1、延庆区20192020学年第二学期期中试卷 高 二 数 学 2020.5本试卷共4页，满分150分，考试时间90分钟第卷（选择题）一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，则（A） （B）（C） （D） 2.计算（A） （B） （C） （D） 3.已知点，向量，则向量（A） （B） （C） （D）4.复数在复平面内对应的点位于（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限5.已知函数的定义域为,则“”是“”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条
2、件6.圆的圆心到直线的距离为（A） （B） （C） （D） 7.对任意实数，都有（且），则实数的取值范围是（A） （B） （C） （D） 8.已知函数是的导函数，则下列结论中错误的是 （A）函数的值域与的值域相同 （B）若是函数的极值点，则是函数的零点（C）把函数的图象向左平移个单位，就可以得到函数的图象（D）函数和在区间上都是增函数第卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分.9.若抛物线的准线经过双曲线的一个焦点,则=.10.在中, ,的面积为,则= ; = .11.已知平面，和直线m，给出条件：m；m；m；.当满足条件 时，m.12.已知函数 当时，若函数有且只有一个
3、极值点，则实数的取值范围是 ； 若函数的最小值为-1，则 三、解答题：本大题共5小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.13.（本小题满分15分）已知是等差数列，是等比数列，且，成等比数列，（）求的通项公式和的前项和及的最小值；（）求和: 14.（本小题满分16分）已知函数的图象经过点,（）求的值,并求函数的单调递增区间;（）当时,不等式恒成立,求实数的取值范围. 15. （本小题满分15分）为迎接年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核. 记表示学生的考核成绩，并规定为考核合格. 为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了
4、名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：50116601433587237687178114529902130() 请根据图中数据，写出该考核成绩的中位数、众数，若从参加培训的学生中随机选取1人，估计这名学生考核为合格的概率；()从图中考核成绩满足的学生中任取人，设表示这人中成绩满足的人数，求的分布列和数学期望；16.（本小题满分16分） 如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，已知，（）求证：；（）求平面与平面所成锐二面角的 余弦值；（）线段上是否存在点，使得 ?若存在，求出 的值；若不存在，说明理由17.（本小题满分16分）已知函数，.（）求曲线在点处的切线方程； （）求曲线的最值； （）求证:
5、对任意的成立. 高二数学答案及评分标准 2020.5一、选择题：（） 1. D 2. B 3 .A 4.D 5. B 6.B 7. C 8. D二、填空题：（） 9.；10.（前3后3）；11. ；12. .（前3后3）三、解答题：本大题共5小题，共78分.13.（本小题满分15分）解：（）根据三者成等比数列，可知， 1分故，解得， 2分故； 3分由， 5分该二次函数开口向上，对称轴为，故时，取最小值-9. 7分（）由（）知，. 9分所以,可得或（舍）. 11分因此. 13分从而数列是等比数列，公比为，首项为.所以 15分 14. (本小题满分16分） 解：（）根据题意得, 1分即,解得. 2
6、分所以 4分. 5分由, 6分得, 7分所以函数的单调递增区间是. 8分(一个都没写的扣一分)（）由（）可知.当时, 10分所以.所以. 12分当,即时, f(x)取得最大值,最大值为. 14分因为“不等式恒成立”等价于“”, 15分所以.故实数的取值范围是. 16分 15. （本小题满分15分）解：（）中位数为，众数为， 4分设该名学生考核成绩合格为事件，由茎叶图中的数据可以知道， 5分名同学中，有名同学考核合格，所以所求概率约为 . 7分 （）的所有可能取值为 8分 因为成绩的学生共有人，其中满足的学生有人， 9分所以， ， 13分 随机变量的分布列为 15分16. (本小题满分16分）解
7、：（）因为，所以 ，1分同理， 2分又 ，所以 ， 3分因为 ，所以 4分 （）因为，所以 ,又 ，故，而四边形为正方形，所以 又，所以以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 6分如图:则 ，则,取平面的一个法向量， 7分设平面的一个法向量，则即 8分令，则，则9分设平面与平面所成锐二面角的大小为，则所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为10分（）若与重合，则平面的一个法向量由（）知平面的一个法向量，则，则此时平面与平面不垂直 11分若与不重合，如图，设，则 所以 12分设平面的一个法向量，则即令，则，所以， 14分若，则，即，所以所以，线段上存在点使，且 16分17. (本小题满分16分）（）因为,所以, 1分 所以，而 3分所以曲线在处的切线方程为 ，化简得 4分 （）因为,令，得， 5分则，在区间 的变化情况如下表：10极大值8分所以在时取得最大值,无最小值. 10分（）由，因为，所以只需证明即可 12分因为，由（）知 13分（仅在处，其余各处） 14分所以在上单调递减，所以，所以对任意的成立. 16分说明：其它正确解法按相应步骤给分.