1、2.3.2抛物线的简单几何性质课后训练案巩固提升一、A组1.若点P在抛物线x2=-12y上,且P到抛物线的准线的距离为d,则d的取值范围是()A.6,+)B.3,+)C.(6,+)D.(3,+)解析:由已知得2p=12,所以p2=3,因此d的取值范围是3,+).答案:B2.(2016陕西咸阳高二月考)已知抛物线x2=-4y的通径为AB,O为坐标原点,则()A.通径AB长为8,AOB的面积为4B.通径AB长为8,AOB的面积为2C.通径AB长为4,AOB的面积为4D.通径AB长为4,AOB的面积为2解析:抛物线的通径为过焦点且垂直于对称轴的弦,长为2p,故|AB|=4,SAOB=1214=2.答
2、案:D3.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点,若双曲线的离心率为2,AOB的面积为3,则抛物线的焦点坐标为()A.(2,0)B.(1,0)C.(8,0)D.(4,0)解析:因为ca=2,所以c2a2=a2+b2a2=4,于是b2=3a2,则ba=3,故双曲线的两条渐近线方程为y=3x,而抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=-p2,所以A-p2,3p2,B-p2,-3p2,则|AB|=3p,又AOB的高为p2,则SAOB=12p23p=3,即p2=4.因为p0,所以p=2,故抛物线焦点坐标为(1,0)
3、.答案:B4.直线y=kx-2交抛物线y2=8x于A,B两点,若AB中点的横坐标为2,则k=()A.2或-2B.1或-1C.2D.3解析:由y2=8x,y=kx-2,得k2x2-4(k+2)x+4=0.又由=42(k+2)2-16k20,得k-1.则由4(k+2)k2=4,得k=2或k=-1(舍去).故选C.答案:C5.(2016曲阜师大附中)已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交的公共弦长等于23,则抛物线的方程为()A.y2=3x或y2=-3xB.y2=-3xC.y2=6xD.y2=6x或y2=-6x解析:设所求抛物线的方程为y2=2mx(m0),设交点A(x1
4、,y1),B(x2,y2)(y10,y20),由于l垂直于对称轴且过焦点,故直线l的方程为x=p2,则|AB|=2p=12,故p=6.所以抛物线的准线方程为x=-3,故SABP=12612=36.答案:367.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是.解析:设直线l方程为y=k(x+2),与抛物线联立方程组整理得ky2-8y+16k=0.当k=0时,直线l与抛物线有一个交点;当k0时,由=64-64k20,解得-1k1,且k0.所以-1k1.答案:-1k18.已知点A(2,0),B(4,0),点P在抛物线y2=-4x上运动,则APBP
5、取最小值时点P的坐标为.解析:设点P(x0,y0),则y02=-4x0(x00),APBP=(x0-2,y0)(x0-4,y0)=x02-6x0+8+y02=x02-10x0+8=(x0-5)2-17.x0(-,0,当x0=0时,APBP取得最小值,此时点P的坐标为(0,0).答案:(0,0)9.已知直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值时,l与C有:(1)一个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点?解:由y=kx+1,y2=4x,得k2x2+(2k-4)x+1=0.(*)当k=0时,方程变为-4x+1=0,x=14,此时y=1.所以直线l与C只有一个公共点14,1,此时直
6、线l平行于x轴.当k0时,方程(*)是一个一元二次方程,且=(2k-4)2-4k21=16-16k,当0,即k1,且k0时,l与C有两个公共点,此时l与C相交;当=0,即k=1时,l与C有一个公共点,此时直线l与C相切;当1时,l与C没有公共点,此时直线l与C相离.综上所述,(1)当k=1或k=0时,直线l与C有一个公共点.(2)当k1时,直线l与C没有公共点.10.如图,河道上有一座抛物线型拱桥,在正常水位时,拱圈最高点距水面8 m,拱圈内水面宽16 m.为保证安全,要求通过的船的顶部(设为平顶)与拱圈在竖直方向上的高度之差至少为0.5 m.(1)一条船的顶部宽4 m,在正常水位时,要使这条
7、船安全通过,则船在水面以上部分的高度不能超过多少米?(2)近日因受台风影响水位暴涨2.7 m,为此必须加重船载,降低船身,才能通过桥洞.试问:一条顶部宽42 m,在水面以上部分的高度为4 m的船,船身应至少降低多少米才能安全通过?解:(1)如图所示,以过拱桥的最高点O且平行于水面的直线为x轴,以过点O且垂直于水面的直线为y轴建立平面直角坐标系.设抛物线的方程为x2=-2py(p0),将点(8,-8)代入得2p=8,则抛物线的方程为x2=-8y,将x=2代入x2=-8y,得y=-0.5,8-0.5-0.5=7(m),故船在水面以上部分的高度不能超过7 m.(2)将x=22代入方程x2=-8y,得
8、y=-1,此时1+0.5+2.7+4=8.2(m),8.2-8=0.2(m),故船身应至少降低0.2 m才能安全通过.二、B组1.已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p0),则()A.直线与抛物线有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点解析:直线y=kx-k=k(x-1)经过点(1,0),当k=0时,直线与抛物线有一个公共点,当k0时,直线与抛物线有两个公共点.答案:C2.已知点A(1,4)在抛物线y2=2px(p0)的准线l上,焦点为F,若点M在抛物线上,且满足|MA|=|MF|,则点M的坐标为()A.(-4,4)B.(-
9、4,-4)C.(-1,2)D.(4,4)解析:由已知得抛物线准线l的方程为x=1,于是抛物线方程为y2=-4x.因为点M(x0,y0)在抛物线上,且|MA|=|MF|,所以MAl,因此y0=4,于是x0=-4,即点M的坐标为(-4,4).答案:A3.沿直线y=-2发出的光线经抛物线y2=ax反射后,与x轴相交于点A(2,0),则抛物线的准线方程为.(提示:抛物线的光学性质从焦点发出的光线经抛物线反射后与抛物线的对称轴平行)解析:由直线y=-2平行于抛物线的轴知A(2,0)为焦点,故准线方程为x=-2.答案:x=-24.在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A
10、,B两点,其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60,则OAF的面积为.解析:直线l的方程为y=3(x-1),即x=33y+1,代入抛物线方程得y2-433y-4=0,解得yA=433+163+162=23(yB0)的焦点为F,点P1,14在抛物线上.(1)求抛物线的标准方程;(2)过点P作PQ垂直于抛物线的准线,垂足为Q,若抛物线的准线与对称轴相交于点M,求四边形PQMF的面积.解:(1)由点P1,14在抛物线上,得p=18,故抛物线标准方程为x2=4y.(2)由(1)知点F(0,1),准线方程为y=-1,所以|FM|=2,|PQ|=1+14=54,|MQ|=1,则直角梯形PQMF的面积等于
11、1254+21=138.6.导学号59254031设直线l:x=ty+p2与抛物线C:y2=2px(p0,p为常数)交于不同的两点A,B,点D为抛物线准线上的一点.(1)若t=0,且ABD的面积为4,求抛物线的方程;(2)当ABD为正三角形时,求点D的坐标.解:(1)直线l:x=ty+p2过抛物线C的焦点Fp2,0.当t=0时,不妨设Ap2,p,Bp2,-p,则|AB|=2p.又点D到直线l的距离d=p,所以SABD=12|AB|d=122pp=p2=4,所以p=2.所以抛物线的方程为y2=4x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D-p2,m.由x=ty+p2,y2=2px,得y2-
12、2pty-p2=0,则y1+y2=2pt,y1y2=-p2,从而x1+x2=ty1+p2+ty2+p2=t(y1+y2)+p=2pt2+p.所以线段AB的中点为Mpt2+p2,pt.当t=0时,不满足条件,所以t0.由DMAB,得kDM=-t,即pt-mpt2+p2+p2=-t,解得m=pt3+2pt,从而D-p2,pt3+2pt,|DM|=pt2+p2+p22+(pt-pt3-2pt)2=p(t2+1)t2+1.|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=2pt2+p+p=2p(t2+1).由|DM|=32|AB|,得p(t2+1)t2+1=3p(t2+1),解得t=2.此时,点D-p2,42p.