1、第四节基本不等式突破点一利用基本不等式求最值1基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当ab时取等号2几个重要的不等式3算术平均数与几何平均数设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本不等式求最值问题已知x0，y0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最小值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么当且仅当xy时，xy有最大值是.(简记：和定积最大)一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)函数yx的最小值是2.()(2)函数f(x)cos
2、 x，x的最小值为4.()(3)x0，y0是2的充要条件()(4)若a0，则a3的最小值为2.()答案：(1)(2)(3)(4)二、填空题1当x0时，函数f(x)的最大值为_答案：12已知a，b(0，)，若ab1，则ab的最小值为_；若ab1，则ab的最大值为_解析：由基本不等式得ab22，当且仅当ab1时取到等号；ab2，当且仅当ab时取到等号答案：23若a，bR，ab0，则的最小值为_解析：a，bR，ab0，4ab2 4，当且仅当即时取得等号答案：44已知a0，b0，a2b3，则的最小值为_解析：由a2b3得ab1，所以2 .当且仅当a2b时取等号答案：考法一通过拼凑法利用基本不等式求最值
3、利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提“一正”“二定”“三相等”所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件例1(1)(2019泉州检测)已知0x2)的最小值为6，则正数m的值为_解析(1)0x2，m0，yx222222，当且仅当x2时取等号，又函数yx(x2)的最小值为6，226，解得m4.答案(1)B(2)4方法技巧通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本
4、不等式的前提考法二通过常数代换法利用基本不等式求最值例2(1)(2019青岛模拟)已知x0，y0，lg 2xlg 8ylg 2，则的最小值是_(2)(2019齐齐哈尔八校联考)若对x0，y0，x2y1，有m恒成立，则m的最大值是_解析(1)因为lg 2xlg 8ylg 2，所以x3y1，所以(x3y)24当且仅当，即x，y时取等号(2)x0，y0，x2y1，(x2y)22428，当且仅当x，y时取等号，的最小值为8，又m恒成立，m8，即m的最大值为8.答案(1)4(2)8方法技巧通过常数代换法利用基本不等式求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为
5、1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值1.已知x0，则函数yx的最大值是_解析：x0，b0，1.所以ab(ab)1010216.由题意得16x24x18m，即x24x2m对任意实数x恒成立，又x24x2(x2)26的最小值为6，所以6m，即m6.答案：6，)突破点二基本不等式的实际应用问题典例如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔挡的材料为铝合金，宽均为6 cm，上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为12，此铝合金窗占用的墙面面积为28 800 cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为a cm，b cm，铝合金窗的
6、透光部分的面积为S cm2.(1)试用a，b表示S；(2)若要使S最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？解(1)铝合金窗宽为a cm，高为b cm，a0，b0，ab28 800.设上栏框内高度为h cm，则下栏框内高度为2h cm，则3h18b，h，透光部分的面积S(a18)(a12)(a16)(b18)ab2(9a8b)28828 8002(9a8b)28829 0882(9a8b)(2)9a8b222 880，当且仅当9a8b时等号成立，此时ba，代入式得a160，从而b180，即当a160，b180时，S取得最大值铝合金窗的宽为160 cm，高为180 cm时，可使透光部分的面积最大方法技
7、巧利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解 针对训练某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x3.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是多少万元？解：由题意知t1(1x3)，设该公司的月利润为y万元，则yx32x3t16x316x345.545.5237.5，当且仅当x时取等号，即最大月利润为37.5万元