1、第8课时双曲线的简单性质1.了解双曲线的简单几何性质,并能利用这些简单几何性质求标准方程.2.进一步掌握待定系数法的解题方法.3.进一步理解并掌握代数知识在解析几何运算中的作用,提高解方程组和计算的能力,能利用双曲线的定义、标准方程、几何性质,解决与双曲线有关的实际问题,提高分析问题与解决问题的能力.如图,某工厂有一双曲线型自然通风塔,其外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,已知该塔最小半径为12米,下口半径为25米,下口半径到最小圆面距离为45米,整个通风塔高为55米,问在建造过程中,上口半径应该建多少米?问题1:通过阅读教材,完成下表标准方程-=1(a0,b0)-=1(a0,b0)图
2、形范围焦点顶点焦距|F1F2|=2c(a2+b2=c2)轴长实轴长|A1A2|=2a,虚轴长|B1B2|=2b对称性渐近线离心率问题2:试比较椭圆与双曲线的几何性质的异同椭圆与双曲线的离心率都为.椭圆的离心率e,双曲线的离心率e;椭圆中长轴长大于短轴长,即;双曲线中,虚轴长2b和实轴长2a大小关系;焦点在坐标轴,中心为原点时,椭圆与双曲线的焦点坐标形式一致,即或.在椭圆中,c2=a2-b2,在双曲线中,c2=a2+b2;双曲线渐近线,椭圆渐近线.问题3:双曲线的离心率对双曲线形状的影响用a,b表示双曲线的离心率为e=.双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个重要数据.由于=,当e的值逐渐时
3、,的值就逐渐增大,这时双曲线的形状就从“扁狭”逐渐变得“开阔”,也就说双曲线的“张口”逐渐增大.问题4:实轴和虚轴长相等的双曲线叫作双曲线,它的渐近线方程为y=,离心率e=.1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是().A.2B.2C.4D.42.双曲线的渐近线为y=x,则双曲线的离心率是().A.B.2C.或D.或3.双曲线-=1的离心率为.4.双曲线-=1(a0,b0)的右焦点为F,焦距为2c,左顶点为A,虚轴的上端点为B(0,b),若=3ac,求该双曲线的离心率.双曲线的简单性质求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.根据双曲线的性质求双曲线方
4、程根据下列条件,求双曲线方程:(1)与双曲线-=1有共同的渐近线,且过点(-3,2);(2)与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2).利用直线与双曲线的位置关系求参数的值已知双曲线方程x2-=1,过点P(1,1)的斜率为k的直线l与双曲线只有一个公共点,求k的值.求双曲线9y2-4x2=36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.根据下列条件,分别求出双曲线的标准方程.(1)焦距为10,渐近线方程为y=x;(2)过点P(3,-),离心率为.当k取什么值时,直线y=kx-1与双曲线4x2-9y2=36仅有一个公共点.1.已知双曲线-=1(a0,b0)的实轴长为2,焦距为4,则
5、该双曲线的渐近线方程是().A.y=3xB.y=xC.y=xD.y=2x2.已知双曲线-=1(a0,b0)的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列,则双曲线的离心率e为().A.2B.3C.D.3.若双曲线的渐近线方程为y=3x,它的一个焦点为(,0),则双曲线的标准方程是.4.求双曲线x2-=1的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长与渐近线方程.(2013年湖北卷)已知01问题2:e=(0,1)(1,+)2a2b不确定(c,0)(0,c)有无问题3:=增大问题4:等轴x基础学习交流1.C双曲线标准方程为-=1,故实轴长为4.2.C焦点在x轴上:=,e=.焦点在y轴上:=,e=.3.实半轴长a=4,
6、虚半轴长b=3,则半焦距c=5,离心率e=.4.解:由条件知F(c,0),A(-a,0),=(-a,-b),=(c,-b),=3ac,-ac+b2=3ac,又b2=c2-a2,c2-a2-4ac=0,e1,e=2+.重点难点探究探究一:【解析】将原方程转化为-=1,所以a=3,b=2,c=,因此顶点坐标为A1(-3,0),A2(3,0),焦点坐标为F1(-,0),F2(,0),实轴长是2a=6,虚轴长是2b=4,离心率e=,渐近线方程为y=x.【小结】该方程并非标准形式,首先化成标准形式后,再研究解决问题.已知双曲线的方程求其几何性质时,若不是标准形式的先化为标准方程,确定方程中a,b的对应值
7、,利用c2=a2+b2得到c,然后确定双曲线的焦点位置,从而写出双曲线的几何性质.探究二:【解析】(1)(法一)设双曲线的标准方程为-=1,由题意,得解得a2=,b2=4,所以双曲线的方程为-=1.(法二)设所求双曲线方程为-=(0),将点(-3,2)代入得=,故所求双曲线方程为-=.(2)(法一)设所求双曲线方程为-=1,由题意易求c=2.双曲线过点(3,2),-=1,又a2+b2=(2)2,a2=12,b2=8,故所求双曲线方程为-=1.(法二)设所求双曲线方程为-=1,将点(3,2)代入得k=4,故所求双曲线方程为-=1.【小结】若已知双曲线的渐近线方程为axby=0,可设双曲线方程为a
8、2x2-b2y2=.探究三:【解析】设l的方程:y=k(x-1)+1代入双曲线方程得:(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0,=0,k=.问题上述解法考虑全面吗?是不是忽视了直线与双曲线的特殊位置关系?结论上述解法不全面,忽视了当4-k2=0,即k=2时,l与双曲线渐近线平行,l与双曲线只有一个交点.于是,正确解答为:把y=k(x-1)+1代入双曲线方程得:(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5=0,当4-k2=0,即k=2时,l与双曲线的渐近线平行,l与双曲线只有一个交点;当4-k20,k2时,由=0,得k=.综合上述,k=或k=2.【小结】本题以双曲线为载体
9、,主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题.突出考查了双曲线的几何性质.在判断直线与双曲线的位置关系时,把直线和双曲线方程联立得到关于x的方程后,注意考虑二次项系数是否为0(为0时直线与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线只有一个交点,重合时无交点).思维拓展应用应用一:把方程9y2-4x2=36化为标准形式-=1,a=2,b=3,c=,顶点坐标为(0,-2),(0,2),焦点坐标为(0,-),(0,),实轴长是2a=4,虚轴长是2b=6,离心率e=,渐近线方程y=x.应用二:(1)当焦点在x轴上时,设所求双曲线的标准方程为-=1 (a0,b0),由渐近线方程为y=x,得=.又2c=10,c=5,a2+
10、b2=c2=25,a2=20,b2=5,故所求双曲线的方程为-=1.同理可求得焦点在y轴上时双曲线的方程为-=1.综上,所求双曲线的方程为-=1或-=1.(2)依题意,双曲线的焦点可能在x轴上,也可能在y轴上,分别讨论如下:若双曲线的焦点在x轴上,可设双曲线的方程为-=1(a0,b0),由e=,得=.由点P(3,-)在双曲线上,得-=1. 由得a2=1,b2=,所以双曲线方程为x2-=1;若双曲线的焦点在y轴上,可设双曲线的方程为-=1(a0,b0),同理有=,-=1,a2+b2=c2,解之得b2=-(不合题意,舍去),故双曲线的焦点只能在x轴上,所求双曲线的标准方程为x2-=1.应用三:将y
11、=kx-1代入4x2-9y2=36,整理得(4-9k2)x2+18kx-45=0.当4-9k2=0,即k=时,直线与双曲线的渐近线平行,只有一个公共点.当4-9k20,即k时,=(18k)2-4(4-9k2)(-45)=0,即k=,直线与双曲线相切,只有一个公共点.综上所述,当k=或k=时,直线与双曲线只有一个公共点.基础智能检测1.C由题意知2a=2,2c=4,所以a=1,c=2,所以b=.又双曲线的渐近线方程是y=x,即y=x,选C.2.D根据题意,得2a+2c=22b,所以a2+2ac+c2=4(c2-a2),即3c2-2ac-5a2=0.所以3e2-2e-5=0,解得e=或e=-1(舍
12、).3.x2-=1焦点为(,0),渐近线方程为y=3x,解得双曲线的标准方程为-=1,即x2-=1.4.解:把方程化为标准方程为-=1,由此可知实半轴长a=1,虚半轴长b=2,顶点坐标是(-1,0),(1,0),c=,焦点的坐标是(-,0),(,0),渐近线方程为=0,即y=2x.全新视角拓展D由00,sin 0.在双曲线C1中,长半轴a=sin ,短半轴b=cos ,半焦距c=1,离心率为e=;在双曲线C2中,长半轴a=cos ,短半轴b=sin ,半焦距c=1,离心率为e=.故双曲线C1与C2的焦距相等.思维导图构建|x|a,yR(-a,0)、(a,0)关于x轴、y轴成轴对称,关于原点中心对称e=1有两条,其方程为y=x