1、高考实际应用题一直是高考当中的重点与难点，虽有较为清晰的数学概念分析，但是如果学生对应用题当中的数学公式的基本应用没有一个较为清晰的理解，往往会陷入到应用的“陷阱”当中.因此良好的解题思路，以及正确的解题方式，是高考数学应用解题的重点.高考实际应用问题常常在函数、数列、三角函数和三角形、不等式中体现.因此对于高考数学应用题的解题方向来看，我们应当从构建具体的思维应用模式出发.1 与函数相关的实际应用问题函数是高中数学的主干和核心知识，以函数知识为背景的应用题一直活跃在高考的舞台上，引入关注，随着知识的更新，函数应用问题中的模型也越来越新颖.高考函数应用问题的热点模型主要有：一次、二次函数型，三
2、次函数型，指数、对数函数型，分段函数型等.解函数应用问题的步骤(四步八字)：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义例1 【2015江苏高考】 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米
3、，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以 所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数 （其中a，b为常数）模型.（1）求a，b的值；（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.MNl2l1xyOCPl（1）由题意知，点，的坐标分别为，将其分别代入，得，解得（2）由（1）知，（），则点的坐标为，设在点处的切线交，轴分别于，点，则的方程为，由此得，故，设，则令，解得当时，是减函数；当时，是增函数从而，当时，函数有极小值，也是最小值，所以，此时答：当时，公路的长度最短，最
4、短长度为千米点评：解决实际应用问题首先要弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型，然后将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；本题已直接给出模型，只需确定其待定参数即可.求解数学模型，得出数学结论，这一步骤在应用题中要求不高，难度中等偏下，本题是一个简单的利用导数求最值的问题.首先利用导数的几何意义是切点处切线的斜率，然后再利用导数求极值与最值.例2【惠安一中、养正中学、安溪一中2015届高三上学期期中联合考试】中国正在成为汽车生产大国，汽车保有量大增，交通拥堵日趋严重.某市有关部门进行了调研，相关数据显示，从上午点到中午点，车辆通
5、过该市某一路段的用时(分钟)与车辆进入该路段的时刻之间关系可近似地用如下函数给出：求从上午点到中午点，车辆通过该路段用时最多的时刻解析：当时，故当，即时，有最大值，当时，是增函数，故时，当时， 故时，综上可知，车辆通过该路段用时最多的时刻为上午点点评：很多实际问题中变量间的关系，不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成分段函数，如出租车票价与路程之间的关系，就是分段函数分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段变量的范围，特别是端点值例3一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比
6、相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？(3)今后最多还能砍伐多少年？点评：增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型(其中N是基础数，p为增长率，x为时间)和幂函数模型(其中a为基础数，x为增长率，n为时间)的形式解题时，往往用到对数运算和开方运算，要注意用已知给定的值对应求解2 与数列相关的实际应用问题在高考中，经常会遇到求增长率和利息、分期付款等实际问题，对于这类问题，常常构造等差或等比数列模型来求解.数列应用题常见模型：（1）等
7、差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差；（2）等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比；（3）递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是与的递推关系，还是前n项和与之间的递推关系例4某渔业公司年初用98万元购得一艘捕渔船，第一年各种费用12万元，以后每年都增加4万元，每年的捕鱼收益50万元（1）第几年开始获利？ (2)若干年后，有两种处理方案：年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船.请问：选择哪种方案更好？点评
8、：用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时，要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后经过数学推理与计算得出的结果，放回到实际问题中进行检验，最终得出结论处理分期付款问题的注意事项：(1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息(注：最后一次付款没有利息)；(2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所生的利息之和等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可以顺利建立等量关系3 与不等式相关的实际应用问题不等式型
9、的数学实际应用问题，常考两种类型：一是由题意建立数学模型，设立目标函数，列出不等式组，再作出不等式组作代表的平面区域图形（即可行解区域），根据区域来求出目标函数最值，即是使用线性规划的方法求出最值；二是考查以“实际问题为背景”与函数的极值问题相结合成为高考的热点和难点，可以巧妙利用不等式模型进行处理.例5【2015届湖北省襄阳市第五中学高三第一次质检】某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：年产量/亩年种植成本/亩每吨售价黄瓜4吨12万元055万元韭菜6吨09万元03万元为使一年的种植总利润（总利润总销售收入总种植成本
10、）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为_【答案】30, 20做出可行域，求得平移直线可知直线经过点即时，取得最大值.点评：与线性规划有关的应用问题，通常涉及最优化问题如用料最省、获利最大等，其解题步骤是：设未知数，确定线性约束条件及目标函数；转化为线性规划模型；解该线性规划问题，求出最优解；调整最优解例6【2016届江苏省清江中学高三12月月考】某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，长要超过4米（不含4米），为的中点，到的距离比的长小1米，（1）若，将支架的总长度表示为的函数，并写出函数的定义域（注：支架的总长度为图中线段、和的长度之和）（2）如何设计、的长，可使支架总长度
11、最短思路分析：（1）支架的总长度为，所以关键找出之间关系，这可利用余弦定理推导：由得，最后再由条件得（2）求支架的总长度最值，可设化为对勾函数，再利用基本不等式求最值点评：充分发挥转化思想，巧建不等式数学模型，实施实际应用问题向数学问题的有效转化.“等价转化”是处理复杂问题的典型方法之一，主要目的是将复杂问题、未知问题转化成简单问题和已知问题，达到完美解决实际问题的效果. 利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”常用的方法为拆、凑、代换、平方4 与三角函数、三角形相关的实际应用问题三角函数既是解决生产实际问题的工具，又是进一步学习的基础，高考中常会考察与三
12、角函数有关的实际问题，需要建立三角函数模型将实际问题转化为数学问题.解决三角实际问题的关键有三点：一是仔细审题，准确理解题意，分析条件和结论，明确问题的实际背景，理清问题中各个量之间的数量关系；二是合理选取参变量，设定变元，寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系；三是建立与求解相应的三角函数模型.将文字语言、图形语言、符号语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，求解数学模型，得出数学结论.例7【2016届安徽省六安市一中高三上学期第三次月考】如图，直角三角形ABC中，点M，N分别在边AB和AC上（M点和B点不重合），将沿MN翻折，变为，使顶点落在边BC上（点和B点
13、不重合），设（1）用表示线段AM的长度，并写出的取值范围；（2）求线段长度的最小值思路分析：这是解三角形问题（1）由题意，在中，由直角三角形的性质可解得；（2），在中，由正弦定理可得，再由三角函数公式可得，最大值可得，即的最小值可得（2）在中，令，当且仅当，时，t有最大值，时，有最小值点评：解三角形应用题常有以下两种情形：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.综合上面四种题型，可以采取以下几种技巧和方法：对实际问题进行模式识别，涉及增长率的实际问题，可以考虑数列的相关模型；关于产量、物价、路程等实际问题，通常会联系到方程、函数、不等式的相关模型；对于测量、航行，物理中的振动、摆动问题，可以从三角函数的相关知识考虑.运用数形结合法解应用题.运用数学的建模思维解应用题.