1、第4课时导数在实际问题中的应用1.通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会导数在解决实际问题中的作用.2.在解决具体问题的过程中,体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.饮料瓶大小对饮料公司利润有何影响?下图是某种品牌饮料的三种规格不同的产品,它们的价格如下表所示:规格(L)21.250.6价格(元)5.14.52.5(1)对消费者而言,选择哪一种更合算呢? (2)对制造商而言,哪一种的利润更大呢?问题1:一般地,如果在区间a,b上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.只要利用导数求出函数y=f(x)的所有,再求出端点的函数值,进行比较,就可以得
2、出函数的最大值和最小值.问题2:生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为问题.导数是求函数最大(小)值的有力工具,可以运用导数解决一些生活中的优化问题.问题3:利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各个量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x);(2)求函数的,解方程f(x)=0;(3)比较函数在区间端点和点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.问题4:解决生活中的优化问题应当注意的问题确定函数关系式中自变量的区间,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际问题的值应舍去.1.把长度为16的线段分成两段,
3、各围成一个正方形,这两个正方形面积的最小值为( ).A.2B.4C.6D.82.要做一个圆锥形漏斗,其母线长20 cm,要使其体积最大,则其高是( ).A.cm B.100 cmC.20 cm D.cm3.周长为20的矩形,绕一条边旋转成一个圆柱,则圆柱体积的最大值是.4.一边长为48 cm的正方形铁皮,铁皮四角截去四个边长都为x cm的小正方形,做成一个无盖方盒.求x多大时,方盒容积最大?利润最大问题某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3x6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品
4、11千克. (1)求a的值;(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售量价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.容积最大问题请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E、F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.成本最低问题如图,某工
5、厂拟建一座平面图为矩形,且面积为200平方米的三级污水处理池,由于地形限制,长、宽都不能超过16米.如果池四周壁建造单价为每米400元,中间两条隔墙建造单价为每米248元,池底建造单价为每平方米80元,无盖.(1)写出总造价y(元)与污水处理池的长x(米)的函数关系式,并指出其定义域;(2)污水处理池的长和宽各为多少时,污水处理池的总造价最低?并求出最低总造价.如图,等腰梯形ABCD的三边AB,BC,CD分别与函数y=-x2+2,x-2,2的图像切于点P,Q,R.求梯形ABCD面积的最小值.已知某公司生产的品牌服装的年固定成本为10万元,每生产1千件,需要另投入1.9万元,设R(x)(单位:万
6、元)为销售收入,根据市场调查得知R(x)=其中x是年产量(单位:千件).(1)写出年利润W关于年产量x的函数解析式;(2)年产量为多少时,该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大?统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y=x3-x+8(0x120),已知甲、乙两地相距100千米.(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当汽车以多大速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?1.把长度为l的铁丝围成一个长方形,则长方形的最大面积为( ).A.l2B. C.D.2.设底为正三角形的直
7、棱柱的体积为V,则其表面积最小时底面边长为( ).A.B.C.D.23.做一个无盖圆柱水桶,其体积是27 m3,若用料最省,则圆柱的底面半径为m.4.已知一个扇形的周长为l,扇形的半径和中心角分别为多大时,扇形的面积最大?(2013年重庆卷)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000元(为圆周率).(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水
8、池的体积最大.考题变式(我来改编):答案第4课时导数在实际问题中的应用知识体系梳理问题1:极值问题2:优化问题3:(2)导数f(x)(3)极值问题4:定义基础学习交流1.D设两段长分别为x,16-x,则两个正方形的边长分别为,其面积和为S=()2+()2=,0x16. 令S=0得x=8,当0x8时,S0,当8x0,所以x=8时,面积和S取极小值,也是最小值,最小值为8.2.A设圆锥形漏斗的高为x cm,则底面半径为=,体积V=(400-x2)x=x-x3,0x20.令V=-x2=0,得x=或x=-(舍).当0x0,当x20时,V0,所以x=cm时,圆锥形漏斗的体积最大.3.设矩形一边长为x,且
9、为圆柱的半径,则圆柱的高为10-x.圆柱体积V=x2(10-x)=10x2-x3,0x10.令V=20x-3x2=0,得x=或x=0(舍).当0x0,当x10时,V0,所以x=时,圆柱体积最大,最大值是. 4.解:由已知得,方盒底面为正方形,且边长为(48-2x) cm,高为x cm,所以容积为V=(48-2x)2x,0x24. 令V=12x2-384x+2304=0,得x=8或x=24(舍).当0x0,函数递增;当8x24时,V0,函数递减.所以当x=8 cm时,方盒容积最大.最大值为V=(48-16)28=8192(cm3).重点难点探究探究一:【解析】(1)因为x=5时,y=11,所以+
10、10=11,a=2.(2)由(1)可知,该商品每日的销售量y=+10(x-6)2,所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3)+10(x-6)2=2+10(x-3)(x-6)2,3x6 .令f(x)=10(x-6)(3x-12)=0,得x=4或x=6(舍去).于是,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(3,4)4(4,6)f(x)+0-f(x)单调递增极大值42单调递减由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点.当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值等于42.所以,当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.【小结
11、】本解法中只有一个极值点,那么它就是最值点.解决此类有关利润的实际应用题,应灵活运用题设条件,建立利润的函数关系,利用导数求单峰函数的最值.常见的基本等量关系有:(1)利润=收入-成本;(2)利润=每件产品的利润销售件数.探究二:【解析】(1)设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),则a=x,h=(30-x),0x30.根据题意有S=602-4x2-(60-2x)2=240x-8x2=-8(x-15)2+1800(0x30),所以x=15 cm时包装盒侧面积S最大.(2)根据题意有V=(x)2(60-2x)=2x2(30-x)(0x30),所以,V=6x(20-x),当0x0,V递增;
12、当20x30时,V0,V递减.所以,当x=20时,V取极大值也是最大值.此时,包装盒的高与底面边长的比值为=.即x=20时包装盒容积V(cm3)最大, 此时包装盒的高与底面边长的比值为.【小结】本题主要考查空间想象能力、数学阅读能力及运用数学知识解决实际问题的能力、建立数学函数模型求解能力、导数在实际问题中的应用.探究三:【解析】(1)设长为x米,则宽为米,由题意得解得x16,y=(2x+2)400+2248+20080=800x+16000(x16).(2)y=800x+160002+16000=28800+16000=44800(元).当且仅当长为x=18米,宽为=米时,污水处理池的总造价
13、最低,最低总造价为444800元.问题基本不等式等号成立吗?结论本题第(2)小题容易做错的原因是忽略了题目中的条件,故解决本题要明确x的取值范围,即x16.于是,正确解答为:令y=800-=0,解得x=18. 当x(0,18)时,y0,函数为增函数.又x16,当x=16时,函数取最小值,最小值为45000元. 所以当污水处理池长为16米,宽为12.5米时,污水处理池的总造价最低,最低总造价为45000元.【小结】函数模型为f(x)=ax+的形式,通常使用基本不等式,但遇到等号不成立时,只能应用导数考查其单调性,由单调性求解.思维拓展应用应用一:设梯形ABCD的面积为S,点P的坐标为(t,-t2
14、+2)(0t2).由题意得点Q的坐标为(0,2),直线BC的方程为y=2.y=-x2+2, y=-x,y|x=t=-t .直线AB的方程为y-(-t2+2)=-t(x-t), 即y=-tx+t2+2 .令y=0,得x=,A(,0).令y=2,得x=t,B(t,2).S=(t+)22=2(t+)4.当且仅当t=,即t=时,取等号,且(0,2), t=时,S有最小值为4.所以梯形ABCD的面积的最小值为4.应用二:(1)设年产量为x千件,年利润为W万元,依题意有:W(x)=即W(x)=(2)W(x)=-x2+8.1.令W(x)=0得x1=9或x2=-9(舍去),当0x0,当9x10时,W(x)10
15、时,W(x)单调递减,此时W(x)-19+=37.7.当年产量为9千件时,该公司所获年利润最大.应用三:(1)当x=40千米/时,汽车从甲地到乙地,行驶了=2.5小时,要消耗汽油(403-40+8)2.5=17.5(升).(2)当速度为x千米/小时,汽车从甲地到乙地,行驶了小时,设耗油量为h(x)升,依题意得h(x)= (x3-x+8)=(x2+-)(0x120),h(x)=-=(0x120),令h(x)=0,得x=80.当x(0,80)时,h(x)0,h(x)是增函数.当x=80时,因为h(x)在(0,120上只有一个极值,所以这个极值就是最小值.所以当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,
16、从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.基础智能检测1.D设长方形一边长为x,则另一边长为-x,所以面积S=x(l-x)=-x2+x(0x).令S=0,得x=,当0x0,当x时,S0,所以当x=时,长方形面积最大,最大面积为.2.C设底面边长为x,高为h,则V=x2h,所以h=,表面积S=x22+3xh=x2+,S=x-,令S=0,得x=. 当0x时,S时,S0,所以x=时,表面积取极小值,也是最小值.3.3设底面半径为r,高为h,则用料面积S=2rh+r2,由V=r2h,所以h=,则S=+r2,令S=-+2r=0,得r=3.当0r3时,S3时,S0,所以r=3时,用料面积取极小值,也是最小
17、值,用料最省.4.解:设扇形的半径为r,中心角为弧度时,扇形的面积为S.因为S=r2,l-2r=r,所以S=r2=(-2)r2=(lr-2r2),S=(l-4r).令S=0,得r=,此时=2弧度. 所以扇形的半径为,中心角为2弧度时,扇形的面积最大.全新视角拓展解:(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh=200rh元,底面的总成本为160r2元,所以蓄水池的总成本为(200rh+160r2)元.又据题意200rh+160r2=12000,所以h=(300-4r2),从而V(r)=r2h=(300r-4r3).因r0,又由h0可得r0,故V(r)在(0,5)上为增函数;当r(5,5)时,V(r)0,故V(r)在(5,5)上为减函数.由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8.即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.