1、基础知识一、等差、等比数列的综合问题(1)若an是等差数列，则数列can(c0，c1)为数列；(2)若an为正项等比数列，则数列logcan(c0，c1)为数列；(3)若an既是等差数列又是等比数列，则数列an为等比等差常数列二、与银行利率相关的几类模型1银行储蓄单利公式利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y2银行储蓄复利公式按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，则本利和y.3产值模型原来产值的基础数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值y.axara(1xr)a(1r)xN(1p)x4分期付款模型a为贷款总额，r为月利率，b为月等额本息还款数
2、，n为贷款月数，则b易错知识一、审题错误1已知an是递增数列，且对任意xN*，都有ann2n恒成立，则实数的取值范围是()A(，)B(0，)C2，)D(3，)答案：D解题思路：an是递增数列，an1an，即(n1)2(n1)n2n.2n1对于nN*恒成立，而2n1在n1时取得最大值3，3，故选D.错因分析：数列是特殊的函数，可以用动态函数的观点研究数列，但必须时刻注意其“特殊”性，即：定义域为nN*.本题常出现如下错误：错解：ann2n(n，对称轴n当n1时为递增数列，则从而得2.故选C.二、实际应用错误2假设某市2004年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若
3、干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到另一年底，(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%?解析：(1)设中低价房面积形成数列an，由题意可知an是等差数列，其中a1250，d50，则Sn250n5025n2225n.令25n2225n4750，即n29n1900，而n是正整数，n10.到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米(2)设新建住房面积形成数列bn
4、，由题意可知bn是等比数列，其中b1400，q1.08，则bn400(1.08)n1，由题意可知an0.85bn，有250(n1)50400(1.08)n10.85.由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n6.到2009年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.回归教材1(教材P1146题改编)夏季高山上气温从山脚起每升高100米降低0.7，已知山顶气温是14.1，山脚的气温是26，那么此山相对于山脚的高度是()A1500米 B1600米 C1700米 D1800米解析：因a126，an14.1，d0.7.ana1(n1)d，14.126(n1)(0.7)n18，其
5、高度为(181)1001700.答案：C2(教材P1253题改编)某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次(一个分裂成两个)经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成()A511个 B512个 C1023个 D1024个解析：a10a1q929512(个)答案：B3等比数列an的公比为q，则“q1”是“对于任意自然数n，都有an1an”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件解析：当a10时，条件与结论均不能由一方推出另一方答案：D4设等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，若Sn1，Sn，Sn2成等差数列，则公比()Aq2 Bq1Cq2或q1Dq2或q1解析：由题意可得
6、2SnSn1Sn2，当q1时，即2qq2，解之得q2或q1，当q1时不成立答案：A5(教材改编题)A、B两个工厂2009年元月份的产值相等，A厂的产值逐月增加且每月增加的产值相同，B厂产值也逐月增加且月增长率相同，而2010年元月份两厂的产值又相等，则2009年7月份产值高的工厂是_解析：设两工厂的月产值从2009年元月起依次组成数列an，bn，由题意知an成等差数列，bn成等比数列，并且a1b1，a13b13.由于an成等差数列，即2009年7月份A厂产值高于B厂产值答案：A厂【例1】(2006辽宁高考)在等比数列an中，a12，前n项和为Sn，若数列an1也是等比数列，则Sn等于()A2n
7、11 B3nC2nD3n1命题意图 本题主要考查等比数列的概念、求和公式等综合应用解析 解法一：由an为等比数列可得an 1anq，an2anq2，由an1为等比数列可得(an11)2(an1)(an21)，故(anq1)2(an1)(anq21)化简上式可得q22q10，解得q1故an为常数列，且ana12，故Snna12n，故选C.解法二：设等比数列an的公比为q，则有a22q且a32q2令an1bn则有b13，b22q1，b32q21又数列bn为等比数列，(2q1)23(2q21)，解得q1，以下同解法一解法三：运用特殊与一般的数学思想，令an2，显然符合题意，故数列an1也符合题意，故
8、Snna12n.可见，在数列问题中，常数列往往可以作为一种典型的模型予以考虑答案 C(2009 浙江嘉兴一中)各项都是正数的等比数列an中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为()答案：B解析：由题意可知：a3a1a2，q21q，解得：(舍去)，所以选B.【例2】银行按规定，每经过一定的时间结算存(贷)款的利息一次，结算后立即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫复利现在某企业进行技术改造，有两种方案：甲方案一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年多获利5千元两种方案的使用期限都是10年，到期一次性归还
9、本息若银行贷款利息均按年息10%的复利计算，试比较这两种方案哪个获利更多(计算结果精确到103元，参考数据：1.1102.594，1.31013.786)思路点拨 甲方案中，每年的获利组成一等比数列，乙方案中每年的获利组成一等差数列，分别计算出10年的净获利之和作比较即可解析 甲方案10年获利是每年获利数组成的数列的前n项的和1(130%)(130%)2(130%)942.62(万元)到期时银行贷款的本息为10(110%)10102.59425.94(万元)，甲方案扣除贷款本息后净获利426225.9416.7(万元)；乙方案逐年获利组成一个等差数列，10年共获利1(10.5)(120.5)(
10、190.5)而贷款本息为111(110%)(110%)9乙方案扣除贷款本息后，净获利为325017.5315.0(万元)比较可知，甲方案获利多于乙方案获利即甲方案比乙方案获利多某林场有荒山3250亩，从2009年1月开始在该荒山上植树造林，且保证每年种树全部成活第一年植树100亩，以后每年都比上一年多植树50亩(1)问至少需几年才可将此荒山全部绿化；(2)如果新种树苗每亩的木材量为2立方米，树木每年的自然增材率为10%，那么到此荒山全部绿化后的那一年底，这里树木的木材量总共为多少立方米？(1.1112.85)解析：(1)设至少需要n年才可将此荒山全部绿化第一年植树a1100亩，第n年植树an与
11、第n1年植树an1满足anan150.每年植树an构成等差数列 Sn100n3250，n23n1300，即(n13)(n10)0，n10.故至少需要10年才能将此荒山全部绿化(2)设树木的木材量总共为M立方米M2(a11.110a21.19a31.18a91.12a101.1)，1.1 a11.111 a21.110 a31.19 a91.13a101.12，1.1a11.111(a2a1)1.1101.191.12a101.1，005M1001.111501.1101.191.125501.1 1002.8550605285820605500，M10000立方米故这里木材总量为10000立方
12、米.【例3】设函数f(x)(a，b为常数，a0)，若f(1)，且f(x)x只有一个实根(1)求f(x)的解析式；(2)若 数 列 an 满 足 关 系 式 an f(an 1)(nN*，且n2)，又a1，求an的通项公式；(3)设bn，求bn的最大值与最小值，以及相应的n值分析(1)利用函数与方程的思想；(2)利用函数构造新数列(3)利用函数的单调性，从而求出数列最大项与最小项解析(1)由f(1)可得ab3.又由f(x)x0，得xax(1b)0.方程只有一个实数根，得b1，a2，则f(x)(2)由anf(an1)，得an 是等差数列，又2005，20052(n1)2n2007，an(3)由(2
13、)知bn且n1003时，bn单调递增且大于1；当n1003时，bn单调递增且小于1.当n1003时，bn最大值为3；当n1004时，bn最小值为1.探究 利用函数与方程的思想，转化构造出新数列是解决函数与数列综合问题的常用手段(2009安徽合肥)已知数列an中，a1，点(1,0)在函数f(x)anx2an1x的图象上(1)求数列an的通项；(2)设bnlog2a2n1，求数列bn的前n项和Tn.解析：(1)由已知f(1)0an1 an.又因为a1 0，所以数列an是公比为 的等比数列所以an(2)由bnlog2a2n112n，所以Tn(1)(3)(5)(12n)n2.1在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程(组)求解，在解方程(组)时，仔细体会两种情况中解方程(组)的方法的不同之处2数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率、减少率、银行信贷、浓度匹配、养老保险、圆钢堆垒等问题解答数列综合题和应用题既要有坚实的基础知识又要有良好的逻辑思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段建立出有关等差(比)数列、递推数列模型、再结合其他相关知识来解决问题