1、3.1 导数的概念及运算最新考纲考情考向分析 1.了解导数概念的实际背景2.通过函数图象直观理解导数的几何意义3.能根据导数定义求函数 yc(c 为常数)，yx，yx2，yx3，y1x，y x的导数4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，(理)能求简单的复合函数(仅限于形如 f(axb)的复合函数)的导数.导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度.1导数与导函数的概念(1)一般地，函数 yf(x)在 xx0 处的瞬时变化率是 limx0yx limx0fx0
2、 xfx0 x，我们称它为函数 yf(x)在 xx0 处的导数，记作 f(x0)或0 x xy，即 f(x0)limx0yx limx0fx0 xfx0 x.(2)如果函数 yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数 yf(x)在开区(a，b)间内的导函数记作 f(x)或 y.2导数的几何意义函数 yf(x)在点 x0 处的导数的几何意义，就是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率 k，即 kf(x0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)c(c 为常数)f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)
3、sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axln af(x)ln xf(x)1xf(x)logax(a0，a1)f(x)1xln a4.导数的运算法则若 f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)fxgx fxgxfxgxgx2(g(x)0)5复合函数的导数复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 yxyuux，即 y 对x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积知识拓展
4、1奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数2af(x)bg(x)af(x)bg(x)3函数 yf(x)的导数 f(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)是函数 yf(x)在 xx0 附近的平均变化率()(2)f(x0)与f(x0)表示的意义相同()(3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线()(4)函数 f(x)sin(x)的导数是 f(x)cos x()题组二 教材改编2
5、P85A 组 T5若 f(x)xex，则 f(1).答案 2e解析 f(x)exxex，f(1)2e.3P18A 组 T6曲线 y1 2x2在点(1，1)处的切线方程为答案 2xy10解析 y2x22，y|x12.故所求切线方程为 2xy10.题组三 易错自纠4如图所示为函数 yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么 yf(x)，yg(x)的图象可能是()答案 D解析 由 yf(x)的图象知，yf(x)在(0，)上单调递减，说明函数 yf(x)的切线的斜率在(0，)上也单调递减，故可排除 A，C.又由图象知 yf(x)与 yg(x)的图象在 xx0 处相交，说明 yf(x)与 yg(x)的图
6、象在 xx0 处的切线的斜率相同，故可排除 B.故选 D.5有一机器人的运动方程为 st23t(t 是时间，s 是位移)，则该机器人在时刻 t2 时的瞬时速度为()A.194B.174C.154D.134答案 D6设函数 f(x)的导数为 f(x)，且 f(x)f 2 sin xcos x，则 f 4.答案 2解析 因为 f(x)f 2 sin xcos x，所以 f(x)f 2 cos xsin x，所以 f 2 f 2 cos 2sin 2，即 f 2 1，所以 f(x)sin xcos x，f(x)cos xsin x.故 f 4 cos 4sin 4 2.7已知函数 f(x)ax3x1
7、 的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则 a.答案 1解析 f(x)3ax21，f(1)3a1，又 f(1)a2，切线方程为 y(a2)(3a1)(x1)，又点(2,7)在切线上，可得 a1.题型一 导数的计算1f(x)x(2 018ln x)，若 f(x0)2 019，则 x0 等于()Ae2B1Cln 2De答案 B解析 f(x)2 018ln xx1x2 019ln x，故由 f(x0)2 019，得 2 019ln x02 019，则 ln x00，解得 x01.2若函数 f(x)ax4bx2c 满足 f(1)2，则 f(1)等于()A1B2C2D0答案 B解析 f(x)4
8、ax32bx，f(x)为奇函数且 f(1)2，f(1)2.3已知 f(x)x22xf(1)，则 f(0).答案 4解析 f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，即 f(1)2.f(x)2x4，f(0)4.思维升华 导数计算的技巧(1)求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元题型二 导数的几何意义命题点 1 求切线方程典例(1)曲线 f(x)exx1在 x0 处的切线方程为答案 2xy10解析 根据题意可知切点坐标为(0，1)，f(x)x1exexx1x12x2exx12，故切线的斜率 kf(0)02e0012 2
9、，则直线的方程为 y(1)2(x0)，即 2xy10.(2)已知函数 f(x)xln x，若直线 l 过点(0，1)，并且与曲线 yf(x)相切，则直线 l 的方程为答案 xy10解析 点(0，1)不在曲线 f(x)xln x 上，设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x，直线 l 的方程为 y1(1ln x0)x.由y0 x0ln x0，y011ln x0 x0，解得 x01，y00.直线 l 的方程为 yx1，即 xy10.引申探究 本例(2)中，若曲线 yxln x 上点 P 的切线平行于直线 2xy10，则点 P 的坐标是答案(e，e)解析 y1ln x，令 y2，即 1ln x2，
10、xe，点 P 的坐标为(e，e)命题点 2 求参数的值典例(1)直线 ykx1 与曲线 yx3axb 相切于点 A(1,3)，则 2ab.答案 1解析 由题意知，yx3axb 的导数 y3x2a，则13ab3，312ak，k13，由此解得 k2，a1，b3，2ab1.(2)已知 f(x)ln x，g(x)12x2mx72(m0)，直线 l 与函数 f(x)，g(x)的图象都相切，与 f(x)图象的切点为(1，f(1)，则 m.答案 2解析 f(x)1x，直线 l 的斜率 kf(1)1.又 f(1)0，切线 l 的方程为 yx1.g(x)xm，设直线 l 与 g(x)的图象的切点为(x0，y0)
11、，则有 x0m1，y0 x01，y012x20mx072，m0，m2.命题点 3 导数与函数图象典例(1)已知函数 yf(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数 yf(x)的图象如图所示，则该函数的图象是()答案 B解析 由 yf(x)的图象是先上升后下降可知，函数 yf(x)图象的切线的斜率先增大后减小，故选 B.(2)已知 yf(x)是可导函数，如图，直线 ykx2 是曲线 yf(x)在 x3 处的切线，令 g(x)xf(x)，g(x)是 g(x)的导函数，则 g(3).答案 0解析 由题图可知曲线 yf(x)在 x3 处切线的斜率等于13，f(3)13.g(x)xf(x)，g(x)f(
12、x)xf(x)，g(3)f(3)3f(3)，又由题图可知 f(3)1，g(3)1313 0.思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点 A(x0，f(x0)求斜率 k，即求该点处的导数值 kf(x0)(2)若求过点 P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由y1fx1，y0y1fx1x0 x1 求解即可(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况跟踪训练(1)(2017山西孝义模拟)已知 f(x)x2，则曲线 yf(x)过点 P(1,0)的切线方程是答案 y0 或 4xy40解析 设切点坐标为(x0，x
13、20)，f(x)2x，切线方程为 y02x0(x1)，x202x0(x01)，解得 x00 或 x02，所求切线方程为 y0 或 y4(x1)，即 y0 或 4xy40.(2)设曲线 y1cos xsin x在点2，1 处的切线与直线 xay10 平行，则实数 a.答案 1解析 y1cos xsin2x，2|1.xy 由条件知1a1，a1.求曲线的切线方程典例 若存在过点 O(0,0)的直线 l 与曲线 yx33x22x 和 yx2a 都相切，求 a 的值错解展示：现场纠错解 易知点 O(0,0)在曲线 yx33x22x 上(1)当 O(0,0)是切点时，由 y3x26x2，得 y|x02，即
14、直线 l 的斜率为 2，故直线 l 的方程为 y2x.由y2x，yx2a，得 x22xa0，依题意 44a0，得 a1.(2)当 O(0,0)不是切点时，设直线 l 与曲线 yx33x22x 相切于点 P(x0，y0)，则 y0 x303x202x0，0|x xky3x206x02，又 ky0 x0 x203x02，联立，得 x032(x00 舍去)，所以 k14，故直线 l 的方程为 y14x.由y14x，yx2a，得 x214xa0，依题意知 1164a0，得 a 164.综上，a1 或 a 164.纠错心得 求曲线过一点的切线方程，要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况.1函数 f(
15、x)(x2a)(xa)2 的导数为()A2(x2a2)B2(x2a2)C3(x2a2)D3(x2a2)答案 C解析 f(x)(xa)2(x2a)(2x2a)(xa)(xa2x4a)3(x2a2)2设函数 f(x)在定义域内可导，yf(x)的图象如图所示，则导函数 f(x)的图象可能是()答案 C解析 原函数的单调性是当 x0 时，f(x)的单调性变化依次为增、减、增，故当 x0；当 x0 时，f(x)的符号变化依次为，.故选 C.3(2017西安质检)曲线 f(x)x3x3 在点 P 处的切线平行于直线 y2x1，则 P 点的坐标为()A(1,3)B(1,3)C(1,3)或(1,3)D(1，3
16、)答案 C解析 f(x)3x21，令 f(x)2，则 3x212，解得 x1 或 x1，P(1,3)或(1,3)，经检验，点(1,3)，(1,3)均不在直线 y2x1 上，故选 C.4设曲线 yeaxln(x1)在 x0 处的切线方程为 2xy10，则 a 等于()A0B1C2D3答案 D解析 yeaxln(x1)，yaeax 1x1，当 x0 时，ya1.曲线 yeaxln(x1)在 x0 处的切线方程为 2xy10，a12，即 a3.故选 D.5(2018广州调研)已知曲线 yln x 的切线过原点，则此切线的斜率为()AeBeC.1eD1e答案 C解析 yln x 的定义域为(0，)，且
17、 y1x，设切点为(x0，ln x0)，则001|,x xyx切线方程为 yln x01x0(xx0)，因为切线过点(0,0)，所以ln x01，解得 x0e，故此切线的斜率为1e.6一质点沿直线运动，如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s13t33t28t，那么速度为零的时刻是()A1 秒末B1 秒末和 2 秒末C4 秒末D2 秒末和 4 秒末答案 D解析 s(t)t26t8，由导数的定义知 vs(t)，令 s(t)0，得 t2 或 4，即 2 秒末和 4 秒末的速度为零7(2017西安模拟)设曲线 yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为 y2x，则 a.答案 3解析 ya 1x1，
18、由题意得 y|x02，即 a12，所以 a3.8(2018 届云南红河州检测)已知曲线 f(x)xln x 在点(e，f(e)处的切线与曲线 yx2a 相切，则 a.答案 1e解析 因为 f(x)ln x1，所以曲线 f(x)xln x 在 xe 处的切线斜率为 k2，则曲线 f(x)xln x 在点(e，f(e)处的切线方程为 y2xe.由于切线与曲线 yx2a 相切，故 yx2a 可联立 y2xe，得 x22xae0，所以由 44(ae)0，解得 a1e.9已知曲线 y1ex1，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为答案 x4y20解析 y exex121ex1ex2，因为 ex0，所以
19、 ex1ex2ex1ex2(当且仅当 ex1ex，即 x0 时取等号)，则 ex1ex24，故 y1ex1ex214(当 x0 时取等号)当 x0 时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为0，12，切线的方程为 y1214(x0)，即x4y20.10(2018成都质检)已知 f(x)，g(x)分别是二次函数 f(x)和三次函数 g(x)的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示(1)若 f(1)1，则 f(1)；(2)设函数 h(x)f(x)g(x)，则 h(1)，h(0)，h(1)的大小关系为(用“”连接)答案(1)1(2)h(0)h(1)h(1)解析(1)由图可得 f(x)
20、x，g(x)x2，设 f(x)ax2bxc(a0)，g(x)dx3ex2mxn(d0)，则 f(x)2axbx，g(x)3dx22exmx2，故 a12，b0，d13，em0，所以 f(x)12x2c，g(x)13x3n，由 f(1)1，得 c12，则 f(x)12x212，故 f(1)1.(2)h(x)f(x)g(x)12x213x3cn，则有 h(1)56cn，h(0)cn，h(1)16cn，故 h(0)h(1)h(1)11已知函数 f(x)x34x25x4.(1)求曲线 f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点 A(2，2)的曲线 f(x)的切线方程解(1)f(x)3x28
21、x5，f(2)1，又 f(2)2，曲线在点(2，f(2)处的切线方程为 y2x2，即 xy40.(2)设曲线与经过点 A(2，2)的切线相切于点 P(x0，x304x205x04)，f(x0)3x208x05，切线方程为 y(2)(3x208x05)(x2)，又切线过点 P(x0，x304x205x04)，x304x205x02(3x208x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得 x02 或 1，经过点 A(2，2)的曲线 f(x)的切线方程为 xy40 或 y20.12已知曲线 yx3x2 在点 P0 处的切线 l1 平行于直线 4xy10，且点 P0 在第三象限(1)求 P
22、0 的坐标；(2)若直线 ll1，且 l 也过切点 P0，求直线 l 的方程解(1)由 yx3x2，得 y3x21，由已知令 3x214，解得 x1.当 x1 时，y0；当 x1 时，y4.又点 P0 在第三象限，切点 P0 的坐标为(1，4)(2)直线 ll1，l1 的斜率为 4，直线 l 的斜率为14.l 过切点 P0，点 P0 的坐标为(1，4)，直线 l 的方程为 y414(x1)，即 x4y170.13已知函数 f(x)x1，g(x)aln x，若在 x14处函数 f(x)与 g(x)的图象的切线平行，则实数 a 的值为()A.14B.12C1D4答案 A解析 由题意可知 f(x)1
23、212 x，g(x)ax，由 f 14 g 14，得12121()4a14，可得 a14，经检验，a14满足题意14(2017上饶模拟)若点 P 是曲线 yx2ln x 上任意一点，则点 P 到直线 yx2 距离的最小值为答案 2解析 由题意知 yx2ln x 的定义域为(0，)，当点 P 是曲线的切线中与直线 yx2 平行的直线的切点时，点 P 到直线 yx2 的距离最小，如图所示故令 y2x1x1，解得 x1，故点 P 的坐标为(1,1)故点 P 到直线 yx2 的最小值 dmin|112|2 2.15若函数 f(x)12x2axln x 存在垂直于 y 轴的切线，则实数 a 的取值范围是
24、答案 2，)解析 f(x)12x2axln x，定义域为(0，)，f(x)xa1x.f(x)存在垂直于 y 轴的切线，f(x)存在零点，即 x1xa0 有解，ax1x2(当且仅当 x1 时取等号)16(2018福州质检)设函数 f(x)axbx，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 7x4y120.(1)求 f(x)的解析式；(2)证明：曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0 和直线 yx 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值解(1)方程 7x4y120 可化为 y74x3.当 x2 时，y12.又 f(x)abx2，于是2ab212，ab474，解得a1，b3.故 f(x)x3x.(2)设 P(x0，y0)为曲线上任一点，由 y13x2，知曲线在点 P(x0，y0)处的切线方程为yy013x20(xx0)，即 yx03x0 13x20(xx0)令 x0，得 y6x0，从而得切线与直线 x0 的交点坐标为0，6x0.令 yx，得 yx2x0，从而得切线与直线 yx 的交点坐标为(2x0，2x0)所以点 P(x0，y0)处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形的面积为 S126x0|2x0|6.故曲线 yf(x)上任一点处的切线与直线 x0，yx 所围成的三角形的面积为定值，且此定值为 6.