1、第10课时三角函数模型的简单应用1.通过观察分析已知的数据,能建立三角函数模型来刻画实际问题并加以解决.2.对已知某实际问题近似地满足于三角函数的模型,能用此模型探求相关的数据.3.体验三角函数模型在现实世界中的广泛应用,初步领略三角函数模型是处理周期变化现象的重要方法之一.(显示水车转动的动画,再抽象出水车的静态平面图,最后抽象出数学平面图)如图,一个水轮的半径为4 m,水轮圆心O距离水面2 m,已知水轮每分钟转动5圈,如果当水轮上点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间:(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t (s)的函数;(2)点P第一次到达最高点大约需要多少时间?问题1:三角
2、函数能够模拟现实中的许多周期现象,试举例说明:.问题2:函数y=Asin(x+)+B(A0,0)在物理中的应用:A表示;周期T=,频率f=;x+表示,表示.问题3:函数y=Asin(x+)+b(A0,0)的基本性质定义域:;值域:;周期:;奇偶性:当=时为偶函数;当=且时为奇函数,否则为函数.问题4:应用三角函数模型解决问题的一般程序应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为问题,通过分析它的变化趋势,确定它的,从而建立起适当的函数模型,解决问题的一般程序:(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解关系.(2)建模,分析题目周期性,选择适当的模型.(3)求解,对所建立的三角函数模型进行分析
3、研究得到数学结论.(4)还原,把数学结论还原为问题的解答.1.弹簧振子的振幅为2 cm,在6 s内振子通过的路程是32 cm,由此可知,该振子的振动的().A.频率为1.5 HzB.周期为1.5 sC.周期为6 sD.频率为6 Hz2.如图,一个水轮的半径为3 m,水轮圆心O距离水面2 m,已知水轮每分钟转动4圈,如果水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=Asin(x+)+2,则有().A.=,A=3B.=,A=3C.=,A=5D.=,A=53.据市场调查,一年内某种商品每件出厂价在7千元的基础上,按月呈y=Asin(x+)+b(A0,0,|0,|0,-).(1)求f(
4、t)的表达式;(2)求在2008 min时点P距离地面的高度.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图像大致是().考题变式(我来改编):答案第10课时三角函数模型的简单应用知识体系梳理问题1:物理中的简谐振动,交流电中的电流,水车问题和潮汐等问题2:振幅相位初相问题3:R-A+b,A+b+k(kZ)k(kZ)b=0非奇非偶问题4:数学周期三角(1)数学(2)三角函数(4)实际基础学习交流1.B由于弹簧振子的振幅为2 cm ,所以一个周期内弹簧振子通过的路程为8 cm ,在6 s内有4个周期,所
5、以周期为1.5 s.2.B由图可知,振幅A=3,每一圈用时,即周期T=15 s ,=,所以选B.3.y=2sin(x-)+7(1 x 12,xN+)由题意可知,=7-3=4,T=8,=,又f(x)=2sin(x+)+7,(*)把点(3,9)代入(*)式得sin(+)=1,+=+2k(kZ),又|1得,cost+11,cost 0,2k-t2k+(kZ),12k-3t84,sin(100t-),在100t-,的半个周期内,100t- , t,所以点亮的持续时间为-= s.基础智能检测1.D单摆来回摆动一次所需时间正好是函数的一个周期.=2,T=1.2.C周期T= s,从而频率为每秒50次,0.5
6、 s内往复运动的次数为25次.3.2000函数在一个周期0,2内的图像与直线y=2围成一个封闭的平面图形如图所示的阴影部分,根据余弦型函数的对称性,可将阴影部分S1、S2拼接到x轴上方空白部分S1、S2,因此阴影部分的面积就等于长方形AOBC的面积22=4,0,1000内函数图像和直线y=2围成一个封闭的平面图形的面积为4=4500=2000.4.解:(1)每3 min转一圈,T=3 min,=.又f(t)的最大值为110 m,最小值为10 m,h-A=10,A+h=110,A=50,h=60,f(t)=50sin(t+)+60.t=0时,f(0)=10,50sin +60=10,=-,f(t)=50sin(t-)+60.(2)f(2008)=50sin(-)+60=50sin(1338+-)+60=50sin +60=85 m.在2008 min时点P距离地面的高度为85 m.全新视角拓展C令AP所对圆心角为,由|OA|=1,则l=,sin=,d=2sin=2sin,即d=f(l)=2sin(0l2),它的图像为C.