1、内蒙古宁城蒙古族中学2020-2021学年高二数学上学期联考试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】关于原点对称的两点坐标对应互为相反数.【详解】在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是故选：D2. 已知直线的倾斜角为，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由直线的点斜式即可得出斜率，再利用斜率与倾斜角的关系即可得出【详解】由已知，斜率，又，所以.故选：B3. 已知两平行直线
2、与直线，则两直线之间的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将直线化为，再利用平行直线间的距离公式计算即可得到答案.【详解】将变形为，由平行直线间的距离公式可得与间的距离为.故选：A4. 圆心为且过原点的圆的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据条件求出半径即可.【详解】因为圆心为且过原点，所以所以圆的方程是故选：B5. 设是空间两条直线，则“不平行”是“是异面直线”A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】直线不平行，也可能相交；根据异面直线的定义可知直线异面则一定不平行，即可
3、判断出结论【详解】由是异面直线不平行反之若直线不平行，也可能相交所以“不平行”是“是异面直线”的必要不充分条件 故选B【点睛】本题考查了异面直线的性质、充分必要条件的判定方法，属于基础题6. 若表示两条不同的直线， 表示两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】A【解析】【分析】根据线面垂直的性质可判断A正确；由可得与平行、相交或异面，可判断B；由可得或，可判断C；由时与不一定平行可判断D.【详解】对于A，根据线面垂直的性质可得若，则，故A正确；对于B，若，则与平行、相交或异面，故B错误；对于C，若，则或，故C正确；对于D，若，如果与相交，
4、则，若，则与不一定平行，故D错误.故选：A.7. 如图所示为一个简单几何体的三视图,则其对应的实物图是()A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三种视图的对角线的位置，可以判断得解.【详解】三视图中，实线表示看得到的线，接着对选项逐一判断： A选项的主视图、左视图和俯视图都能看到一条对角线， B选项主视图中的对角线应是虚线， C选项中主视图是斜向下的对角线， D选项中主视图的对角线应用虚线表示.故选A.【点睛】本题主要考查由三视图找实物图，注意主视图中对角线一条实线，属于简单题目.8. 在正方体，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【
5、解析】【分析】利用正方体中，将问题转化为求共面直线与所成角正切值，在中进行计算即可.【详解】在正方体中，所以异面直线与所成角，如图设正方体边长为，则由为棱的中点，可得，所以，则.故选:C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：几何法：平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角.向量法：求两直线的方向向量；求两向量夹角的余弦；因为直线夹角为锐角，所以对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.9. 直线与圆的位置关系是（ ）A. 相离B. 相切C. 相交D. 相切或相交【答案】D【解析】【分析】判断直线恒过的
6、定点与圆的位置关系，即可得到结论【详解】圆方程可整理为，则圆心，半径，直线恒过点因为在圆上，所以直线与圆相切或相交故选:D10. 若圆锥的高等于底面圆半径，则它的底面积与侧面积之比是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设圆锥的底面半径为，用将圆锥的底面积及侧面积分别表示即可得到答案.【详解】设圆锥的底面半径为，则高为，母线长 则， ，故选：C .11. 若圆与圆有公共点，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】用两圆心距离与两圆半径的和及两圆半径的差的绝对值比较即可.【详解】圆，圆心，半径圆，圆心，两圆有公共点则：，故选:B【点睛】方法点睛
7、：本题考查圆与圆的位置关系，属于中档题.若两圆心距为，两圆半径为，两圆位置关系判断方法如下：当时，两圆相离；当时，两圆外切；当时，两圆相交；当时，两圆内切；当时，两圆内含.12. 棱长为的正方体的所有顶点均在球的球面上，分别为的中点，则平面截球所得圆的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】正方体的外接球球心为对角线的中点，球半径，球心到平面的距离为，利用勾股定理求出小圆半径，再代入圆的面积公式；【详解】解：由题意，正方体的外接球球心为对角线的中点，正方体对角线长为，所以球半径，因为到平面的距离为，所以球心到平面的距离为，所以小圆半径，故选：D【点睛】根据球心到截面的距离
8、、小圆半径、球的半径之间的关系，即勾股定理进行求解.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请在答题卡上做答.13. 已知方程表示圆，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据条件可得，解出即可.【详解】因为方程表示圆所以，解得故答案为：14. 命题“，”的否定是_.【答案】，【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题，可得答案.【详解】解：由特称命题的否定是全称命题得：命题“，”的否定是“，”.故答案为：，.【点睛】本题考查特称命题的否定，是基础题.15. 已知两定点，如果平面内动点满足条件，则的最大值是_【答案】【解析】【分析】设动点坐标，再由几何条件，可得轨迹方程，进一步可得
9、所求解.【详解】设，由，可得，整理得: ，即所以（表示中边上的高），显然，所以最大值为.故答案为:.【点睛】本题为用轨迹的方法求三角形面积最大值，属于难题.常用求轨迹的方法：定义法：根据题目所给的几何条件判断动点满足哪类常见轨迹，确定相应基本量得出方程；参数法：找出动点纵横坐标与第三变量的关系，消参后得出方程；转译法：找出动点与相关点的坐标关系，利用相关点的方程得出动点的轨迹方程；几何法：建系设点，由题设所给出的几何等式，转化为代数等式，整理可得方程.16. 如图边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，现在沿AE，AF以及EF把这个正方形折成一个四面体，使得B，C，D三点重合
10、，重合后的点记为P，则四面体PAEF的高为_【答案】【解析】【分析】根据折叠前后的线段的数量关系和位置关系可得出两两垂直，进而得平面，再利用三棱锥的等体积法可求得高.【详解】边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF以及EF把这个正方形折成一个四面体，使得B，C，D三点重合，重合后的点记为P，则所以满足，所以两两垂直，平面，设P到平面AEF的距离为h，解得四面体的高为故答案为：.【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题和运用等积法求三棱锥的高，对于折叠问题关键在于注意把握折叠前后的线段间的数量关系和位置关系，属于中档题.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答题写出必要
11、的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知圆的圆心在直线上，且经过圆与圆的交点.（1）求圆的方程；（2）求圆的圆心到公共弦所在直线的距离.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出的坐标，然后求出的中垂线方程，然后求出圆心和半径即可；（2）两圆相减可得方程，然后利用点到直线的距离公式求出答案即可.【详解】（1）设圆与圆交点为，由方程组，得或不妨令，因此的中垂线方程为，由，得，所求圆的圆心，所以圆的方程为，即（2）圆与圆的方程相减得公共弦方程，由圆的圆心，半径，且圆心到公共弦：的距离18. 设命题函数在上是减函数，命题不等式有解.（1）若命题为真，求的取值范围；（2）若“”为假命题，“
12、”为真命题，求取值范围.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）命题为真，则即可求出；（2）由题可得一真一假，讨论即可求出.【详解】对于命题：函数在上是减函数，则，对于命题：不等式有解，则，解得或，（1）若命题为真，则或；（2）因为“”为假命题，“”为真命题，所以一真一假.若真假，则，解得；若假真，则，解得或，综上，的取值范围是.19. 菱形中，边所在直线过点.（1）求边所在直线的方程；（2）求对角线所在直线的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先求出直线的斜率，由平行斜率相等，进而得到的斜率，利用点斜式方程，即可得答案；（2）根据菱形对角线互相垂直，所以，可得，再利用
13、点斜式方程，即可得答案；【详解】解：（1）由题意知，因为，所以，所以直线的方程为，即 （2）因为，且菱形对角线互相垂直，所以，又因为对角线的中点坐标为，该点也是对角线的中点，所以直线的方程为，即.【点睛】两条直线垂直，斜率乘积为；求直线方时，一般需要确定斜率和定点.20. 如图，在正方体中，点在线段上运动.（1）证明：（2）证明：无论在线段何处，都有平面平面【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）连接，根据正方体的几何特征易证平面，再由平面得证；（2）连接，根据正方体的几何特征易证平面，再由平面，得证，同理可证，由线面垂直的判定定理可得平面，再利用面面垂直的判定定理证
14、明即可.【详解】（1）连接，因为，所以平面，又因为平面，所以，（2）连接，因为，所以平面，又因为平面，所以，同理可证，又，可得平面，由平面，所以无论在线段何处，都有平面平面，【点睛】方法点睛：（1）证明直线和平面垂直的常用方法：线面垂直的定义；判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想（2）证明平面和平面垂直的方法：面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a)21. 如图，四棱锥中，底面，是的中点.（1）求证：平面；（2）
15、求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，证得平面和平面，证得平面平面，即可证得平面；（2）过作，垂足为，连，证得平面，得到为二面角的平面角，在中，即可求解.【详解】（1）证明：取的中点，连接，平面，平面，平面，同理平面，又，平面平面，又平面，平面（2）过作，垂足为，连，,平面，又，平面，得平面，所以为二面角的平面角，在中，可解得，所以，二面角的余弦值.【点睛】证明线面平行关系的关键点及方法：1、证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线；2、利用几何体的结构特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形，寻找
16、比例式证明两直线平行；3、注意说明已知的直线不在平面内，即三个条件缺一不可.22. 已知点和以为圆心的圆.（1）求经过点且与圆相切的直线方程；（2）若经过点的直线与圆相交于两点，且求直线的方程.【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】(1)分斜率存在和不存在两种情况讨论，利用圆心到直线的距离等于半径计算即可；（2）联立直线与圆的方程得到韦达定理，利用向量数量积的坐标运算结合，解方程即可.【详解】解：（1）由题意知，圆心的坐标为，半径为2，当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，依题意有，解得，此时直线方程为，即所以所求切线的方程为或 （2）若直线斜率不存在时，直线方程为，此时直线与圆只有一个交点，不符合题意若直线斜率存在时，设直线方程为，由，得，其中即，解得或（舍去）所以直线方程为【点睛】关键点睛：在设直线方程时要注意分斜率存在与不存在两种情况讨论，避免漏解.