1、江苏省天一中学2020-2021学年春学期期中考试高一数学学科（理强）命题人： 审阅人： 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小愿给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知是关于的方程的根，则实数a=（ ）.A.B.C.D.2、已知是不共线的向量，若A，B，C三点共线，则（ ）A.B.C.D.3、当复数满足时，则的最小值是（ ）A.B.C.D.4、已知a，b表示直线，表示平面，则下列说法正确的是（ ）.A.B.且C.D.5、已知O为ABC所在平面内一点，若，则（ ）A.B.C.D.6、在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若csinC=asinA+（b-
2、a）sinB，角C的角平分线交AB于点D，且，则c的值为（ ）A.B.C.D.7、半径为R的球内部装4个有相同半径r的小球，则小球半径r可能的最大值是（ ）A.B.C.D.8、在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围为（ ）A.B.C.D.二、选择题，本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9、下列说法中错误的是（ ）A.若向量满足，则存在唯一的实数，使得 B.已知非零向量，且与的夹角为锐角，则实数的取值花围是C.“”是复数是虚数的必要不充分条件D.若复数，满足，则10、
3、ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列说法正确的是A.若AB，则sinAsinB B.若A=30，b=4，a=3，则ABC有两解C.若ABC为钝角三角形，则D.若A=60，a=2，则ABC面积的最大值为11、如图，棱长为2的正方体中，P在线段（含端点）上运动，则下列判断正确的是（ ）A.B.三棱锥的体积不变，为C.平面 D.与所成角的范围是12、已知点O为ABC所在平面内一点，且，则下列选项正确的是（ ）A.若，则 B.若，且，则C.若直线AO过BC的中点，则D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13、九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P
4、-ABC为鳖臑，PA平面ABC，PA=AB=2，则三棱锥P-ABC的表面积为 .14、设复数满足：，其中i是虚数单位，a是负实数，求 .15、如果满足ABC=60，AC=12，BC=k的ABC恰有一个，那么k的取值范围是 .16、如图，在ABC中，已知C=90，AC=1，BC=2，直线l过ABC的重心G，且与边AB，AC分别交于D，E两点，则的最小值为 .四、解答题，本题共6小题，共70分，解答题写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17、设实部为正数的复数，满足，且复数在复平面上对应的点在第二、四象限的角平分线上.（1）求复数：（2）若为纯虚数，求实数m的值.18、如图，在菱形ABCD 中
5、，.（1）若，求3x+2y的值；（2）若，求.（3）若菱形ABCD的边长为6，求的取值范围.19、在这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答问题，ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .（1）求B；（2）若D为AC的中点，BD=2，求ABC的面积的最大值.20、如图，在正三棱柱中，点D在棱BC上，AD，点E，F分别是的中点.（1）求证：D为BC的中点（2）求证：EF/平面.21、如图，海上有A，B两个小岛，B在A的正东方向，小船甲从A岛出发以v海里/小时的速度沿北偏东60方向匀速直线行驶，同一时刻小船乙出发，经过t小时与小船甲相遇.（1）若AB相距2海里，v为海里/小时，小船乙从B岛出发匀速直线追赶，追赶10分钟后与小船甲相遇，求小船乙的速度；（2）若小船乙先从4岛以16海里/小时匀速沿射线AB方向行驶k（0kt）小时，再以8海里/小时匀速直线追赶小船甲，求小船甲在能与小船乙相遇的条件下v的最大值.22、四面体ABCD中，（1）AB=CD，AC =BD，AD = BC.求证：这个四面体的四个面都是锐角三角形；（2）有4条长为2的线段和2条长为a的线段，用这6条线段作为棱，构成一个三梭锥，问a为何值时，可构成一个最大体积的三棱锥，最大值为多少？（参考公式，三元均值不等式，当且仅当a=b=c时取得等号）
