1、北京市师范大学附属实验中学2020-2021学年高二数学12月月考试题（含解析）第一部分(选择题 共40分)一、选择题10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 若，则z=（ ）A. 1iB. 1+iC. iD. i【答案】D【解析】【分析】先利用除法运算求得，再利用共轭复数的概念得到即可.【详解】因为，所以.故选：D【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.2. 在的展开式中，的系数为（ ）A. B. 5C. D. 10【答案】C【解析】【分析】首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定的系数即可.【详解】展开式的通
2、项公式为：，令可得：，则的系数为：.故选：C.【点睛】二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项3. 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（ ）A. 120种B. 90种C. 60种D. 30种【答案】C【解析】【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.【详
3、解】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；最后剩下的名同学去丙场馆.故不同的安排方法共有种.故选：C【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.4. 已知正方体中，若，则（ ）A. ，B. ，y=1 C. ，D. ，【答案】D【解析】【分析】由空间向量的运算法则化简得到，即可求解.【详解】由空间向量的运算法则，可得，因为，所以.故选：D.5. 设aR，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题
4、分析：运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可解：当a=1时，直线l1：x+2y1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，当两条直线平行时，得到，解得a=2，a=1，后者不能推出前者，前者是后者的充分不必要条件故选A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系6. 已知，是两条不同直线，是两个不同平面，则（ ）A. ，则B. ，则C. ，则D. =A，则【答案】D【解析】【分析】根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系进行判断可得答案.【详解
5、】对于A，若，则可能有，故A不正确；对于B，若，则或，故B不正确；对于C，若，则只有在相交的条件下才有，故C不正确；对于D，因为=A，所以直线确定一个平面，记为.因为，且相交，所以，同理，又因为，是两个不同平面，所以，故D正确.故选：D7. 在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若，则点C的轨迹为（ ）A. 圆B. 椭圆C. 抛物线D. 直线【答案】A【解析】【分析】首先建立平面直角坐标系，然后结合数量积的定义求解其轨迹方程即可.【详解】设，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则：，设，可得：，从而：，结合题意可得：，整理可得：，即点C的轨迹是以AB中点为圆心，为半径的圆.故选：
6、A.【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8. 长方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，分别写出、向量，利用cos即可求出答案.【详解】建立坐标系如图所示则A(1，0，0)，E(0，2，1)，B(1，2，0)，C1(0，2，2)，(1，0，2)，(1，2，1)cos.故选：B.所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值.属于基础题.求异面直线所成角的两种思路：一、将异面直线平移到同一个平面，在同一个平面
7、内求出线线角即为异面直线所成角.二、建立空间直角坐标系，写出直线的方向向量，利用即可解出异面直线所成角.9. 设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）A. B. 3C. D. 2【答案】B【解析】【分析】由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可.【详解】由已知，不妨设，则，因为，所以点在以为直径的圆上，即是以P为直角顶点的直角三角形，故，即，又，所以，解得，所以故选：B【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.10. 已知点分别是正方体的棱的中点，点分别是线段与上的点
8、，则与平面垂直的直线有（ ）条A. 0B. 1C. 2D. 无数个【答案】B【解析】【分析】设正方体的棱长为2，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出与平面垂直的直线只有1条【详解】解：设正方体的棱长为2，以为原点建立空间直角坐标系，则，0，2，2，0，2，2，设，则，设，则，直线与平面垂直，解得，方程组只有唯一的一组解，与平面垂直的直线有1条故选：【点睛】本题考查空间直线与平面的位置关系，主要是直线与平面平行的判断和面面平行的判定与性质，考查空间想象能力和简单推理能力第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 是虚数单位，则的值为_.【答案】【解析】
9、【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模【详解】【点睛】本题考查了复数模的运算，是基础题.12. 设双曲线C： (a0，b0)的一条渐近线为y=x，则C的离心率为_【答案】【解析】【分析】根据已知可得，结合双曲线中的关系，即可求解.【详解】由双曲线方程可得其焦点在轴上，因为其一条渐近线为，所以，.故答案为：【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意判断焦点所在位置，属于基础题.13. 斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=_【答案】【解析】【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标，利用点斜式得直线方程，与抛物
10、线方程联立消去y并整理得到关于x的二次方程，接下来可以利用弦长公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果.【详解】抛物线的方程为，抛物线的焦点F坐标为，又直线AB过焦点F且斜率为，直线AB的方程为：代入抛物线方程消去y并化简得，解法一：解得 所以解法二：设，则,过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.故答案为：【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.14. 把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻， 且产品与产品不相邻，则不同的摆法有_种.【答案】36【解析】【详解】试题分析：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，
11、所以有种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有种摆法，故满足条件的摆法有种.考点：排列组合，容易题.15. 曲线C是平面内与两个定点F1(-1，0)和F2(1，0)的距离的积等于常数a2(a1)的点的轨迹，给出下列三个结论：曲线C过坐标原点；曲线C关于坐标原点对称；若点P在曲线C上，则F1PF2的面积不大于.其中，所有正确结论的序号是_.【答案】【解析】【分析】由题意曲线C是平面内与两个定点F1（1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a1），利用直接法，设动点坐标为（x，y），及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断【详解】对于，由题意设动点坐标为（x，y），则利用题意及
12、两点间的距离公式的得：（x+1）2+y2（x1）2+y2a4 将原点代入验证，此方程不过原点，所以错；对于，把方程中的x被x代换，y被y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称正确；对于，由题意知点P在曲线C上，则F1PF2的面积a2sinF1PF2a2，所以正确故答案为：【点睛】关键点点睛：利用直接法求出动点的轨迹方程，并化简，利用方程判断曲线的对称性，利用解析式选择换元法求出值域三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，ABAC，PA平面ABCD，点E是PD的中点.（1）求证：ACPB；（2）求证：PB平面A
13、EC.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）证明AC平面PAB，即得证；（2）连接BD交AC于O，连接EO. 证明OEPB，即得证.详解】（1）证明：PA平面ABCD，AC平面ABCDPAAC又ACAB，且PA、AB为平面PAB内相交直线，AC平面PAB，又PB平面PAB，ACPB（2）证明：连接BD交AC于O，连接EO.平行四边形ABCDAC与BD相互平分，即O为BD中点又E为PD中点OEPBEO为平面AEC内直线，PB不在平面AEC内，PB平面AEC【点睛】方法点睛：空间直线、平面平行垂直位置关系的判定和证明一般有两种方法.方法一（几何法）：线线平行垂直线面平行
14、垂直面面平行垂直，它体现的主要是一个转化的思想. 方法二（向量法）：它体现的是数学的转化的思想和向量的工具性.17. 已知点及圆C：.（1）求圆心C的坐标及半径r的大小；（2）设过点的直线与圆C交于M，N两点，当时，求以线段MN为直径的圆Q的方程；（3）设直线与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点的直线垂直平分弦AB?若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）圆心坐标为，半径；（2）；（3）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）将圆的一般方程转化为标准方程，即可得解；（2）利用两点间的距离公式求出，再根据弦长公式求得弦心距，从而知P为MN的中点，所以以MN为直径的
15、圆的圆心坐标即为P的坐标，半径为，根据圆心和半径写出圆的方程即可；（3）利用反证法证明即可【详解】（1）因为，所以所以圆C的圆心坐标为，半径.（2）由（1）知，由两点之间距离得，设圆心C到直线的距离为d，由圆的弦长公式得，解得.即，为的中点，所以以MN为直径的圆Q，即圆心坐标为，半径为，故以为直径的圆的方程为：（3）假设过点的直线垂直平分弦AB，则直线必过圆心，直线的斜率为，即.圆心到直线的距离，此时直线与圆C相离，与题设矛盾，故假设不成立，所以，不存在实数a使得过点的直线，垂直平分弦AB.【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆综合问题，常见类型及解题策略（1）直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦
16、长的一半、弦心距、半径构成直角三角形（2）圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题18. 已知椭圆C1：(ab0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|（1）求C1的离心率；（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程【答案】（1）；（2）：，： .【解析】【分析】（1）根据题意求出的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设在第一象限，运用代入法求出点的纵坐标，根据，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，
17、确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；【详解】解：（1）因为椭圆的右焦点坐标为：,所以抛物线的方程为，其中.不妨设在第一象限，因为椭圆的方程为：，所以当时，有，因此纵坐标分别为，；又因为抛物线的方程为，所以当时，有，所以的纵坐标分别为，故，.由得，即，解得（舍去），.所以的离心率为.（2）由（1）知，故，所以的四个顶点坐标分别为，的准线为.由已知得，即.所以的标准方程为，的标准方程为.【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.19. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1
18、，中，B1B上平面A1B1C1，AC=CB=CC1=2，ACB=90，D，E分别是A1B1，CC1的中点.（1）求证：平面A1BE上平面AA1B1B；（2）求直线BC1与平面A1BE所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取AB的中点F，连结DF，交A1B于点M，证得C1DA1B1和BB1C1D，得到C1D平面AA1B1B，进而得到EM上平面AA1B1B，即可得到平面A1BE平面AA1B1B. （2）以所在的直线分别为轴，建立的空间直角坐标系，求得向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）取AB的中点F，连结DF，交A1B于点M，可知M
19、为DF中点，连结EM，易知四边形C1DME为平行四边形，所以C1DEM. ，因为A1C1=C1B1，且D是A1B1的中点，所以C1DA1B1，因为BB1平面A1B1C1，所以BB1C1D，所以C1D平面AA1B1B，又C1DEM，所以EM上平面AA1B1B.又EM平面A1BE，所以平面A1BE平面AA1B1B. （2）以所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，则B(0，2，0)，C，(0，0，2)，E(0，0，1)，4，(2，0，2)，设平面的法向量为，则，可得，令，可得则，设向量与的夹角为，则所以直线BC1与平面A1BE所成角的正弦值为. 【点睛】利用空间向量计算二面角的
20、常用方法：1、法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；2、方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.20. 如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PA=AD=CD=2，BC=3E为PD的中点，点F在PC上，且（）求证：CD平面PAD；（）求二面角FAEP的余弦值；（）设点G在PB上，且判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由【答案】()见解析；() ；()见解析.【解析】【分析】()由题意利用线面垂直
21、的判定定理即可证得题中的结论；()建立空间直角坐标系，结合两个半平面的法向量即可求得二面角F-AE-P的余弦值；()首先求得点G的坐标，然后结合平面的法向量和直线AG的方向向量可判断直线是否在平面内.【详解】()由于PA平面ABCD，CD平面ABCD，则PACD，由题意可知ADCD，且PAAD=A，由线面垂直的判定定理可得CD平面PAD.()以点A为坐标原点，平面ABCD内与AD垂直的直线为x轴，AD,AP方向为y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易知：，由可得点F的坐标为，由可得，设平面AEF的法向量为：，则，据此可得平面AEF的一个法向量为：，很明显平面AEP的一个法向量为，二面角F-
22、AE-P的平面角为锐角，故二面角F-AE-P的余弦值为.()易知，由可得，则，注意到平面AEF一个法向量为：，其且点A在平面AEF内，故直线AG在平面AEF内.21. 已知椭圆C：的离心率为，且过点（1）求的方程：（2）点，在上，且，为垂足证明：存在定点，使得为定值【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）由题意得到关于的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；（2）设出点，的坐标，在斜率存在时设方程为, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到的关系，进而得直线恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点的位置.【详解】（1）由题意可得：，
23、解得：，故椭圆方程为：.(2)设点，若直线斜率存在时，设直线的方程为：，代入椭圆方程消去并整理得：，可得，因为，所以，即，根据,代入整理可得：， 所以，整理化简得，因为不在直线上，所以，故，于是的方程为，所以直线过定点直线过定点，当直线的斜率不存在时，可得，由得：，得，结合可得：， 解得：，或，当时与横坐标重合舍去，此时直线过点，令为的中点，即， 若与不重合，则由题设知是的斜边，故，若与重合，则，故存在点，使得为定值.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用得 ，转化为坐标运算，需要设直线的方程，点，因此需要讨论斜率存在与不存在两种情况，当直线斜率存在时，设直线的方程为：，与椭圆方程联立消去可，代入即可，当直线的斜率不存在时，可得，利用坐标运算以及三角形性质即可证明，本题易忽略斜率不存在的情况，属于难题.