1、第4课时指数函数的图像与性质的应用1.理解和掌握指数函数的图像与性质.2.掌握不同的指数函数的图像间的关系与图像变换.3.能根据指数函数的图像研究它的定义域、值域、特殊点、单调性、奇偶性、最值.4.会求指数型复合函数的定义域、值域、单调性.在上一节课我们已经归纳了指数函数的概念及其图像和性质,并会利用指数函数的单调性比较幂的大小.这一节课我们将进一步探究指数函数的图像变换,以及指数型复合函数的单调性、值域的求法.问题1:函数y=2x与y=()x的图像有什么关系?函数y=2x与y=()x的图像关于对称,实质是y=2x上的点与y=()x上的点关于y轴对称.问题2:基本函数图像变换有以下几种形式:y
2、=f(x)y=f(x+a)(a0)y=f(x)y=f(x)+b(b0)y=f(x)y=f(-x)y=f(x)y=-f(x)y=f(x)y=f(|x|)y=f(x)y=|f(x)|问题3:什么是复合函数?复合函数的单调性怎么判断?设y=f(u),u=(x),且函数(x)的值域包含在f(u)的定义域内,那么y通过u的联系也是自变量x的函数,我们称y为x的,记为y=f(x),其中u称为中间变量.复合函数y=f(x)的单调性与构成它的函数u=(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下:函数单调性u=(x)增增减减y=f(u)增减增减y=f(x)增减减增即有结论:“”.问题4:指数型复合函数y=f
3、(ax)或y=af(x)的定义域和值域如何求?(1)指数型复合函数y=f(ax)的定义域是;它的值域应先求ax的取值范围,再求y=f(ax)的值域.(2)指数型复合函数y=af(x)的定义域就是的定义域,这样,就把求这种类型的函数的定义域问题转化为求指数有意义的x的集合;它的值域不但要考虑f(x)的值域,还要明确a1还是0a2B.a2C.0a1D.1a1的x的取值范围是.4.若函数f(x)=的最大值为m,且f(x)是偶函数,求m+u的值.指数型函数图像的变换利用函数y=2x的图像作出下列函数的图像.y=2x-1;y=2x-1.指数型复合函数的定义域、值域已知函数y=(,求函数的定义域、值域.指
4、数函数性质的综合应用定义运算ab=若函数y=2x2-x.求:(1)f(x)的解析式;(2)画出f(x)的图像,并指出单调区间、值域以及奇偶性.作出下列各函数图像.y=2|x|;y=-2x;y=|2x-1|.求函数y=(的单调递减区间.若函数f(x)=ax-1(a0,a1)的定义域和值域都是0,2,求实数a的值.1.下列结论正确的是().A.对于xR,恒有3x2xB.y=()-x是增函数C.对a1,xR,一定有axa-xD.y=2|x|是偶函数2.预测人口的变化趋势有多种方法,最常用的是“直接推算法”,使用的公式是Pn=P0(1+k)n(k为常数,k-1),其中Pn为预测期内n年后的人口数,P0
5、为初期人口数,k为预测期内的年增长率,如果-1k(a2+a+2)1-x,则x的取值范围是.4.已知函数f(x)=ax-1(x0)的图像经过点(2,),其中a0且a1.(1)求a的值;(2)求函数y=f(x)的值域.(2011年福建卷)已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于().A.-3B.-1C.1D.3考题变式(我来改编):答案第4课时指数函数的图像与性质的应用知识体系梳理问题1:y轴(x,y)(-x,y)问题3:复合函数同增异减问题4:(1)R(2)f(x)(3)单调性基础学习交流1.D由题意知,0a-11,解得1a2.2.B由0且y=()x是减函数,知0y=()0=
6、1.3.(-,0)可结合指数函数的图像,也可利用指数函数y=()x的单调性解决.画出指数函数y=()x的图像,可以看出,当x1.或利用其单调性求解,由于()x1=()0,而y=()x在R上是减函数,所以x0.4.解:f(-x)=f(x),=,(x+u)2=(x-u)2,u=0,故f(x)=.x20,-x20,01,m=1,故m+u=1+0=1.重点难点探究探究一:【解析】y=2x-1的图像可由y=2x的图像向右平移一个单位得到.如图.y=2x-1的图像可由y=2x的图像向下平移一个单位得到.如图.【小结】(1)函数y=f(x+b)的图像是由函数y=f(x)的图像向右(b0)平移|b|个单位得到
7、的;(2)函数y=f(-x)的图像与函数y=f(x)的图像关于y轴对称;(3)函数y=-f(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于x轴对称;(4)函数y=f(|x|)的图像是保留函数f(x)在y轴右边的图像不动,并作其关于y轴对称的图像.函数y=|f(x)|的图像是保留函数y=f(x)在x轴上方的图像不动,并把x轴下方的图像翻折到x轴上方,即关于x对称.探究二:【解析】设u=-x2+2x,y=()u,u=-x2+2x的定义域都是R,y=(的定义域为R.u=-x2+2x=-(x-1)2+11,()u()1,函数的值域为,+).【小结】对于形如y=af(x)(a0且a1)一类的函数,y=af(x)
8、的定义域与f(x)的定义域相同.求值域时,先确定函数f(x)的值域,再根据指数函数的单调性,求函数y=af(x)的值域.探究三:【解析】(1)由ab=知y=2x2-x=(2)y=f(x)的图像如图所示,在(-,0)上单调递增,在(0,+)上单调递减,值域为(0,1,为偶函数.【小结】研究函数时,函数图像的作用要充分重视,它可以十分直观地体现函数的性质.思维拓展应用应用一:函数y=2|x|(x0)的图像就是y=2x(x0)的图像,因为y=2|x|是偶函数,所以x0时的图像可由y=2x(x0)的图像关于y轴对称得到.于是可得到y=2|x|的完整图像.如图.函数y=-2x的图像可由y=2x的图像关于
9、x轴对称得到.如图.函数y=|2x-1|的图像可在y=2x-1的图像基础上,保留x轴上方的部分,把x轴下方的部分关于x轴对称翻折上去即可得到.如图.应用二:设u=x2-2x,则y=()u,对任意的1x1x2,有u1u2.又y=()u是减函数,u1y2,y=(的单调递减区间为1,+).应用三:当a1时,f(x)在0,2上递增,即a=.又a1,a=.当0a1时,f(x)在0,2上递减,即此时,无解.综上所述,实数a的值为.基础智能检测1.D当x3x,A项不正确;y=()x=()x在R上单调递减,B项不正确;当x=0时,就有ax=1,a-x=1,C项不正确;D符合偶函数的定义.2.B由于-1k0,所以01+k因为a2+a+2=(a+)2+1,所以y=(a2+a+2)x在R上为增函数,所以x1-x,则x,即x的取值范围是x|x.4.解:(1)因为函数图像过点(2,),所以a2-1=,则a=.(2)由(1)知f(x)=()x-1(x0).由x0得x-1-1.于是00,a+1=-2,解得a=-3,故选A.思维导图构建同增异减