1、3.2 函数的基本性质l 考纲要求1掌握求函数单调性与单调区间的求解方法，并能利用函数的单调性求最值2理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义3了解函数奇偶性的含义4能够运用函数图象理解和研究函数的性质l 知识解读知识点函数的单调性1单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函
2、数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数yf(x)的单调区间.3复合函数的单调性对于复合函数yfg(x)，若tg(x)在区间(a，b)上是单调函数，且yf(t)在区间(g(a)，g(b)或(g(b)，g(a)上是单调函数，若tg(x)与yf(t)的单调性相同，则yfg(x)为增函数；若tg(x)与yf(t)的单调性相反，则yfg(x)为减函数简称“同增异减”知识点函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M(3)对于任意xI，都有f(x)M；(4)存在x0I，使得
3、f(x0)M结论M为最大值M为最小值知识点函数的奇偶性1函数的奇偶性的定义奇偶性定义图象特点奇函数设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)，则这个函数叫做奇函数关于坐标原点对称偶函数设函数yg(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且g(x)g(x)，则这个函数叫做偶函数关于y轴对称2奇偶性的重要结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)0，xD，其中定义域D是关于原点对称的非空
4、数集(4)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇3对称性的3个常用结论(1)若函数yf(xa)是偶函数，即f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称；(3)若函数yf(xb)是奇函数，即f(xb)f(xb)0，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称l 题型讲解题型一、函数的单调性例1函数yx22x3(x0)的单调增区间为_例2函数f(x)|x2|x的单调递减区间是()A1,2 B1,0C0,2 D2，)例3若函数f(x)ax1在R上递减，则函数g(x
5、)a(x24x3)的增区间是()A(2，) B(，2)C(4，) D(，4)例4若函数f(x)|2xa|的单调递增区间是3，)，则a的值为()A2 B2 C6 D6例5已知函数f(x)，则该函数的单调递增区间为()A(，1 B3，)C(，1 D1，)例6下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是()Ay|x|2Dy3xCyDyx24例7已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，1)，B(3，1)是其图象上的两点，则1f(x)0成立，则实数a的取值范围为_.例9已知函数f(x)，若0x1x2x3，则，的大小关系是()A B C D 0，则有()Af(a)f(b)f(a)f(b)Bf(a)f(b)f
6、(a)f(b)Df(a)f(b)0时，f(x)x3x1，则当x0时，f(x)的解析式为_；例4已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f()的x的取值范围是()A(，) B，)C(，) D，)题型四、奇函数的基本性质例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)(1x)；(3)f(x)例2设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数例3已知函数f(x)cx3bx1(xR)，若f(a)2，则f
7、(a)的值为()A3 B0 C1 D2例4已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x(1x)，则f(1)_.例5若函数yf(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)等于()ABC D例6若函数f(x)为奇函数，则a等于()A B C D1例7(2020新高考全国)若定义在R上的奇函数f(x)在(，0)上单调递减，且f(2)0，则满足xf(x1)0的x的取值范围是()A1,13，)B3，10,1C1,01，)D1,01,3题型四、函数性质的综合应用例1(2017全国卷)函数f(x)在(，)上单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是()A2,2 B1,
8、1C0,4 D1,3例2已知函数f(x)的定义域为R，当x2,2时，f(x)单调递减，且函数f(x2)为偶函数，则下列结论正确的是()Af()f(3)f() Bf()f()f(3) Cf()f(3)f() Df()f()f(3) 例3已知函数f(x)x3x，对任意的m2,2，f(mx2)f(x)0C函数yf(x)在4,6上单调递增D若方程f(x)m在6，2上的两根为x1，x2，则x1x28例5函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(
9、x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围l 达标训练1函数f(x)|x2|在3，0上()A单调递减B单调递增C先减后增D先增后减2函数yx22x2在区间2，3上的最大值、最小值分别是()A10，5B10，1C5，1D以上都不对3如果奇函数f(x)的区间7，3上是减函数且最大值为5，那么函数f(x)在区间3，7上是()A增函数且最小值为5B增函数且最大值为5C减函数且最小值为5D减函数且最大值为54设f(x)是R上的偶函数，且在(0，)上是减函数，若x10，则()Af(x1)f(x2)Bf(x1)f(x2)Cf(x1)f(3)f(2)Bf()f(2)f(3)Cf(3)f(2)f()Df(3)f(
10、)f(2)6已知函数f(x)是R上的减函数，则实数a的取值范围是()A(0，3)D(0，3C(0，2)D(0，27已知f(x)x5ax3bx8(a，b是常数)，且f(3)5，则f(3)()A21B21C26D268设f(x)为偶函数，且在区间(，0)内是增函数，f(2)0，则xf(x)1的解集为_14设函数f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)x24x.(1)求f(x)的表达式；(2)证明f(x)在区间(0，)上是增函数15设函数f(x)是定义在(0，)上的增函数，且满足f(xy)f(x)f(y)若f(3)1，且f(a)f(a1)2，求实数a的取值范围16已知函数f(x)是奇函数(1)求实
11、数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围l 课后提升1(2022厦门模拟)函数g(x)ax2(a0)，f(x)x22x，对x11,2，x01,2，使g(x1)f(x0)成立，则a的取值范围是()A B1,2)C D2(多选)已知f(x)为奇函数，且f(x1)为偶函数，若f(1)0，则()Af(3)0Bf(3)f(5)Cf(x3)f(x1)Df(x2)f(x1)13定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间0，)上的图象与f(x)的图象重合，设ab0，给出下列不等式：f(b)f(a)g(a)g(b)；f(b)f(a)g(b)g(a)；f(a)f(b
12、)g(b)g(a)其中成立的有()A0个B1个C2个D3个4已知函数f(x)32|x|，g(x)x22x，F(x)则()AF(x)的最大值为3，最小值为1BF(x)的最大值为2，无最小值CF(x)的最大值为72，无最小值DF(x)的最大值为3，最小值为15已知函数f(x)的定义域为R，当x时，ff，则f(6)_.6已知定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)1，且当x0时，f(x)1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数；(2)若f(1)1，解关于x的不等式f(x22x)f(1x)4.7已知函数f(x)x2mxm.(1)若函数f(x)的最大值为0，求实数m的值；(2
13、)若函数f(x)在 1，0上单调递减，求实数m的取值范围；(3)是否存在实数m，使得f(x)在2，3上的值域恰好是2，3？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由3.2 函数的基本性质l 考纲要求1掌握求函数单调性与单调区间的求解方法，并能利用函数的单调性求最值2理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义3了解函数奇偶性的含义4能够运用函数图象理解和研究函数的性质l 知识解读知识点函数的单调性1单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是
14、增函数当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数yf(x)的单调区间.3复合函数的单调性对于复合函数yfg(x)，若tg(x)在区间(a，b)上是单调函数，且yf(t)在区间(g(a)，g(b)或(g(b)，g(a)上是单调函数，若tg(x)与yf(t)的单调性相同，则yfg(x)为增函数；若tg(x)与yf(t)的单调性相反，则yfg(x)为减函数简称“同增异减”知识点函数的最值前提设函数yf(x)
15、的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M(3)对于任意xI，都有f(x)M；(4)存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值知识点函数的奇偶性1函数的奇偶性的定义奇偶性定义图象特点奇函数设函数yf(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)，则这个函数叫做奇函数关于坐标原点对称偶函数设函数yg(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有xD，且g(x)g(x)，则这个函数叫做偶函数关于y轴对称2奇偶性的重要结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(2)奇函数在两个对称
16、的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)0，xD，其中定义域D是关于原点对称的非空数集(4)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇3对称性的3个常用结论(1)若函数yf(xa)是偶函数，即f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2ax)f(x)或f(x)f(2ax)，则yf(x)的图象关于直线xa对称；(3)若函数yf(xb)是奇函数，即f(xb)f(xb)0，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称l 题型讲解题型一、函数的单调性例1函数y
17、x22x3(x0)的单调增区间为_【答案】(0，)【解析】函数的对称轴为x1，又x0，所以函数f(x)的单调增区间为(0，)例2函数f(x)|x2|x的单调递减区间是()A1,2 B1,0C0,2 D2，)【答案】A【解析】f(x)|x2|x作出此函数的图象如下观察图象可知，f(x)|x2|x的单调递减区间是1,2例3若函数f(x)ax1在R上递减，则函数g(x)a(x24x3)的增区间是()A(2，) B(，2)C(4，) D(，4)【答案】B【解析】因为函数f(x)ax1在R上递减，所以a0，所以g(x)a(x24x3)a(x2)21的增区间是(，2)例4若函数f(x)|2xa|的单调递增
18、区间是3，)，则a的值为()A2 B2 C6 D6【答案】C【解析】由图象易知函数f(x)|2xa|的单调增区间是，)，令3，得a6.例5已知函数f(x)，则该函数的单调递增区间为()A(，1 B3，)C(，1 D1，)【答案】B【解析】设tx22x3，则t0，即x22x30，解得x1或x3.所以函数的定义域为(，13，)因为函数tx22x3的图象的对称轴为x1，所以函数t在(，1上单调递减，在3，)上单调递增所以函数f(x)的单调递增区间为3，)例6下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是()Ay|x|2Dy3xCyDyx24【答案】A【解析】因为10，所以一次函数yx3在R上递减，反比例
19、函数y在(0，)上递减，二次函数yx24在(0，)上递减故选A.例7已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，1)，B(3，1)是其图象上的两点，则1f(x)1的解集是()A(3，0)D(0，3)C(，13，)D(，01，)【答案】B【解析】由已知，得f(0)1，f(3)1，1f(x)1等价于f(0)f(x)f(3)f(x)在R上单调递增，0x0成立，则实数a的取值范围为_.【答案】2,8)【解析】由题意，函数f(x)在(，1和(1，)上都是增函数，且f(x)在(，1上的最高点不高于其在(1，)上的最低点，即解得a2,8)例9已知函数f(x)，若0x1x2x3，则，的大小关系是()A B C D
20、 【答案】C【解析】由题意可得0x1x2x32，而，在(0，2上单调递减，0，则有()Af(a)f(b)f(a)f(b)Bf(a)f(b)f(a)f(b)Df(a)f(b)0，ab，ba，f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)故选A.例11试讨论函数f(x)(a0)在(1,1)上的单调性【答案】见解析【解析】解：设1x1x21，f(x)aa，则f(x1)f(x2)aa.由于1x1x20，x110，x210时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上单调递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)0时，f(x)x3x1，则当
21、x0时，f(x)的解析式为_；【答案】x3x1【解析】当x0.因为f(x)是偶函数，且当x0时，f(x)x3x1，所以f(x)f(x)(x)3(x)1x3x1.例4已知偶函数f(x)在区间0，)上单调递增，则满足f(2x1)f()的x的取值范围是()A(，) B，)C(，) D，)【答案】A【解析】因为f(x)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，又f(x)在0，)上单调递增，f(2x1)f()，所以|2x1|，所以x.题型四、奇函数的基本性质例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)(1x)；(3)f(x)【答案】(1)奇函数又是偶函数 (2)非奇非偶函数 (3)奇函数【解析】(1
22、)由得x23，解得x，即函数f(x)的定义域为，f(x)0.f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由0得1x1，所以f(x)的定义域为1,1)，所以函数f(x)是非奇非偶函数(3)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0，则f(x)(x)2xx2xf(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数例2设函数f(x)，g(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇
23、函数Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数【答案】C【解析】对于A，令h(x)f(x)g(x)，则h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，h(x)是奇函数，A错误；对于B，令h(x)|f(x)|g(x)，则h(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)h(x)，h(x)是偶函数，B错误；对于C，令h(x)f(x)|g(x)|，则h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，h(x)是奇函数，C正确；对于D，令h(x)|f(x)g(x)|，则h(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|h(x)，h(x)为偶函数，D错
24、误例3已知函数f(x)cx3bx1(xR)，若f(a)2，则f(a)的值为()A3 B0 C1 D2【答案】B【解析】设F(x)f(x)1cx3bx，显然F(x)为奇函数，又F(a)f(a)11，所以F(a)f(a)11，从而f(a)0.故选B.例4已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x(1x)，则f(1)_.【答案】2【解析】f(1)122，又f(x)为奇函数，f(1)f(1)2.例5若函数yf(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)等于()ABC D【答案】 C【解析】 当x0时，x0时，f(x)f(x)，故选C例6若函数f(x)为奇函数，则a等于()A B C D1
25、【答案】A【解析】 (1) 方法一：因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)因为f(x)，所以f(x).所以(12a)12a，所以12a0，所以a.故选A.方法二：由已知f(x)为奇函数，得f(1)f(1)，即，所以a13(1a)，解得a.经检验，符合题意例7(2020新高考全国)若定义在R上的奇函数f(x)在(，0)上单调递减，且f(2)0，则满足xf(x1)0的x的取值范围是()A1,13，)B3，10,1C1,01，)D1,01,3【答案】D【解析】因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)0.又f(x)在(，0)上单调递减，且f(2)0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示
26、，则函数f(x1)的大致图象如图(2)所示(1) (2)当x0时，要满足xf(x1)0，则f(x1)0，得1x0.当x0时，要满足xf(x1)0，则f(x1)0，得1x3.故满足xf(x1)0的x的取值范围是1,01,3题型四、函数性质的综合应用例1(2017全国卷)函数f(x)在(，)上单调递减，且为奇函数若f(1)1，则满足1f(x2)1的x的取值范围是()A2,2 B1,1C0,4 D1,3【答案】D【解析】f(x)为奇函数，f(x)f(x)f(1)1，f(1)f(1)1.故由1f(x2)1，得f(1)f(x2)f(1)又f(x)在(，)上单调递减，1x21，1x3.故选D.例2已知函数
27、f(x)的定义域为R，当x2,2时，f(x)单调递减，且函数f(x2)为偶函数，则下列结论正确的是()Af()f(3)f() Bf()f()f(3) Cf()f(3)f() Df()f()f(3) 【答案】C【解析】 因为函数f(x2)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x2对称，又当x2,2时，f(x)单调递减，所以当x2，6时，f(x)单调递增，又f()f(4)，因为243，所以f()f(3)f()故选C.例3已知函数f(x)x3x，对任意的m2,2，f(mx2)f(x)0恒成立，则x的取值范围是_【答案】2x【解析】易知f(x)在R上为单调增函数，且f(x)为奇函数，故f(mx2)f
28、(x)0等价于f(mx2)f(x)f(x)，则mx2x，即mxx20对所有m2,2恒成立，令h(m)mxx2，此时，只需即可，解得2x0C函数yf(x)在4,6上单调递增D若方程f(x)m在6，2上的两根为x1，x2，则x1x28【答案】ABD【解析】根据已知抽象函数关系式f(x4)f(x)f(2) 可得f(24)f(2)f(2)，又函数f(x)为偶函数，故有f(2)f(2)f(2)2f(2)f(2)0，即A正确，因此f(x)f(x4)，所以f(3)=f(1)=f(1)，又当x0,2时，yf(x)单调递减，所以f(1)f(2)，即B正确；又已知函数f(x)在区间0,2上单调递减，故将其图象沿x
29、轴向右平移2个周期长度单位，其单调性不变，即在区间8,10上也单调递减，故C错误；如图，若方程f(x)m在区间6，2上有两根，则此两根必关于直线x4对称，即x1x28，故D正确例5函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围【答案】(1)0 (2)偶函数 (3)x|15x17且x1【解析】(1)对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)
30、0.(2)f(x)为偶函数证明：令x1x21，则f(1)f(1)f(1)，f(1)f(1)0.令x11，x2x，则f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数(3)依题设有f(44)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x)是偶函数，f(x1)2f(|x1|)f(16)又f(x)在(0，)上是增函数，0|x1|16，解得15x17且x1，x的取值范围是x|15x17且x1l 达标训练1函数f(x)|x2|在3，0上()A单调递减B单调递增C先减后增D先增后减【答案】C【解析】作出f(x)|x2|在(，)上的图象，如图所示，易知f(x)在3，0上先减后增2函数yx22x2在区间2，
31、3上的最大值、最小值分别是()A10，5B10，1C5，1D以上都不对【答案】B【解析】因为yx22x2(x1)21，且x2，3，所以当x1时，ymin1，当x2时，ymax(21)2110.故选B.3如果奇函数f(x)的区间7，3上是减函数且最大值为5，那么函数f(x)在区间3，7上是()A增函数且最小值为5B增函数且最大值为5C减函数且最小值为5D减函数且最大值为5【答案】C【解析】f(x)为奇函数，f(x)在3，7上的单调性与7，3上一致，且f(7)为最小值又已知f(7)5，f(7)f(7)5，选C.4设f(x)是R上的偶函数，且在(0，)上是减函数，若x10，则()Af(x1)f(x2
32、)Bf(x1)f(x2)Cf(x1)x10，f(x)在(0，)上是减函数，所以f(x2)f(x1)又f(x)是R上的偶函数，所以f(x2)f(x2)，所以f(x2)f(3)f(2)Bf()f(2)f(3)Cf(3)f(2)f()Df(3)f()f(2)【答案】A【解析】f(x)是R上的偶函数，f(2)f(2)，f()f()，又f(x)在0，)上单调递增，且23f(3)f(2)，即f()f(3)f(2)6已知函数f(x)是R上的减函数，则实数a的取值范围是()A(0，3)D(0，3C(0，2)D(0，2【答案】D【解析】依题意得实数a满足解得0a2.7已知f(x)x5ax3bx8(a，b是常数)
33、，且f(3)5，则f(3)()A21B21C26D26【答案】B【解析】设g(x)x5ax3bx，则g(x)为奇函数由题设可得f(3)g(3)85，得g(3)13.又g(x)为奇函数，所以g(3)g(3)13，于是f(3)g(3)813821.8设f(x)为偶函数，且在区间(，0)内是增函数，f(2)0，则xf(x)0的解集为()A(1，0)(2，)B(，2)(0，2)C(2，0)(2，)D(2，0)(0，2)【答案】C【解析】根据题意，偶函数f(x)在(，0)上为增函数，且f(2)0，则函数f(x)在(0，)上为减函数，且f(2)f(2)0，作出函数f(x)的草图如图所示，又由xf(x)0，
34、可得或由图可得2x2，即不等式的解集为(2，0)(2，)故选C.9若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)f(x)g(x)2在(0，)上有最大值8，则在(，0)上，F(x)有()A最小值8B最大值8C最小值6D最小值4【答案】D【解析】f(x)和g(x)都是奇函数，f(x)g(x)也是奇函数又F(x)f(x)g(x)2在(0，)上有最大值8，f(x)g(x)在(0，)上有最大值6，f(x)g(x)在(，0)上有最小值6，F(x)在(，0)上有最小值4.10已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x(，0)时，f(x)2x3x2，则f(2)_【答案】12【解析】由已知得，f(2)2(2)3(2
35、)212，又函数f(x)是奇函数，所以f(2)f(2)12.11若函数f(x)为奇函数，则a_，f(g(2)_.【答案】025【解析】f(x)为奇函数，f(0)0，a0，又g(2)f(1)f(1)4，f(g(2)f(4)f(4)25.12若函数f(x)8x22kx7在1，5上为单调函数，则实数k的取值范围是_【答案】(，840，)【解析】由题意知函数f(x)8x22kx7的图象的对称轴为x，因为函数f(x)8x22kx7在1，5上为单调函数，所以1或5，解得k8或k40，所以实数k的取值范围是(，840，)13设f(x)是定义在R上的增函数，f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，则不等式f(
36、x)f(2)1的解集为_【答案】【解析】由条件可得f(x)f(2)f(2x)，又f(3)1，不等式f(x)f(2)1，即为f(2x)f(3)f(x)是定义在R上的增函数，2x3，解得x1的解集为.14设函数f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)x24x.(1)求f(x)的表达式；(2)证明f(x)在区间(0，)上是增函数【答案】(1)f(x) (2)见解析【解析】(1)当x0，所以f(x)(x)24(x)x24x.因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)f(x)(x24x)x24x(x0)所以f(x)(2)证明：设任意的x1，x2(0，)，且x1x2，则f(x2)f(x1)
37、(x4x2)(x4x1)(x2x1)(x2x14)因为0x10，x2x140，所以f(x2)f(x1)0，所以f(x1)f(a1)2，求实数a的取值范围【答案】(1，)【解析】因为f(xy)f(x)f(y)，且f(3)1，所以22f(3)f(3)f(3)f(9)又f(a)f(a1)2，所以f(a)f(a1)f(9)再由f(xy)f(x)f(y)，可知f(a)f9(a1)，因为f(x)是定义在(0，)上的增函数，从而有解得1a.故所求实数a的取值范围是(1，).16已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围【答案】(1)m2 (2
38、)(1,3【解析】(1)设x0，所以f(x)(x)22(x)x22x.又f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)于是x0时，f(x)x2mxx22x，所以m2.(2)要使f(x)在1，a2上单调递增，结合f(x)的图象知所以10)，f(x)x22x，对x11,2，x01,2，使g(x1)f(x0)成立，则a的取值范围是()A B1,2)C D【答案】C【解析】若对x11,2，x01,2，使g(x1)f(x0)成立，只需函数yg(x)的值域为函数yf(x)的值域的子集即可函数f(x)x22x(x1)21，x1,2的值域为1,3当a0时，g(x)ax2单调递增，可得其值域为2a,22a，要使2a,2
39、2a1,3，需解得0b0，给出下列不等式：f(b)f(a)g(a)g(b)；f(b)f(a)g(b)g(a)；f(a)f(b)b0，f(a)f(b)f(0)0，g(a)g(b)0，且f(a)g(a)，f(b)g(b)，f(b)f(a)f(b)f(a)g(b)g(a)g(a)g(b)g(a)g(b)，成立，不成立又g(b)g(a)g(b)g(a)0，成立，不成立故选C.4已知函数f(x)32|x|，g(x)x22x，F(x)则()AF(x)的最大值为3，最小值为1BF(x)的最大值为2，无最小值CF(x)的最大值为72，无最小值DF(x)的最大值为3，最小值为1【答案】C【解析】由F(x)知当3
40、2|x|x22x，即2x时，F(x)x22x；当x22x32|x|，即x时，F(x)32|x|，因此F(x)作出其图象如图所示，观察图象可以发现，F(x)maxF(2)72，无最小值，故选C.5已知函数f(x)的定义域为R，当x时，ff，则f(6)_.【答案】2【解析】当x时，ff，当x时，f(x1)f(x)，即周期为1.f(6)f(1)，当1x1时，f(x)f(x)，f(1)f(1)，当x0时，f(x)1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是增函数；(2)若f(1)1，解关于x的不等式f(x22x)f(1x)4.【答案】(1)1 (2)x|x1【解析】(1)令xy0，得f(0)1.在
41、R上任取x1x2，则x1x20，所以f(x1x2)1.又f(x1)f(x1x2)x2f(x1x2)f(x2)1f(x2)，所以函数f(x)在R上是增函数(2)由f(1)1，得f(2)3，f(3)5.由f(x22x)f(1x)4得f(x2x1)f(3)，因为函数f(x)在R上是增函数，所以x2x13，解得x1，故原不等式的解集为x|x17已知函数f(x)x2mxm.(1)若函数f(x)的最大值为0，求实数m的值；(2)若函数f(x)在 1，0上单调递减，求实数m的取值范围；(3)是否存在实数m，使得f(x)在2，3上的值域恰好是2，3？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由【答案】(1)m0或m4 (2)(，2 (3) m6【解析】(1)f(x)m，则最大值m0，即m24m0，解得m0或m4.(2)函数f(x)图象的对称轴是直线x，要使f(x)在 1，0上单调递减，应满足1，解得m2，故实数m的取值范围为(，2(3)当2即m4时，f(x)在 2，3上单调递减若存在实数m，使f(x)在2，3上的值域是2，3，则即此时无解当3即m6时，f(x)在2，3上单调递增，则即解得m6.当23即4m6时，f(x)在2，3上先递增，再递减，所以f(x)在x处取最大值，则fmm3，解得m2或6，不符合题意，舍去综上可得，存在实数m6，使得f(x)在 2，3上的值域恰好是2，3
