1、山东省济宁市第一中学2020届高三数学上学期第二阶段检测试题（含解析）注意事项：1.本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟.2.选择题答案请填涂在答题卡的相应位置，非选择题答案必须用黑色签字笔写在规定的答题区域内，否则不得分.第卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合，则的子集个数为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解出集合中不等式即可【详解】因为， 所以所以的子集个数为故选：C【点睛】含有个元素的集合的子集个数为.2.已知复数，则在复平
2、面上对应的点所在象限是（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数的运算法则算出即可【详解】，在复平面对应的点的坐标为，所在象限是第四象限.故选：D【点睛】本题考查的是复数的运算及几何意义，较简单.3.在等差数列an中，若a35，S424，则a9（ ）A 5B. 7C. 9D. 11【答案】B【解析】【分析】由a35，S424用通项公式和前项和公式列出关于,的方程，得到的通项公式，从而求出答案.【详解】数列an为等差数列，设首项为a1，公差为d，a35，S424，a1+2d5，4a1+d24，联立解得a19，d2，则a99287故选：B【点睛
3、】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式的应用，属于基础题.4.下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】逐一判断每个函数是否满足条件即可【详解】B 中函数是非奇非偶函数，D 中函数是偶函数，C 中函数是奇函数，但不在定义域内递增，只有A 中函数符合题意故选：A【点睛】本题考查的是函数的单调性和奇偶性的判断，较简单5.，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用诱导公式求解，再利用二倍角公式求解即可【详解】因为，所以，所以.故选.【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式，熟记公式是关键，是基础题6.已知向量，则“”
4、是为钝角的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由充分条件与必要条件的概念，以及向量的夹角公式，即可得出结果.【详解】因为，所以，则，若，则，但当时， 反向，夹角为；所以由不能推出为钝角；反之，若为钝角，则且，即且，能推出；因此，“”是为钝角的必要不充分条件.【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判定，熟记概念即可，属于常考题型.7.若向量的夹角为，且，则向量与向量的夹角为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合数量积公式可求得、的值，代入向量夹角公式即可求解【详解】设向量与的夹角为，因为的夹角为，
5、且，所以，所以，又因为所以，故选B【点睛】本题考查向量的数量积公式，向量模、夹角的求法，考查化简计算的能力，属基础题8.函数在单调递增，且关于对称，若，则的的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由于关于对称,则关于轴对称,由于,故,故选D.9.设函数，若，( )A. 2B. -2C. 2019D. -2019【答案】B【解析】【分析】先判断函数奇偶性，进而可求出函数值,【详解】因为，所以，因此函数为奇函数，又，所以.故选B【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用，熟记函数奇偶性的定义即可，属于基础题型.10.函数（其中，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（
6、 ）A. 向左平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】B【解析】【分析】先由图象求出的解析式，然后根据三角函数的平移变换选出答案即可【详解】由题意知，由于，故，所以，由，求得，故，故需将图像上所有点向左平移个单位长度得到.故选：B【点睛】本题考查的是根据三角函数的图象求解析式及图象的平移变换，较简单.11.在中，是的中点，点在上且满足，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足可得：P是三角形ABC的重心，根据重心的性质，即可求解【详解】解：M是BC的中点，
7、知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足P是三角形ABC的重心 又AM1故选B【点睛】判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法：定义：三条中线的交点性质：或取得最小值坐标法：P点坐标是三个顶点坐标的平均数12.定义在R上的函数满足：，则不等式 的解集为（ ）A. (0,+)B. (,0)(3,+ )C. (,0)(0,+)D. (3,+ )【答案】A【解析】【分析】由变形得，构造函数，利用导数得其单调性，即可得到不等式的解集【详解】由变形得，设，所以原不等式等价于，因，所以在定义域 上递增，由，得，故选A【点睛】本题主要考查构造函数，利用导数判断其单调性，用单调性定义解不等式，意在考查学
8、生的数学建模能力第卷（共 90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分13.若等差数列的前5项和为25，则_【答案】【解析】由等差数列前n项和公式结合等差数列的性质可得：.14.已知，且，共线，则向量在方向上的投影为_【答案】【解析】【分析】根据向量共线求得；再利用求得结果【详解】由与共线得：，解得：向量在方向上的投影为：本题正确结果：【点睛】本题考查向量共线定理、向量在方向上的投影的求解问题，属于基础题.15.设，将的图像向右平移个单位长度，得到的图像，若是偶函数，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】先化简函数f(x),再求出，由题得，给k赋值即得解.【详解】，将的图像向右平移个单位长度得
9、到，因为函数g(x)是偶函数，所以，所以故答案为【点睛】本题主要考查三角恒等变换和图像的变换，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.已知函数，则当函数恰有两个不同的零点时，实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题方程恰有两个不同的实数根，得与有2个交点，利用数形结合得a的不等式求解即可【详解】由题可知方程恰有两个不同的实数根，所以与有2个交点，因为表示直线的斜率，当时，设切点坐标为，所以切线方程为，而切线过原点，所以，所以直线的斜率为，直线与平行，所以直线的斜率为，所以实数的取值范围是.故答案为【点睛】本题考查函数与方程的零点，考查数形结合思
10、想，考查切线方程，准确转化题意是关键，是中档题，注意临界位置的开闭，是易错题三、解答题：本题共6个大题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知函数（a0且a1）在1，2上的最大值与最小值之和为20，记（1）求a的值；（2）证明；（3）求的值【答案】（1）4； （2）见解析； （3）.【解析】【分析】（1）由指数函数且的单调性和题设条件，得到，即可求解；（2）由（1）知，结合指数幂的运算性质，即可求解.（3）由（2）的结论，得到，即可求解.【详解】（1）由题意，函数且在1，2上的最大值与最小值之和为20，因为指数函数且在1，2上单调递增或单调递减，可得，得或（舍去），所以.（2
11、）由（1）知，则，所以.（3）由（2）知，所以，即.【点睛】本题主要考查了指数函数的图象与性质，以及函数值的计算，其中解答中熟记指数函数的性质，以及指数幂的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.18.已知函数（1）求函数的最小正周期和对称中心坐标；（2）讨论在区间上的单调性【答案】（1），；（2）函数的单调递增区间为，单调递减区间为.【解析】【分析】(1)先利用二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，可得,结合正弦函数周期公式及对称性可求.(2)由(1)化简得结果，结合正弦函数的单调性可求解.【详解】（1）由题意，函数，所以函数的最小正周期，令，即，即，解得
12、所以函数的对称中心为.（2）由（1）可知，令，解得，令，解得，又因为，当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为.【点睛】本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式在三角化简中的应用及正弦函数的性质的简单应用，属于基础试题19.已知中，角的对边分别为，（1）求角的大小；（2）若，求的面积.【答案】(1) （2）【解析】试题分析：（1）由根据正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式可得，可得，即可得解的值；（2）由已知及余弦定理得解得的值，进而利用三角形面积公式即可得结果.试题解析：(1)，由正弦定理可得又（2）由余弦定理可得又 的面积为20.为数列的前项和.已知0，=.（）求的通项
13、公式；（）设,求数列的前项和.【答案】（）（）【解析】【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求an的通项公式：（）求出bn，利用裂项法即可求数列bn的前n项和【详解】解：（I）由an2+2an4Sn+3，可知an+12+2an+14Sn+1+3两式相减得an+12an2+2（an+1an）4an+1，即2（an+1+an）an+12an2（an+1+an）（an+1an），an0，an+1an2，a12+2a14a1+3，a11（舍）或a13，则an是首项为3，公差d2的等差数列，an的通项公式an3+2（n1）2n+1：（）an2n+1，bn（），数列bn的前n项和Tn（）（）.【
14、点睛】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键21.某品牌电脑体验店预计全年购入台电脑，已知该品牌电脑的进价为元/台，为节约资金决定分批购入，若每批都购入（为正整数）台，且每批需付运费元，储存购入的电脑全年所付保管费与每批购入电脑的总价值（不含运费）成正比（比例系数为），若每批购入台，则全年需付运费和保管费元.（1）记全年所付运费和保管费之和为元，求关于的函数.（2）若要使全年用于支付运费和保管费的资金最少，则每批应购入电脑多少台？【答案】（1）；（2）台.【解析】【分析】（1）若每批购入台，则需要进购批，可计算出总运费和电脑的保管费，可得出的值，若每批购入台，
15、则需要进购批，进而可得出关于的函数解析式；（2）利用基本不等式求出的最小值，利用等号成立的条件求出的值，即可得解.【详解】（1）若每批购入台，则需要进购批，总运费为元，每批购入电脑的总价值为元，由题意可得，解得，若每批购入台，则需要进购批，所以，；（2）由基本不等式可得（元），当且仅当时，即当时，等号成立.因此，当每批购入台电脑时，全年用于支付运费和保管费的资金最少.【点睛】本题考查函数模型的运用，考查基本不等式的应用，解答的关键就是求出函数解析式，考查计算能力，属于中等题.22.已知为常数，函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数有两个不同的零点.（i）求实数的取值范围；（ii）证明：.【
16、答案】(1)见解析.（2）（i）；证明见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）对函数求导得，对实常数分情况讨论，由 的正负得出函数的单调性；（2）（）由（1）的讨论，得出，再根据极小值为负数，得出的范围；（）由，得，即，令，对求导，得出单调性，要证，只需证就可得出结论，构造，求导得出单调性转化求解即可试题解析：（1）.当时，函数在上单调递增；当时，由，得.若，则，函数在上单调递增；若，则，函数在上单调递减. （2）（）由（1）知，当时，单调递增，没有两个不同的零点.当时，在处取得极小值.由，得.所以的取值范围为.（）由，得，即.所以.令，则.当时，；当时，.所以在递减，在递增，所以.要证，只需证.因为在递增，所以只需证.因为，只需证，即证.令，则.因为，所以，即在上单调递减.所以，即，所以成立.点睛：本题主要考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数零点的判断，函数最值的应用，属于难题考查分析问题解决问题的能力