出自驾游，为保证行车顺利，每次加油都把油箱加满，下表记录了该家庭用车相邻两次加油时的情况.（注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.）在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ）加油时间加油量（升）加油时的累计里程（千米）2020年10月1日12320002020年10月6日4832600A. 6升B. 8升C. 10升D. 12升【答案】B【解析】【分析】根据已知得第二次的加油量为该段时间内的耗油量，再求得行驶的里程数可得选项.【详解】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量V=48升.而
8、这段时间内行驶的里程数S =32600-32000 =600千米.所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 升，故选：B.第卷（非选择题 共60分）二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分.11. 已知集合，则集合的子集的个数为_，集合真子集的个数为_.【答案】 (1). 8 (2). 7【解析】【分析】根据“若一个集合中有n个元素，则这个集合有个子集，有个真子集”，即可得出答案.【详解】因为集合，所以集合有3个元素，故集合M有个子集，有个真子集，故答案为：8；7.12. 计算：_.【答案】0【解析】【分析】由指数幂的运算可得答案.【详解】因为，故答案：0.13. 已知偶函数部分图
9、象如图所示，且，则不等式的解集为_.【答案】【解析】【分析】由函数的图象得出当时，再由函数是偶函数，其图象的性质，即可得出答案.【详解】是偶函数，且，所以 ，由图象得当时，.又函数是偶函数，其图像关于y轴对称，当时，所以不等式的解集为.故答案为：.14. 若幂函数的图象过点，则该函数的解析式为_.【答案】.【解析】【分析】设，根据函数过点代入求出参数即可.【详解】解：设，其图象过点，则，所以，即函数解析式为.故答案为：.【点睛】本题考查待定系数法求幂函数解析式，属于基础题.15. 已知方程的两个实数根分别为，则不等式 的解集为 _.【答案】【解析】【分析】由题意得方程两根为和1，由根与系数的关
10、系可得，代入即可得解.【详解】方程的两根为和1，由根与系数的关系可得，可变为，即，解得.故答案为：.16. 已知函数，给出下列四个结论：函数是偶函数；函数是增函数；函数 定义域为，区间，若任意，都有，则在区间上单调递增； 定义域为， “对于任意，总有 (为常数)”是“函数 在区间上的最小值为”的必要不充分条件.其中正确结论的序号是_.【答案】【解析】【分析】对于，根据函数奇偶性的定义可判断；对于，根据函数的单调性的定义可判断；对于，根据函数的单调性的定义可判断；对于，由函数的最值的定义和充分必要条件的定义可判断.【详解】对于，函数，所以，所以函数是偶函数，故正确；对于，函数在和上单调递增， 故
11、不正确；对于，任意，不妨设，因为，所以有，根据函数的单调性的定义得函数在区间上单调递增；对于，“对于任意，总有 (为常数)”中，未指明“，有”，所以“函数 在区间上的最小值为”不成立，而函数 在区间上的最小值为 ，总有 (为常数) ，所以“对于任意，总有 (为常数)”是“函数 在区间上的最小值为”的必要不充分条件.故成立，故答案为：.三、解答题:共4小题；共36分17. 集合，（1）求；（2）求【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）解不等式求得集合，由此求得.（2）先求得集合的补集，然后求这个补集和集合的交集.【详解】（1），.（2），或，.【点睛】本小题主要考查集合交集、并集和补集
12、的概念及运算，属于基础题.18. 已知函数.（1）判断点是否在的图象上，并说明理由；（2）当时，求的值；（3）结合函数图象直接写出该函数的对称中心.【答案】（1）不在，理由见解析；（2）11；（3）.【解析】【分析】(1)代入计算可得点是否在图象上；(2)由已知得，解之可得答案.(3) 由函数，可得函数的对称中心.【详解】(1)，点不在的图象上；(2)当时， ，解得，(3) 因为函数，所以函数的对称中心为.19. 已知函数.（1）当时，画出函数的图象并写出值域； （2）若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围.【答案】（1）图象见解析，；（2）或【解析】【分析】（1）根据二次函数图象可求得值
13、域；（2）由二次函数的对称轴可以建立关于a的不等式，从而求得范围.【详解】（1）作出图象如下图所示： 所以函数的值域为. （2）二次函数()的对称轴为，因为函数()在区间上单调，所以或，解得或综上，的取值范围是或.20. 2018年10月24日，世界上最长的跨海大桥-港珠澳大桥正式通车.在一般情况下，大桥上的车流速度（单位：千米/时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数.当桥下的车流密度达到辆/千米时，将造成堵塞，此时车流速度为；当车流密度不超过辆/千米时，车流速度为千米/时.研究表明：当时，车流速度是车流密度的一次函数.（1）当时，求函数的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时）可以达到最大？并求出最大值.【答案】（1）；（2）当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时.【解析】【分析】（1）先根据题意建立方程组求得，再求函数的表达式即可；（2）先求出，再分和求函数的最大值，最后给出答案即可.【详解】解：（1）由题意，当时，；当时，设.因为，解得所以，（2）由（1）得， 当时，的最大值为；当时，则当时，的最大值为.综上所述：当车流密度为110辆/千米时，车流量最大，最大值为6050辆/时.【点睛】本题考查确定实际问题中的函数关系、根据分段函数的解析式求最值，还考查了分类讨论的数学思想，是中档题.- 13 -
