1、第六节对数与对数函数考情展望1.以选择、填空题的形式直接考查对数的运算性质.2.考查以对数函数为载体的复合函数的图象和性质.3.以比较大小或探求对数函数值域的方式考查对数函数的单调性.4.与导数等知识相结合考查相应函数的有关性质一、对数与对数的运算性质1对数的概念如果axN(a0且a1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作xlogaN.2对数的性质、换底公式与运算性质性质loga10；loga a1；alogaNN.换底公式logab(a，c均大于0且不等于1，b0)运算性质如果a0，且a1，M0，N0，那么：loga(MN)logaMlogaN；logalogaMlogaN；logaMnnlo
2、gaM(nR).二、对数函数的定义、图象与性质定义函数ylogax(a0且a1)叫做对数函数图象a10a1性质定义域：(0，)值域：(，)当x1时，y0，即过定点(1,0)当0x1时，y0; 当x1时，y0.当0x1时，y0；当x1时，y0.在(0，)上为增函数在(0，)上为减函数迅速判断底数大小关系的方法如图，作直线y1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数故0cd1ab.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大三、反函数指数函数yax(a0且a1)与对数函数ylogax(a0且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称互为反函数的两函数坐标间的关系若函数yf(x
3、)图象上有一点(a，b)，则(b，a)必在其反函数的图象上，反之，若(b，a)在反函数图象上，则(a，b)必在原函数图象上12log510log50.25()A0B1C2D4【解析】2log510log50.25log5100log50.25log5252.【答案】C2若函数yf(x)是函数yax(a0，且a1)的反函数，且f(2)1，则f(x)等于()A. B2x2 Clogx Dlog2x【解析】由题意知f(x)logax，又f(2)1，loga21，a2.f(x)log2x，故选D.【答案】D3如果logxlogy0，那么()Ayx1 Bxy1C1xy D1yx【解析】ylogx是(0，
4、)上的减函数，xy1.【答案】D4函数f(x)log5(2x1)的单调增区间是_【解析】函数f(x)的定义域为，令t2x1(t0)因为ylog5t在t(0，)上为增函数，t2x1在上为增函数，所以函数ylog5(2x1)的单调增区间为.【答案】5(2013江西高考)函数yln(1x)的定义域为()A(0,1) B0,1)C(0,1 D0,1【解析】因为yln(1x)，所以解得0x1.【答案】B6(2013福建高考)函数f(x)ln(x21)的图象大致是()【解析】f(x)ln(x21)，xR，当x0时，f(0)ln 10，即f(x)过点(0,0)，排除B，D.f(x)ln(x)21ln(x21
5、)f(x)，f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，故选A.【答案】A考向一 025对数的运算(1)已知loga2m，loga3n，求a2mn；(2)计算；(3)计算(log32log92)(log43log83)【思路点拨】(1)根据乘法公式和对数运算性质进行计算；(2)将对数式化为指数式或直接代入求解【尝试解答】(1)法一loga2m，loga3n，am2，an3，a2mn(am)2an22312.法二loga2m，loga3n，a2mn(am)2an(aloga2)2aloga322312.(2)原式1.(3)原式.规律方法1 1.对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常用到换底公
6、式及其推论；在对含字母的对数式化简时必须保证恒等变形.2.abNblogaN(a0且a1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中要注意互化.3.利用对数运算法则，在积、商、幂的对数与对数的和、差、倍之间进行转化.对点训练(1)计算100_.(2)(2014青岛模拟)设2a5bm，且2，则m_.【解析】(1)原式(lg )20.(2)2a5bm，alog2m，blog5m，logm2logm5logm102.m210，m.【答案】(1)20(2)考向二 026对数函数的图象及其应用(1)(2014潍坊质检)函数yax2bx与ylog|x(ab0，|a|b|)在同一直角坐标系中的图象可能是(
7、)(2)(2014郑州模拟)已知函数f(x)若a、b、c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是()A(1,10)B(5,6)C(10,12) D(20,24)【思路点拨】(1)根据函数yax2bx与x轴的交点确定|的范围(2)画出f(x)的图象，确定a，b，c的范围【尝试解答】(1)令ax2bx0得x0或x.对于A、B项，由抛物线知，01，此时，对数函数图象不合要求，故A、B项不正确；对于C项，由抛物线知1，此时，对数函数图象不合要求，故C不正确；对于D项，由抛物线知01，此时对数函数的图象符合要求，故选D.(2)作出f(x)的大致图象不妨设abc，因为a、b、c互不相等，
8、且f(a)f(b)f(c)，由函数的图象可知10c12，且|lg a|lg b|，因为ab，所以lg alg b，可得ab1，所以abcc(10,12)，故选C.【答案】(1)D(2)C规律方法21.解答本例(1)时，可假设一个图象正确，然后看另一个图象是否符合要求；对于本例(2)根据|lg a|lg b|得到ab1是解题的关键2对一些可通过平移、对称变换能作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合求解3一些对数型方程、不等式问题的求解，常转化为相应函数图象问题，利用数形结合法求解对点训练(1)已知函数f(x)ln x，g(x)lg x，h(x)l
9、og3x，直线ya(a0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()Ax2x3x1Bx1x3x2Cx1x2x3 Dx3x2x1(2)函数ylog2|x1|的单调递减区间为_，单调递增区间为_【解析】(1)在同一坐标系中画出三个函数的图象及直线ya(a0)，易知x1x3x2，故选A.(2)作出函数ylog2x的图象，将其关于y轴对称得到函数ylog2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数ylog2|x1|的图象(如图所示)由图知，函数ylog2|x1|的递减区间为(，1)，递增区间为(1，)【答案】(1)A(2)(，1)(1，)考向三 02
10、7对数函数的性质及其应用(1)(2013课标全国卷)设alog36，blog510，clog714，则()AcbaBbcaCacb Dabc(2)(2014临沂模拟)已知函数f(x)loga(1x)loga(x3)(0a1)求函数f(x)的定义域；若函数f(x)的最小值为4，求实数a的值【思路点拨】(1)先结合对数的运算性质整理，再利用对数函数的性质比较大小(2)利用真数大于0求函数定义域；先对f(x)化简，再研究真数的范围，最后借助0a1的单调性求a的值【尝试解答】(1)alog36log33log321log32，blog510log55log521log52，clog714log77lo
11、g721log72，log32log52log72，abc，故选D.【答案】D(2)要使函数有意义：则有，解之得3x1所以函数的定义域为x|3x1函数可化为f(x)loga(1x)(x3)loga(x22x3)loga(x1)243x1，0(x1)2440a1，loga(x1)24loga4，即f(x)minloga4由loga44，得a44，a4.故实数a的值为.规律方法3 1.利用对数函数的性质比较对数值大小：(1)同底数(或能化为同底的)可利用函数单调性处理；(2)底数不同，真数相同的对数值的比较，可利用函数图象或比较其倒数大小来进行.(3)既不同底数，又不同真数的对数值的比较，先引入中
12、间量(如1，0，1等)，再利用对数函数性质进行比较.2.利用对数函数性质研究对数型函数性质，要注意三点，一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成.对点训练(1)(2014郑州模拟)函数f(x)log2(3x1)的值域为()A(0，)B0，)C(1，) D1，)(2)已知函数f(x)loga(8ax)(a0，a1)，若f(x)1在区间1,2上恒成立，求实数a的取值范围【解析】(1)设yf(x)，t3x1，则ylog2t，t3x1，xR.由ylog2t，t1知函数f(x)的值域为(0，)【答案】A(2)当a1时，f(x)loga(8ax)在1,2上是减函数，由f(x)1恒成立，则f(
13、x)minloga(82a)1，解之得1a.若0a1时，f(x)在x1,2上是增函数，由f(x)1恒成立，则f(x)minloga(8a)1，且82a0，a4，且a4，故不存在综上可知，实数a的取值范围是.思想方法之六用数形结合求参数的取值范围由于指数函数与对数函数的图象受底数a的变化而成有规律变化，因此对于较复杂的指数或对数不等式有解(或恒成立)问题，可借助函数图象解决，具体操作如下：(1)对不等式变形，使不等号两边对应两函数f(x)，g(x)；(2)在同一坐标系下作出两函数yf(x)及yg(x)的图象；(3)比较当x在某一范围内取值时图象的上下位置及交点的个数来确定参数的取值或解的情况1个
14、示范例1个对点练(2012课标全国卷)当0x时，4xlogax，则a的取值范围是()A.B.C(1，) D(，2)【解析】由0x且logax4x0得0a1，在同一坐标系中画出函数y4x(0x)和ylogax(0a1，0x)的图象，如图所示：由图象知，要使当0x，4xlogax，只需loga4，即logalogaa2，a2，a或a，又0a1，a1.当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，则实数a的取值范围为_【解析】设y(x1)2，ylogax.在同一坐标系中作出它们的图象，如图所示若0a1，则当x(1,2)时，(x1)2logax是不可能的，所以a应满足解得1a2.所以，a的取值范围为a|1a2【答案】(1,2
