1、2012版高三数学一轮精品复习学案第十一章 计数原理、概率、随机变量及其分布【章节知识网络】【章节强化与训练】一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分）1把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是 ()A对立事件 B不可能事件C互斥但不对立事件 D以上答案均不对解析：四张纸牌分发给四人，每人一张，甲和乙不可能同时分得梅花，所以是互斥事件，但也有可能丙或丁分得梅花，故不是对立事件答案：C2某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 ()A14 B2
2、4 C28 D48解析：法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为CCCC241614.法二：从4男2女中选4人共有C种选法，4名都是男生的选法有C种，故至少有1名女生的选派方案种数为CC15114.答案：A38的展开式中x4的系数是 ()A16 B70 C560 D1 120解析：由二项展开式通项公式得Tk1C(x2)8kk2kCx163k.由163k4，得k4，则x4的系数为24C1 120.答案：D4某公共汽车站每隔5分钟有一辆车通过(假设每一辆带走站上的所有乘客)，乘客到达汽车站的时间是任意的，则乘客候车时间不超过3分钟的概率为 ()A. B. C
3、. D.解析：P.答案：B5某一随机变量的概率分布如下表，且，则的值为（ ）A.0.2；B.0.2；C.0.1；D.0.1答案：B；解析：由，又，可得6如果随机变量，则等于（ ）A.B. C.D.答案:B 解析：这里的；由换算关系式，有7. 若从数字0,1,2,3,4,5中任取三个不同的数作为二次函数yax2bxc的系数，则与x轴有公共点的二次函数的概率是 ()A. B. C. D.解析：若从0,1,2,3,4,5中任选三个数作为二次函数的系数，对应二次函数共有CA100个，其中与x轴有公共点的二次函数需满足b24ac，当c0时，a，b只需从1,2,3,4,5中任选2个数字即可，对应的二次函数
4、共有A个，当c0时，若b3，此时满足条件的(a，c)取值有(1,2)，(2,1)有2种情况；当b4时，此时满足条件的(a，c)取值有(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)有4种情况；当b5时，此时满足条件的(a，c)取值有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(3,2)有8种情况，即共有2024834种情况满足题意，故其概率为.答案：A8从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有 ()A70种 B80种 C100种 D140种解析：分恰有2名男医生和恰有1名男医生两类，从而组队方案共
5、有：CCCC70种答案：A9从台甲型和台乙型电视机中任意取出台，其中至少有甲型与乙型电视机各台，则不同的取法共有（ ）A种 B.种 C.种 D.种解析：分两类：（1）甲型台，乙型台：；（2）甲型台，乙型台：10从数字0,1,2,3,5,7,8,11中任取3个分别作为AxByC0中的A，B，C(A，B，C互不相等)的值，所得直线恰好经过原点的概率为 ()A. B. C. D.解析：P.答案：B11的展开式中的项的系数是（ ）A. B C D解析：12在(x2)n的展开式中，常数项为15，则n ()A3 B4 C5 D6解析：对于二项式的展开式问题，关键要考虑通项，第k1项Tk1C ()kC应有2
6、n3k0，n，而n是正整数，故k2,4,6.结合题目给的已知条件，常数项为15，验证可知k4，n6.答案：D二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）13在平面直角坐标系xOy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投的点落在E中的概率是_解析：如图：区域D表示边长为4的正方形ABCD的内部(含边界)，区域E表示单位圆及其内部，因此P=答案：14a (sinxcosx)dx则二项式(a)6展开式中含x2的项的系数是_解析：a (sinxcosx)dx(sinxcosx)(sincos)(sin0cos0)
7、(01)(01)2.又Tr1C(a) ()rC (1)rx()C (1)r.由3r2，解r1，x2项的系数为Ca5192.答案：19215已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线为mxy0，若m在集合1,2,3,4,5,6,7,8,9中任意取一个值，使得双曲线的离心率大于3的概率是_解析：由题意知m，e，仅当m1或2时，1e3时的概率P.答案：16已知离散型随机变量X的分布列如下表若E(X)0，D(X)1，则a_，b_.X1012Pabc解析：由题意解得a，bc.答案：三、解答题（本大题共6个小题，总分74分）17(本小题满分12分)如图，已知AB是半圆O的直径，AB8，M、N、 P是
8、将半圆圆周四等分的三个分点(1)从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；(2)在半圆内任取一点S，求三角形SAB的面积大于8的概率解：(1)从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：ABM、ABN、ABP、AMN、AMP、ANP、BMN、BMP、BNP、MNP，其中是直角三角形的只有ABM、ABN、ABP 3个，所以这3个点组成直角三角形的概率P.(2)连结MP，取线段MP的中点D，则ODMP，易求得OD2，当S点在线段MP上时，SABS=28=8，所以只有当S点落在阴影部分时，三角形SAB面积才能大于8，而S阴影=S扇形OMP-SO
9、MP=42-42=4-8，所以由几何概型公式得三角形SAB的面积大于8的概率P=18(本小题满分12分)设A(x，y)|1x6,1y6，x，yN*(1)求从A中任取一个元素是(1,2)的概率；(2)从A中任取一个元素，求xy10的概率；(3)设Y为随机变量，Yxy，求E(Y)解：(1)设从A中任取一个元素是(1,2)的事件为B，则P(B)，所以从A中任取一个元素是(1,2)的概率为.(2)设从A中任取一个元素，xy10的事件为C，则有(4,6)，(6,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)共6种情况，于是P(C)，所以从A中任取一个元素，xy10的概率为.(3)Y可能取的值为2,
10、3,4,5,6,7,8,9,10,11,12.P(Y2)，P(Y3)，P(Y4)，P(Y5)，P(Y6)，P(Y7)，P(Y8)，P(Y9)，P(Y10)，P (Y11)，P(Y12).则E(Y)234567891011127.19(本小题满分12分)某车间准备从10名工人中选配4人到某生产线工作，为了安全生产，工厂规定：一条生产线上熟练工人数不得少于3人已知这10名工人中有熟练工8名，学徒工2名(1)求工人的配置合理的概率；(2)为了督促其安全生产，工厂安全生产部门每月对工人的配备情况进行两次抽检，求两次检验得到的结果不一致的概率解：(1)一条生产线上熟练工人数不得少于3人有CCC种选法工人
11、的配置合理的概率.(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验，因两次检验得出工人的配置合理的概率均为，故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为C(1).20某同学参加3门课程的考试。假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为，()，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立。记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为0123()求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；()求，的值；()求数学期望。解：事件表示“该生第门课程取得优秀成绩”，=1,2,3，由题意知 ，（I）由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“”是对立的，所以该
12、生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是 ，（II）由题意知 整理得 ，由，可得，.（III）由题意知 = = =21某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级.对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品. （）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概率P甲、P乙；（）已知一件产品的利润如表二所示，用、分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I）的条件下，求、的分布列及E、E；（）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工
13、厂有工人40名，可用资金60万元.设x、y分别表示生产甲、乙产品的数量，在（II）的条件下，x、y为何值时，最大？最大值是多少？（解答时须给出图示）解答：（）52.5P0.680.322.51.5P0.60.4（）解：随机变量、的分别列是 （）解：由题设知目标函数为 作出可行域（如图）：作直线 将l向右上方平移至l1位置时，直线经过可行域上的点M点与原点距离最大，此时 取最大值. 解方程组得即时，z取最大值，z的最大值为25.2 .22规定，其中xR，m是正整数，且，这是组合数（n、m是正整数，且mn）的一种推广(1) 求的值；(2) 设x，当x为何值时，取得最小值？(3) 组合数的两个性质；
14、.是否都能推广到（xR，m是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.解析：(1) . (2) . x 0 , .当且仅当时，等号成立. 当时，取得最小值. （3）性质不能推广，例如当时，有定义，但无意义; 性质能推广，它的推广形式是，xR , m是正整数. 事实上，当m时，有.当m时. 【思想与方法导读】例谈“概率与统计”解题策略纵观近几年的高考试题可以看出，概率与统计这部分内容在高考中占据十分重要的地位。由于它的应用性较强，取代了传统高考中的函数及数列应用题，每年高考必有一道大题。由于文、理科在此内容要求不同，高考所考查的重点也不同：文科重点考查五种事件的概
15、率，即随机事件的概率、等可能性事件的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率以及独立重复试验恰好发生k次的概率，而理科试题则在五种事件的基础上侧重考查离散型随机变量的分布及其期望与方差的应用。在高考中如何解答好这部分题目呢？现从以下几个方面来谈一下解题策略,希望大家能够结合这些策略找到相应的例题（试题）进行仔细的推敲和琢磨，以求真正掌握最终达到运用自如的目的。策略一:兵马未动,粮草先行大家知道,解答概率题多数都离不开排列与组合的有关知识,尤其是理科高考试题.因此,首先要复习好排列、组合的应用题.因为这部分知识是解答概率题的基础。策略二：结合实际，读懂题意据近几年考生反映，概率与统计这部分题做不对的
16、主要原因在于读不懂题意。由于这部分题目多数与实际生活相关，因此，读题时要结合实际生活以及相关学科的知识来理解题意。策略三：根据概念，辨清事件1等可能性事件的概率如果随机试验具有如下两个特征：（1）基本事件的全体元素只有有限个（有限性）；（2）每个基本事件的概率相等（等可能性）。则称该试验所对应的模型为古典概型。在古典概型中，设基本事件的总数为n，事件A包含的基本事件数为m，则事件A的概率计算公式为。因此，对古典概率的计算，首先应当判断对于每个随机试验来说可能出现的试验结果是有限的，其次要判断所有不同的试验结果的出现是等可能的。一定要在等可能的前提下计算基本事件的总数n和事件A所包含的基本事件数
17、m的值，两者相除即可。计算m,n的方法灵活多样，没有固定的模式。但m,n的数值一般是排列数、组合数，因此要用到分类加法计数原理、分步乘法计数原理及排列、组合的思维分析方法。2互斥事件有一个发生的概率在应用题背景下，能准确判断事件之间是否互斥，理解和事件的意义，是高考考查的又一个重点内容。把一个复杂事件分解成几个彼此互斥的事件，要既不重复又不遗漏。互斥事件与对立事件的联系与区别主要体现在以下几个方面：（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立。因此，两事件互斥是两事件对立的必要不充分条件。（2）互斥概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件。（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即
18、至多只有发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。对任意事件A，有P（A）=1-P（）。这个公式虽然很简单，但很有用，当所求概率的事件用“至少、至多、不多于、不少于”等词语表述时，如果直接计算P（A）很麻烦，而计算P（）又比较方便时，常先计算P（），再用此公式计算P（A）。3独立事件的概率事件间的互斥与相互独立是理解的一个难点，也是高考考查的重点，学生常常因为把它们弄混而发生计算错误。在同一随机试验中，两事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。考查学生鉴别互斥与相互独立的能力是考查学生分析和解决问题能力
19、的重要一环。那种认为“两事件相互独立必定互斥”的认识是错误的，因为在P（A）0、P（B）0的条件下，若A、B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B）0；而若A、B互斥，则P（AB）=0，因此，两个概念出现矛盾。这就说明在P（A）0、P（B）0的情况下，相互独立不能互斥。所以，在一般情况下，互斥与相互独立是两个互不等价、完全不同的概念。应用事件的独立性有助于简化概率计算。（1）简化独立事件积的概率计算。有限个相互独立事件积的概率等于各个事件概率的乘积，即（2）简化相互独立事件的概率计算直接计算是比较麻烦的，常转化为其对立事件积的概率来计算：。如果相互独立，则。具体解题时，如果是求两事件和的概率可
20、直接用加法公式，即，也可用求解，但如果是求有三个或三个以上相互独立事件之和的概率，则用上式可大大简化计算。注：在实际应用中，对于事件的独立性，我们常常不是用定义来判断，而是同试验方式来判断试验的独立性，由试验的独立性来判断事件的独立性。或者说根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件的发生来判断。例如：甲、乙两名射手在相同条件下进行射击，则“甲击中目标”与“乙击中目标”两事件是相互独立的。4独立重复试验的概率高考要求掌握n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率公式P（X=k）=它是概率的加法公式的应用，又是离散型随机变量分布的重要铺垫。利用这个公式计算概率，首先要审核随机试验是否满足
21、独立重复试验的两个条件：一是每一次试验只有两个可能结果A和，且P（A）=p，P（）=1-p (0p1);二是n次试验是相互独立的，即在相同条件下重复进行n次试验（或观察），每次试验的结果与其他各次试验结果无关。此公式常用于下列三种情况：（1）已知试验总次数n和一次试验中事件A发生的概率，求事件A（）发生一定次数的概率。（2）已知事件A在n次试验中至少发生一次的概率为P(X1),求一次试验中事件A发生的概率p。因为在n次试验中事件A至少发生一次的概率为P(X1)=1-P(X=0)=1-(1-p)n,所以在一次试验中事件A发生的概率为（3）已知每次试验中事件A发生的概率为p，为使事件A在独立重复试
22、验中至少发生一次的概率不小于，求需要试验的次数n.事件A至少发生一次的概率为策略四：辨清“放回抽样”与“不放回抽样”“放回抽样”与“不放回抽样”的区别主要体现在以下三个方面：（1）放回抽样时总体个数不发生变化；不入回抽样时总体个数减少。（2）放回抽样各次抽取是相互独立的；而不放回抽样各次抽取不是相互独立的。（3）对放回抽样来讲：事件A=“有放回地逐个取k个产品”与事件B=“一次任取k个产品”的概率是不相等的，即P（A）P（B）；而对不放回抽样来讲：事件A=“不放回地逐个取k个产品”与事件B=“一次任取k个产品”的概率相等，即P（A）=P（B）。策略五：立足课本、适当拓展从近几年高考题可以看出，这部分试题往往来源于课本。因此，复习好课本十分必要。同时，要探究教材中例题或习题所体现的几个重要分布。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m