1、2019-2020学年广东省梅州市高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1已知复数（1+2i）ia+bi，aR，bR，a+b（）A3B1C1D32在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sin，则sin（）ABCD3cos75（）ABCD4已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面，下列命题正确的是（）A若mn，n，则mB若，m，nm，则nC若ln，mn，则lmD若l，m，且lm，则5“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的“1+1”问题，它是1742年由数学家哥德巴赫提
2、出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩，若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（）ABCD6如图是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的表面积为（）ABC20D287箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（）ABCD8某省高考实行3+3模式，即语文、数学、英语必选，物理、化学、政治、历史、生物、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们至少有两科相同的选法有（）A11
3、0种B180种C360种D200种二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有错选的得0分.9下列命题中正确的是（）A如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行B如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面C如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行D如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直10已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|）部分图象如图所示，下列说法错误的是（）A函数yf（x）的图象关于
4、直线对称B函数yf（x）的图象关于点对称C函数yf（x）在上单调递减D该图象对应的函数解析式为11如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF，以下结论正确的有（）AACBEB点A到BEF所在平面的距离为定值C三棱锥ABEF的体积是正方体ABCDA1B1C1D1体积的D异面直线AE，BF所成的角为定值12针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关“作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（）人附表：P（K2
5、k0）0.0500.010k3.8416.635附：K2A25B35C45D60三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13计算sin15sin105的结果是 14（x3+）5的展开式中x7的系数为 15在锐角ABC中，BC1，B2A，则的值等于 ，AC的取值范围为 16农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为 ；若该六面体内有一球，则该球体积的
6、最大值为 四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知f（x）2sinxcosx2cos2x+1，若函数f（x）的周期为（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）当x0，时，求函数f（x）的值域18已知三棱柱ABCA1B1C1（如图所示），底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱CC1底面ABC，CC14，E为B1C1的中点（1）若G为A1B1的中点，求证：C1G平面A1B1BA；（2）求三棱锥AEBA1的体积19高二年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：80，90），90，100），100，110），110，120），120，130），130，
7、140），140，150其中a，b，c成等差数列，且c2a物理成绩统计如表（说明：数学满分150分，物理满分100分）分组50，60）60，70）70，80）80，90）90，100频数6920105（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；（2）若数学成绩不低于140分的为“优“，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”的学生总数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X为抽到两个“优”的学生人数，求X的分布列和期望值20在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（ac）（sinA+sinC）b（sinAsinB）（）求角C的大小；（）若c且bc，求ba
8、的取值范围21如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAADAB1，点E、M分别在线段AB、PC上，且，其中01，连接CE，延长CE与DA的延长线交于点F，连接PE，PF，ME（）求证：ME平面PFD；（）若时，求二面角APEF的正弦值；（）若直线PE与平面PBC所成角的正弦值为时，求值22我国东南沿海地区发展海产品养殖业具有得天独厚的优势根据养殖规模及以往的养殖经验，蓝天海鲜养殖场的一种海产品每只的质量（克）在正常环境下服从正态分布N（280，25）（1）随机购买10只蓝天养殖场的该海产品，求至少买到一只质量小于265克的概率；（2）2020年蓝天养殖场考虑增加先
9、进养殖技术投入，现用以往的先进养殖技术投入xi（千元）与年收益增量yi（千元）（i1，2，38）的数据绘制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线ya+b的附近，且46.6，563，6.8，其中ti，根据所给的统计量，求y关于x的回归方程，并预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量附：若随机变量ZN（1，4），则P（5Z7）0.9974，0.9987100.9871；对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（un，vn），其回归线v+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为，参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
10、要求的.1已知复数（1+2i）ia+bi，aR，bR，a+b（）A3B1C1D3【分析】根据复数相等建立方程关系进行求解即可解：由（1+2i）ia+bi得2+ia+bi，得a2且b1，则a+b2+11，故选：B2在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sin，则sin（）ABCD【分析】推导出+2k，kZ，从而sinsin（+2k）sin解：在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，+2k，kZ，sin，sinsin（+2k）sinkZ故选：B3cos75（）ABCD【分析】将75看成30与45的和，然后利用两角和的余弦公式求解解
11、：cos75cos（30+45）cos30cos45sin30sin45故选：C4已知三条不重合的直线m，n，l和两个不重合的平面，下列命题正确的是（）A若mn，n，则mB若，m，nm，则nC若ln，mn，则lmD若l，m，且lm，则【分析】利用直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系直接判断解：若mn，n，则m，或m，或A不正确；若，m，nm，则n与相交或n或n，故B不正确；若ln，mn，则l与m相交、平行或异面，故C不正确；若l，m，且lm，则由直线垂直于平面的性质定理和平面与平面垂直的判定定理知，故D正确故选：D5“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可
12、以写成两个质数（素数）之和，也就是我们所谓的“1+1”问题，它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩，若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（）ABCD【分析】利用列举法求出由古典概型的基本事件的等可能性得6拆成两个正整数的和含有5个基本事件，而加数全为质数的有1个，由此能求出拆成的和式中，加数全部为质数的概率解：由古典概型的基本事件的等可能性得6拆成两个正整数的和含有5个基本事件，分别为：（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），而加数全为质数的有（3，3），拆成的和式中，加数全部
13、为质数的概率为P故选：A6如图是一个几何体的三视图，则此三视图所描述几何体的表面积为（）ABC20D28【分析】由三视图知几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是 2，在轴截面中圆锥的母线长使用勾股定理做出的，写出表面积，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是2，做出圆柱的表面积，注意不包括重合的平面解：由三视图知几何体是一个组合体，上面是一个圆锥，圆锥的底面直径是4，圆锥的高是2，在轴截面中圆锥的母线长是，圆锥的侧面积是248，下面是一个圆柱，圆柱的底面直径是4，圆柱的高是2，圆柱表现出来的表面积是22+22212空间组合体的表面积是8+1220，故选：C7
14、箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是（）ABCD【分析】首先做出摸一次中奖的概率，摸一次中奖是一个等可能事件的概率，做出所有的结果数和列举出符合条件的结果数，得到概率，4个人摸奖相当于发生4次试验，根据每一次发生的概率，利用独立重复试验的公式得到结果解：由题意知首先做出摸一次中奖的概率，从6个球中摸出2个，共有C6215种结果，两个球的号码之积是4的倍数，共有（1，4）（3，4），（2，4）（2，6）（4，5）（4，6）摸一次中奖的概率是，4个人摸奖相当于发生4次
15、试验，且每一次发生的概率是，有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是故选：A8某省高考实行3+3模式，即语文、数学、英语必选，物理、化学、政治、历史、生物、地理六选三，今年高一的小明与小芳进行选科，假若他们对六科没有偏好，则他们至少有两科相同的选法有（）A110种B180种C360种D200种【分析】根据题意，分2种情况讨论：两人选择的科目全部相同，两人选择的科目有且只有2科相同，求出每种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案解：根据题意，分2种情况讨论：两人选择的科目全部相同，有C6320种选法，两人选择的科目有且只有2科相同，有C62C41C31180种选法，则两人至少有两科相同的选法有20
16、+180200种；故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有错选的得0分.9下列命题中正确的是（）A如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行B如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面C如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行D如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直【分析】对于立体几何中的线线、线面、面面关系的判定可依据课本中有关定理结论进行判断，也可列举反例从而说明不正确即可解：观察正
17、方体中的线面位置关系，结合课本中在关线面位置关系的定理知，ABD正确对于C，AB、AD都平行于一个平面AC，但它们不平行，故C错故选：ABD10已知函数f（x）Asin（x+）（A0，0，|）部分图象如图所示，下列说法错误的是（）A函数yf（x）的图象关于直线对称B函数yf（x）的图象关于点对称C函数yf（x）在上单调递减D该图象对应的函数解析式为【分析】方法1：将图象往左延伸一个周期，判断A、B、C都不成立；由函数的图象求出函数f（x）的解析式，判断D正确方法2：由函数的图象求得函数f（x）的解析式，再判断选项中的命题是否正确即可【解答】解法1：将图象往左延伸一个周期，可知A、B、C都不成立
18、；由函数的图象知，A2，由，解得2；再由最值得2+2k+，kZ；又|，得，所以函数f（x）2sin（2x+）所以，选项D正确故选：ABC解法2：由函数的图象可得A2，由，解得2再根据最值得2+2k+，kZ；又|，得，得函数f（x）2sin（2x+），当x时，f（x）0，不是最值，所以A错误；当x时f（x）2，不等于零，所以B错误；+2k2x+2k，kZ；解得+kx+k，kZ，所以C错误；对比选项D可知D正确故选：ABC11如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF，以下结论正确的有（）AACBEB点A到BEF所在平面的距离为定值C三棱锥ABEF的体积
19、是正方体ABCDA1B1C1D1体积的D异面直线AE，BF所成的角为定值【分析】由异面直线的判定判断A；由二面角的平面角的定义可判断B；运用三棱锥的体积公式可判断C；运用三角形的面积公式可判断D解：对于A，根据题意，ACBD，ACDD1，AC平面BDD1B1，所以ACBE，故A正确；对于B，A到平面CDD1C1的距离是定值，所以点A到BEF的距离为定值，故B正确；对于C，三棱锥ABEF的体积为V三棱锥ABEFEFABBB1sin45aaaa3，三棱锥ABEF的体积是正方体ABCDA1B1C1D1体积的 ，故C错误；对于D，异面直线AE，BF所成的角为定值，命题D错误；故选：AB12针对时下的“
20、抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关“作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（）人附表：P（K2k0）0.0500.010k3.8416.635附：K2A25B35C45D60【分析】设男生可能有x人，依题意填写列联表，由K23.841求出x的取值范围，从而得出正确的选项解：设男生可能有x人，依题意得女生有x人，填写列联表如下：喜欢抖音不喜欢抖音总计男生xxx女生xxx总计xx2x若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则K23.841，即K2x3
21、.841，解得x40.335，由题意知x0，且x是5的整数倍，所以45和60都满足题意故选：CD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13计算sin15sin105的结果是【分析】利用诱导公式，二倍角的正弦公式化简即可解：sin15sin105sin15sin75sin15cos15sin30故答案为：14（x3+）5的展开式中x7的系数为40【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于7，求出r的值，即可求得x7的系数解：二项式（x3+）5的展开式中通项公式为Tr+12rx154r，令154r7，求得r2，故x7的系数为 2240，故答案为：4015在锐角ABC中，BC1，B2A，则
22、的值等于2，AC的取值范围为（）【分析】（1）根据正弦定理和B2A及二倍角的正弦公式化简可得值；（2）由（1）得到AC2cosA，要求AC的范围，只需找出2cosA的范围即可，根据锐角ABC和B2A求出A的范围，然后根据余弦函数的增减性得到cosA的范围即可解：（1）根据正弦定理得：，因为B2A，化简得即2；（2）因为ABC是锐角三角形，C为锐角，所以，由B2A得到A+2A且2A，从而解得：，于是，由（1）的结论得2cosAAC，故故答案为：2，（，）16农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国
23、大臣、爱国主义诗人屈原如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为【分析】该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为1，在棱长为1的正四面体SABC中，取BC中点D，连结SD、AD，作SO平面ABC，垂足O在AD上，求出ADSD，OD，SO，该六面体的体积V2VSABC；当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，过球心O作OESD，则OE就是球半径，由此能求出该球体积的最大值解：该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体
24、的棱长为1，如图，在棱长为1的正四面体SABC中，取BC中点D，连结SD、AD，作SO平面ABC，垂足O在AD上，则ADSD，OD，SO，该六面体的体积：V2VSABC2当该六面体内有一球，且该球体积取最大值时，球心为O，且该球与SD相切，过球心O作OESD，则OE就是球半径，SOODSDOE，球半径ROE，该球体积的最大值为：V球故答案为：，四、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17已知f（x）2sinxcosx2cos2x+1，若函数f（x）的周期为（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）当x0，时，求函数f（x）的值域【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为
25、f（x）sin（2x），利用周期公式可求，根据正弦函数的单调性即可求解f（x）的单调增区间（2）由已知可求范围2x，根据正弦函数的性质即可求解其值域解：（1）f（x）2sinxcosx（2cos2x1）sin2xcos2xsin（2x），由T，可得1，可得f（x）sin（2x），由2k2x2k+，kZ，解得：kxk+，kZ，f（x）的单调增区间为k，k+，kZ（2）x0，时，2x，sin（2x）1，函数f（x）的值域为1， 18已知三棱柱ABCA1B1C1（如图所示），底面ABC是边长为2的正三角形，侧棱CC1底面ABC，CC14，E为B1C1的中点（1）若G为A1B1的中点，求证：C1G平面
26、A1B1BA；（2）求三棱锥AEBA1的体积【分析】（1）连接C1G，推导出C1GB1B，C1GA1B1，由此能证明C1G平面A1B1BA（2）由，能求出三棱锥AEBA1的体积解：（1）证明：连接C1G，CC1底面ABC，BB1底面A1B1C1，C1G底面A1B1C1，C1GB1B，G为正A1B1C1边A1B1的中点，C1GA1B1，由及A1B1BB1B1，得C1G平面A1B1BA（2），4取GB1的中点F，连接EF，则EFC1G，EF平面A1B1BA，即EF为高，EF三棱锥AEBA1的体积19高二年级某班50名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为：80，90），90，
27、100），100，110），110，120），120，130），130，140），140，150其中a，b，c成等差数列，且c2a物理成绩统计如表（说明：数学满分150分，物理满分100分）分组50，60）60，70）70，80）80，90）90，100频数6920105（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分；（2）若数学成绩不低于140分的为“优“，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一个“优”的学生总数为6人，从此6人中随机抽取3人，记X为抽到两个“优”的学生人数，求X的分布列和期望值【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求出a，b，c由此能求出数学成绩的平均分（2）
28、数学成绩为“优”的学生有4人，物理成绩为“优”有5人，至少有一个“优”的学生总数为6名同学，从而两科均为“优”的人数为3人，故X的取值为0、1、2、3分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和期望值解：（1）根据频率分布直方图得：（a+b+2c+0.024+0.020+0.004）101，又a+c2b，c2a，解得a0.008，b0.012，c0.016故数学成绩的平均分为：850.04+950.12+1050.16+1150.2+1250.24+1350.16+1450.08117.8（2）数学成绩为“优”的学生有4人，物理成绩为“优”有5人，因为至少有一个“优”的学生总数为6名同学，故两科
29、均为“优”的人数为3人，故X的取值为0、1、2、3P（X0），P（X1），P（X2），P（X3），X的分布列为：X0123P期望值E（X）20在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（ac）（sinA+sinC）b（sinAsinB）（）求角C的大小；（）若c且bc，求ba的取值范围【分析】（）由正弦定理化简已知等式可得a2c2abb2，由余弦定理可求cosC的值，结合范围C（0，），可求C的值（）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求basin（B），由题意可求范围，利用正弦函数的性质可求ba的取值范围解：（）由正弦定理，（ac）（a+c）b（ab），即a2c2abb2，
30、由余弦定理，又C（0，），（）因为，且bc，由正弦定理得，得b2sinB，a2sinA，可得，bc，21如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAADAB1，点E、M分别在线段AB、PC上，且，其中01，连接CE，延长CE与DA的延长线交于点F，连接PE，PF，ME（）求证：ME平面PFD；（）若时，求二面角APEF的正弦值；（）若直线PE与平面PBC所成角的正弦值为时，求值【分析】（）在线段PD上取一点N，使得，证明四边形为平行四边形，得到MEAN，然后证明ME平面PFD（）以A为坐标原点，分别以AF，AB，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面PEA的一
31、个法向量，平面PEF的一个法向量利用空间向量的数量积，求解二面角APEF的正弦值（ III）令E（0，h，0），0h2，求出平面PEA的一个法向量利用空间向量的数量积转化求解即可【解答】（本小题满分15分）解：（）在线段PD上取一点N，使得，MNDC且MNDC，AEAB，ABDC且ABDC，且AEMN，四边形为平行四边形，MEAN，又AN平面PFD，ME平面PFD，ME平面PFD（）以A为坐标原点，分别以AF，AB，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系A（0，0，0），P（0，0，1），B（0，2，0），C（1，2，0），D（1，0，0），E（0，1，0），F（1，0，0）设平面PEA的一个法
32、向量为（x，y，z），令x1，（1，0，0），设平面PEF的一个法向量为，令z1，x1，y1，二面角APEF的正弦值为（III）令E（0，h，0），0h2，设平面PBC的一个法向量为，令y1，z2，由题意可得：，22我国东南沿海地区发展海产品养殖业具有得天独厚的优势根据养殖规模及以往的养殖经验，蓝天海鲜养殖场的一种海产品每只的质量（克）在正常环境下服从正态分布N（280，25）（1）随机购买10只蓝天养殖场的该海产品，求至少买到一只质量小于265克的概率；（2）2020年蓝天养殖场考虑增加先进养殖技术投入，现用以往的先进养殖技术投入xi（千元）与年收益增量yi（千元）（i1，2，38）的数据绘
33、制散点图，由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线ya+b的附近，且46.6，563，6.8，其中ti，根据所给的统计量，求y关于x的回归方程，并预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量附：若随机变量ZN（1，4），则P（5Z7）0.9974，0.9987100.9871；对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），（un，vn），其回归线v+u的斜率和截距的最小二乘估计分别为，【分析】（1）由N（280，25），根据正态分布的对称性求出P（265）的值，再计算购买10只该养殖场的海产品，至少买到一只质量小于265g的概率；（2）由题意计算回归系数，求出y关于x的回归方程，计算x49
34、时的值解：（1）由已知，单只海产品质量N（280，25），则280，5；由正态分布的对称性可知，P（265）1P（265295）1P（3+3）（10.9974）0.0013；设购买10只该养殖场海产品，其中质量小于265g的为X只，故XB（10，0.0013），故P（X1）1P（X0）1（10.0013）1010.98710.0129；所以随机购买10只该养殖场的海产品，至少买到一只质量小于265g的概率为0.0129；（2）由题意知，6.8，563，（ti）（yi）108.8，1.6，有68，且563686.8100.6，所以y关于x的回归方程为100.6+68；当x49时，年销售量y的预报值100.6+68576.6千元；所以预测先进养殖技术投入为49千元时的年收益增量为576.6千元