1、2015-2016学年山东省济宁市曲阜师大附中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1已知集合A=y|y=log2x，x1，B=y|y=（）x，x1，则AB=（）Ay|0yBy|0y1Cy|y1D2下列关于命题的说法错误的是（）A对于命题p：xR，x2+x+10，则p：xR，x2+x+10B“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件C命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x23x+20”D若pq为假命题，则p，q均为假命题3由曲线xy=1，直线y=x，x=3所围成的封闭图
2、形的面积为（）AB4ln3CD4设双曲线x2y2=1的两条渐近线与直线x=围成的三角形区域（包含边界）为D，点P（x，y）为D内的一个动点，则目标函数z=x2y的最小值为（）A2BC0D5如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB=2AD，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）ABCD6函数y=的图象是（）ABCD7定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）0，且对任意xR，f（x+2）=恒成立，则fA4B3C2D18函数f（x）=Asin（x+）（其中A0，|）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度
3、C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度9设函数f（x）=4x+2x2的零点为x1，g（x）的零点为x2，若|x1x2|，则g（x）可以是（）Ag（x）=1Bg（x）=2x1CDg（x）=4x110已知点A是抛物线y=的对称轴与准线的交点，点B为该抛物线的焦点，点P在该抛物线上且满足|PB|=m|PA|，当m取最小值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）ABCD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11已知f（n）=1+（nN*），经计算得f（4）2，f（8），f（16）3，f（32），观察上述结果，可归纳出的一般结论为12一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度
4、单位为m），则该棱锥的体积是_m313已知两直线l1： xy+2=0，l2： xy10=0，截圆C所得的弦长为2，则圆C的面积是_14定义*是向量和的“向量积”，它的长度|*|=|sin，其中为向量和的夹角，若=（2，0），=（1，），则|*（+）|=_15已知函数f（x）=|exa|+（a2）当x0，ln3时，函数f（x）的最大值与最小值的差为，则a=_三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量=（a，2bc），=（cosA，cosC），且（1）求角A的大小；（2）设f（x）=cos（x）+si
5、nx（0）且f（x）的最小正周期为，求f（x）在区间0，上的值域17如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，ADBC，CEBG，且BCD=BCE=，平面ABCD平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2（1）证明：AG平面BDE（2）求平面BDE和平面ADE所成锐二面角的余弦值18第二届世界互联网大会在浙江省乌镇开幕后，某科技企业为抓住互联网带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台，需另投入成本为C（x）万元若年产量不足80台时，C（x）=x2+40x（万元）；若年产量不小于80台时，C（x）=101x+2180（万元）每台设备售
6、价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完（1）求年利润y（万元）关于年产量x（台）的函数关系式；（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？19已知数列an是各项均为正数的等差数列，首项a1=1，其前n项和为Sn；数列bn是等比数列，首项b1=2，且b2S2=16，b3S3=72（1）求数列an，bn的通项公式；（2）若，求数列cn的前n项和Tn20已知函数f（x）=2alnx+2（a+1）xx2（a0）（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2）处的切线与x轴平行，求实数a的值；（2）讨论f（x）的单调性；（3）若f（x）x2+2ax+b恒成立，求实
7、数a+b的最大值21椭圆C： 的上顶点为P， 是C上的一点，以PQ为直径的圆经过椭圆C的右焦点F（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F且与坐标不垂直的直线l交椭圆于A，B两点，在直线x=2上是否存在一点D，使得ABD为等边三角形？若存在，求出直线l的斜率；若不存在，请说明理由2015-2016学年山东省济宁市曲阜师大附中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1已知集合A=y|y=log2x，x1，B=y|y=（）x，x1，则AB=（）Ay|0yBy|0y1Cy|y1D【考点
8、】交集及其运算【分析】首先根据对数函数和指数函数的特点求出集合A和B，然后再求两个集合的交集即可【解答】解：集合A=y|y=log2x，x1，A=（0，+）B=y|y=（）x，x1，B=（0，）AB=（0，）故选A2下列关于命题的说法错误的是（）A对于命题p：xR，x2+x+10，则p：xR，x2+x+10B“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件C命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x1，则x23x+20”D若pq为假命题，则p，q均为假命题【考点】复合命题的真假；四种命题；命题的真假判断与应用【分析】根据全称命题的否定是特称命题判断A是否正确；根据充分、必要条件的判
9、定方法判断B是否正确；根据逆否命题的定义判断C是否正确；利用复合命题的真值表判定D是否正确【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，A正确；x=1x23x+2=0，当x23x+2=0时，x=1不确定，根据充分必要条件的判定，B正确；根据逆否命题的定义，是逆命题的否命题，C正确；pq为假命题根据复合命题真值表，P，q至少一假，D错误；故选D3由曲线xy=1，直线y=x，x=3所围成的封闭图形的面积为（）AB4ln3CD【考点】定积分【分析】确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可得到结论【解答】解：由曲线xy=1，直线y=x，解得x=1由xy=1，x=3可得交点坐标为
10、（3，）由曲线xy=1，直线y=x，x=3所围成封闭的平面图形的面积是S=（x）dx=（x2lnx）|=4ln3故选：B4设双曲线x2y2=1的两条渐近线与直线x=围成的三角形区域（包含边界）为D，点P（x，y）为D内的一个动点，则目标函数z=x2y的最小值为（）A2BC0D【考点】双曲线的简单性质；简单线性规划【分析】依题意可知平面区域是由y=x，y=x，x=构成把可行域三角形的三个顶点坐标代入z即可求得最小值【解答】解：依题意可知平面区域是由y=x，y=x，x=构成可行域三角形的三个顶点坐标为，将这三点代可求得Z的最小值为故选B5如图，长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1=2AB=2A
11、D，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为（）ABCD【考点】异面直线及其所成的角【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1B与AD1所成角的余弦值【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设AA1=2AB=2AD=2，则A1（1，0，2），B（1，1，0），A（1，0，0），D1（0，0，2），=（0，1，2），=（1，0，2），设异面直线A1B与AD1所成角为，则cos=异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为故选：D6函数y=的图象是（）ABCD【考点】函数的图象【分析】根据函数的奇偶
12、性和特殊值法，即可判断【解答】解：y=为偶函数，图象关于y轴对称，排除A，C，当x=时，y=0，排除D，故选：B7定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）0，且对任意xR，f（x+2）=恒成立，则fA4B3C2D1【考点】函数奇偶性的性质；函数的周期性【分析】先根据条件求出函数f（x）的周期为4，并根据f（x）为偶函数，从而得到f，而令x=1便可求出f（1）=1，从而得出f是周期为4的周期函数；f=f（1）=f（1）；由令x=1得：f（1）=；f（x）0，f（1）=1；f函数f（x）=Asin（x+）（其中A0，|）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A
13、向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】首先根据函数的图象现确定函数解析式，进一步利用平移变换求出结果【解答】解：根据函数的图象：A=1又解得：T=则：=2当x=，f（）=sin（+）=0解得：所以：f（x）=sin（2x+）要得到g（x）=sin2x的图象只需将函数图象向右平移个单位即可故选：A9设函数f（x）=4x+2x2的零点为x1，g（x）的零点为x2，若|x1x2|，则g（x）可以是（）Ag（x）=1Bg（x）=2x1CDg（x）=4x1【考点】函数的零点与方程根的关系【分析】求出函数f（x）的零
14、点的取值范围，分别求出函数g（x）的零点，判断不等式|x1x2|是否成立即可【解答】解：f（1）=4+220，f（0）=120，f（）=2+120，f（）=+220，则x1（，），A由g（x）=1=0，得x=1，即函数的零点为x2=1，则不满足|x1x2|，B由g（x）=2x1=0，得x=0，即函数的零点为x2=0，则不满足|x1x2|，C由=0得x=，即函数零点为x2=，则不满足|x1x2|，D由g（x）=4x1=0，得x=，即函数的零点为x2=，则满足|x1x2|，故选：D10已知点A是抛物线y=的对称轴与准线的交点，点B为该抛物线的焦点，点P在该抛物线上且满足|PB|=m|PA|，当m取
15、最小值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为（）ABCD【考点】抛物线的简单性质；双曲线的简单性质【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PB|=m|PA|，可得=m，设PA的倾斜角为，则当m取得最小值时，sin最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率【解答】解：过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，|PB|=m|PA|，|PN|=m|PA|，则=m，设PA的倾斜角为，则sin=m，当m取得最小值时，sin最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx1，代入x2=
16、4y，可得x2=4（kx1），即x24kx+4=0，=16k216=0，k=1，P（2，1），双曲线的实轴长为|PA|PB|=2（1），双曲线的离心率为=+1故选：C二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11已知f（n）=1+（nN*），经计算得f（4）2，f（8），f（16）3，f（32），观察上述结果，可归纳出的一般结论为【考点】归纳推理【分析】由题意f（4）2，可化为f（22），f（8），可化为f（23），f（16）3即为f（24），f（32）即为f（25），即可归纳得到结论【解答】解：由题意f（4）2，可化为f（22），f（8），可化为f（23），f（16）3，可化为f（2
17、4），f（32），可化为f（25），以此类推，可得f（2n+1）（nN*）故答案为：f（2n+1）（nN*）12一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的体积是m3【考点】由三视图求面积、体积【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底边长也为2的等腰直角三角形，然后利用三视图数据求出几何体的体积【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面边长为2，底面面积22=2，故此三棱锥的体积为22=（m3），故答案为：13已知两直线l1：
18、xy+2=0，l2： xy10=0，截圆C所得的弦长为2，则圆C的面积是10【考点】直线与圆的位置关系【分析】设圆心C（a，b），半径r，由已知可得关于a，b，r的方程组，整体运算求出圆C的半径，由此能求出圆的面积【解答】解：两直线l1： xy+2=0，l2： xy10=0截圆C所得的弦长均为2，设圆心C（a，b），设圆半径r，则，解得，圆C的面积S=r2=10故答案为：1014定义*是向量和的“向量积”，它的长度|*|=|sin，其中为向量和的夹角，若=（2，0），=（1，），则|*（+）|=2【考点】平面向量的坐标运算；向量的模【分析】用向量的数量积求得的夹角，再利用“向量积”的定义求值【
19、解答】解：的夹角满足cos=2故答案为215已知函数f（x）=|exa|+（a2）当x0，ln3时，函数f（x）的最大值与最小值的差为，则a=【考点】函数的最值及其几何意义【分析】利用函数f（x）=|exa|+（a2）去掉绝对值，讨论2a3和a3根据函数的单调性确定f（x）的最值，再由条件解方程，可求参数的值，从而可得结论【解答】解：由a2，f（x）=|exa|+=，x0，ln3，ex1，3，ex=a时，函数取得最小值为，x=0时，aex+=1+a+；x=ln3时，exa+=3a+，当2a3时，函数f（x）的最大值M=1+a+，函数f（x）的最大值M与最小值m的差为，2a3时，1+a+=，a=
20、，当a3时，lnaln3，此时f（x）在0，ln3内单调递减，所以函数在f（0）处取最大值，在f（ln3）处取最小值，即有1+a+（3a+）=，解得a=，不符合a大于3，所以舍去故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）16在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量=（a，2bc），=（cosA，cosC），且（1）求角A的大小；（2）设f（x）=cos（x）+sinx（0）且f（x）的最小正周期为，求f（x）在区间0，上的值域【考点】正弦定理【分析】（1）由，可得acosC=（2bc）cosA，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用
21、化简可得：sinB=2sinBcosA，结合sinB0，解得cosA=，根据范围A（0，），即可求A的值（2）由（1）及三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得：f（x）=sin（），利用周期公式可求，由x0，可得2x+，利用正弦函数的图象和性质即可求得f（x）在区间0，上的值域【解答】解：（1）=（a，2bc），=（cosA，cosC），且，acosC=（2bc）cosA，由正弦定理可得：sinAcosC=（2sinBsinC）cosA，即sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosA，可得：sinB=2sinBcosA，sinB0，cosA=，A（0，），A=6分（2）由（1）可得
22、：f（x）=cos（x）+sinx=cosx+sinx=sin（），=2，f（x）=sin（2x+），x0，2x+，f（x）=sin（2x+），即f（x）在区间0，上的值域为，12分17如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，ADBC，CEBG，且BCD=BCE=，平面ABCD平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2（1）证明：AG平面BDE（2）求平面BDE和平面ADE所成锐二面角的余弦值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（1）以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AG平面BDE（2）求出平面ADE的法向
23、量和平面BDE的法向量，利用向量法能求出平面BDE和平面ADE所成锐二面角的余弦值【解答】证明：（1）平面ABCD平面BCEG，平面ABCD平面BCEG=BC，CEBC，CE平面BCEG，EC平面ABCD，以C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，2，0），D（2，0，0），E（0，0，2），A（2，1，0），G（0，2，1），设平面BDE的法向量为=（x，y，z），=（0，2，2），=（2，0，2），取x=1，得=（1，1，1），=（2，1，1），=0，AG平面BDE，AG平面BDE解：（2）设平面ADE的法向量=（a，b，c），=（0，1，0），=（2，0
24、，2），则，取x=1，得=（1，0，1），由（1）得平面BDE的法向量为=（1，1，1），设平面BDE和平面ADE所成锐二面角的平面角为，则cos=平面BDE和平面ADE所成锐二面角的余弦值为18第二届世界互联网大会在浙江省乌镇开幕后，某科技企业为抓住互联网带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x台，需另投入成本为C（x）万元若年产量不足80台时，C（x）=x2+40x（万元）；若年产量不小于80台时，C（x）=101x+2180（万元）每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完（1）求年利润y（万元）关于年产量x（台）
25、的函数关系式；（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？【考点】函数模型的选择与应用【分析】（1）通过利润=销售收入成本，分0x80、x80两种情况讨论即可；（2）通过（1）配方可知当0x80时，当x=60时y取得最大值为1300（万元），利用基本不等式可知当x80时，当x=90时y取最大值为1500（万元），比较即得结论【解答】解：（1）当0x80时，y=100x（x2+40x）500=x2+60x500，当x80时，y=100x500=1680（x+），于是y=；（2）由（1）可知当0x80时，y=（x60）2+1300，此时当x=60时y取得最大值为1300（万元
26、），当x80时，y=1680（x+）16802=1500，当且仅当x=即x=90时y取最大值为1500（万元），综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为1500万元19已知数列an是各项均为正数的等差数列，首项a1=1，其前n项和为Sn；数列bn是等比数列，首项b1=2，且b2S2=16，b3S3=72（1）求数列an，bn的通项公式；（2）若，求数列cn的前n项和Tn【考点】数列的求和【分析】（1）由已知条件，利用等差数列、等比数列的通项公式、前n项和列出方程组，求出等差数列的公差和等比数列的公比，由此能求出an与bn；（2）由（1）能推导出Sn=n
27、2，两次运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，等差数列an的各项均为正数，a1=1，b1=2，an=1+（n1）d，bn=2qn1，d0，b2S2=16，b3S3=72，解得d=q=2，an=2n1，bn=2n（2）a1=1，d=2，Sn=n+n（n1）2=n2，可得=，前n项和Tn=+，Tn=+，相减可得Tn=+，设An=+，An=+，两式相减可得， An=+2（+）=+2，化简可得An=3即有Tn=3，可得Tn=620已知函数f（x）=2alnx+2（a+1）xx2（a0）（1）若函数f（x）的图象在点（2
28、，f（2）处的切线与x轴平行，求实数a的值；（2）讨论f（x）的单调性；（3）若f（x）x2+2ax+b恒成立，求实数a+b的最大值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】（1）求出f（x）的导数，求出a的值即可；（2）求出f（x）的导数，通过a的范围，从而求出函数的单调区间；（3）问题转化为2alnx2x+b0恒成立，令g（x）=2alnx2x+b，（x0），求出g（x）的最大值，得到a+b3a2alna，令h（x）=3x2xlnx，（x0），求出h（x）的最大值即可【解答】解：（1）f（x）=+2a+22x，f（2）=a2=0，解得：a=2；（2）f（x）=
29、，a=1时，f（x）=0，f（x）在（0，+）递减；0a1时，由f（x）0，解得：ax1，f（x）在（a，1）递增，在（0，a），（1，+）递减；a1时，同理f（x）在（1，a）递增，在（0，1），（a，+）递减；（3）f（x）x2+2ax+b恒成立，2alnx2x+b0恒成立，令g（x）=2alnx2x+b，（x0），g（x）=，g（x）在（0，a）递增，在（a，+）递减，g（x）max=g（a）=2alna2a+b0，b2a2alnaa+b3a2alna，令h（x）=3x2xlnx，（x0），h（x）=12lnx，h（x）在（0，）递增，在（，+）递减，h（x）max=h（）=2，a+b2
30、，a+b的最大值是221椭圆C： 的上顶点为P， 是C上的一点，以PQ为直径的圆经过椭圆C的右焦点F（1）求椭圆C的方程；（2）过椭圆C的右焦点F且与坐标不垂直的直线l交椭圆于A，B两点，在直线x=2上是否存在一点D，使得ABD为等边三角形？若存在，求出直线l的斜率；若不存在，请说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程【分析】（1）把代入椭圆方程可得： +=1，解得a2又P（0，b），F（c，0），可得=0，又a2=b2+c2=2，联立解得b，c即可得出椭圆C的方程（2）在直线x=2上存在一点D，使得ABD为等边三角形设直线l的方程为：y=k（x1），代入椭圆方程可得：（2k2
31、+1）x24k2x+2k22=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式，弦长公式与等边三角形的性质即可得出【解答】解：（1）把代入椭圆方程可得： +=1，解得a2=2又P（0，b），F（c，0），=（c，b），=，=0，又a2=b2+c2=2，解得b=c=1，椭圆C的方程为+y2=1（2）在直线x=2上存在一点D，使得ABD为等边三角形设直线l的方程为：y=k（x1），代入椭圆方程可得：（2k2+1）x24k2x+2k22=0，0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，设AB的中点为M（x0，y0），则x0=，y0=k（x01）=|AB|=DAB为等边三角形，|DM|=|AB|，即=，解得k2=2，即k=故在直线x=2上存在一点D，使得ABD为等边三角形此时直线l的斜率为2016年9月16日