1、第二讲椭圆、双曲线与抛物线第三部分 抛物线一、抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线二、抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR焦点坐标准线方程xxyy离心率e1焦半径|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y0抛物线的焦半径抛物线y22px(p0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离|PF|x0.基础自测1若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A.B.C.D0【解析】M到准线的距离等于M到焦点的距离，
2、又准线方程为y，设M(x，y)，则y1，y.【答案】B2设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是()Ay28x By28xCy24x Dy24x【解析】因为抛物线的准线方程为x2，所以2，所以p4，所以抛物线的方程是y28x.所以选B.【答案】B3已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，2)到焦点的距离为4，则m的值为()A4 B2C 4或4 D12或2【解析】设抛物线方程为x22py(p0)，由题意知24，p4，抛物线方程为x28y，m216，m4.【答案】C4双曲线1的左焦点在抛物线y22px的准线上，则p的值为_【解析】双曲线的左焦点坐标为，抛物线的准线方
3、程为x， ，p216，又p0，则p4.【答案】45(2013四川高考)抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A. B. C1 D.【解析】由题意可得抛物线的焦点坐标为(1,0)，双曲线的渐近线方程为xy0或xy0，则焦点到渐近线的距离d1或d2.【答案】B6(2013北京高考)若抛物线y22px的焦点坐标为(1,0)，则p_；准线方程为_【解析】抛物线y22px的焦点坐标为，准线方程为x.又抛物线焦点坐标为(1,0)，故p2，准线方程为x1.【答案】2x1考点一 抛物线的定义及标准方程例 (1)设圆C与圆C：x2(y3)21外切，与直线y0相切，则C的圆心轨迹为()A抛物线B双
4、曲线C椭圆 D圆（2）(2012山东高考)已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y解析：(1)设圆C的半径为r，又圆x2(y3)21的圆心C(0,3)，半径为1.依题意|CC|r1，圆心C到直线y0的距离为r，|CC|等于圆心C到直线y1的距离(r1)故圆C的圆心轨迹是抛物线(2)双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2，2，ba，双曲线的渐近线方程为xy0，抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，p8.所求的抛物线方程为x216
5、y.方法技巧 若P(x0，y0)为抛物线y22px(p0)上一点，由定义易得|PF|x0；若过焦点的弦AB的端点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长为|AB|x1x2p，x1x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到.跟踪练习 设斜率为2的直线l过抛物线y2ax(a0)的焦点F，且和y轴交于点A.若OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为()Ay24xBy28xCy24x Dy28x【解析】由抛物线方程知焦点F，直线l为y2，与y轴交点A.SOAF|OA|OF|4.a8，抛物线方程为y28x.【答案】B考点二 抛物
6、线的几何性质例 已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，|AB|12，P为C的准线上一点，则ABP的面积为()A18B24C36D48解析：设抛物线方程为y22px，当x时，y2p2，|y|p，p6，又点P到AB的距离始终为6，SABP12636.跟踪练习（2011辽宁）已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A. B1C. D.解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：(|AF|BF|).答案：C考点三 直线与抛物线位置关系例 (2013陕西高考)已知动圆过定点A(4,0
7、)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)已知点B(1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明直线l过定点【思路点拨】(1)利用曲线方程的求法求解轨迹方程，但要注意结合图形寻求等量关系；(2)设出直线方程，结合直线与圆锥曲线的位置关系转化为方程的根与系数的关系求解，要特别注意判别式与位置关系的联系图【尝试解答】(1)如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|O1M|.当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点，|O1M|又|O1A|，.化简得，y28x(x0)当O1在y轴上时，O1与
8、O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.图(2)证明：如图，由题意，设直线l的方程为ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykxb代入y28x中，得k2x2(2bk8)xb20.其中32kb640.由根与系数的关系得，x1x2，x1x2.x轴是PBQ的角平分线，即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0，将代入并整理得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此时0，直线l的方程为yk(x1)，即直线过定点(1,0),规律方法3解决抛物线与直线的相交问
9、题，一般采取下面的处理方法：设抛物线方程为y22px(p0)，直线方程为AxByC0，将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到关于y的方程my2nyq0.m00直线与抛物线有两个公共点0直线与抛物线只有一个公共点0直线与抛物线没有公共点m0直线与抛物线只有一个公共点，此时直线平行于抛物线的对称轴跟踪练习已知抛物线C：y22px(p0)过点A(1，2)(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由【解】(1)将A(1，2)代入y22px，得(2)22p1，所以p2.故所求的抛物线C的方程为y24x，其准线方程为x1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y2xt.由得y22y2t0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以48t0，解得t.另一方面，由直线OA与l的距离d可得，解得t1.因为1，1，所以符合题意的直线l存在，其方程为2xy10.