1、北京市师范大学珠海分校附属外国语学校2020-2021学年高二数学上学期期中试题（含解析）考试时间：120分钟满分：150分温馨提示：请仔细审题，细心答题，相信你一定会有出色的表现！一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设命题，则为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到答案.【详解】因为全称量词的否定是存在量词，的否定是.所以：，.故选：B【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于简单题.2. 设，则“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C.
2、 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的概念，由题中条件，可直接得出结果.【详解】由可推出；由不能得出，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】结论点睛：判断命题的充分条件与必要条件时，一般可根据充分条件和必要条件的概念直接判定，有时也可根据如下规则判断：（1）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（2）是的充分不必要条件， 则对应集合是对应集合的真子集；（3）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（4）是的既不充分又不必要条件， 对的集合与对应集合互不包含3. 已知点分别是椭圆的左、右焦点,点在此椭圆上,则的周长等
3、于（ ）A. 20B. 16C. 18D. 14【答案】C【解析】【分析】根据椭圆方程求得，然后根据椭圆的定义求得三角形的周长.【详解】根据椭圆方程可知，根据椭圆的定义可知，的周长为，故选C.【点睛】本小题主要考查椭圆几何性质，考查椭圆的定义，属于基础题.4. 下列双曲线中离心率为的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据选项中的双曲线方程，逐项求解，即可得出结果.【详解】A选项，双曲线的实轴长为，焦距为，所以离心率为，不满足题意；B选项，双曲线的实轴长为，焦距为，所以离心率为，满足题意；C选项，双曲线的实轴长为，焦距为，所以离心率为，不满足题意；D选项，双曲线的实轴长为
4、，焦距为，所以离心率为，不满足题意；故选：B.5. 设p：x3，q：-1x3，则p是q成立的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件与必要条件的概念，即可判断出结果.【详解】，但，是成立的必要不充分条件，故选C.【点睛】本题主要考查充分、必要条件的判断.熟记概念即可，属于常考题型.6. “”是“方程为椭圆”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：若方程表示椭圆，则，解得且，所以是方程表示椭圆的必要不充分条件，故选B考点：椭圆的标准方程
5、；必要不充分条件的判定7. 已知，则（ ）A. 2B. C. 4D. 【答案】C【解析】【分析】根据向量模的坐标表示，可直接得出结果.【详解】因为，所以，则.故选：C.8. 已知抛物线，则焦点到准线的距离是（ ）A. B. C. 3D. 【答案】A【解析】【分析】化简抛物线的方程，求得，所以焦点到准线的距离，得到答案.【详解】由题意，抛物线，即，解得，所以焦点到准线的距离是，故选A.【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及几何性质的应用，其中熟记抛物线的标准方程和几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9. 如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，且，则 （ ）A.
6、 B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用向量的线性运算可得的表示形式.【详解】，故选：A【点睛】本题考查向量的线性运算，用基底向量表示其余向量时，要注意围绕基底向量来实现向量的转化，本题属于容易题.10. 已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意设椭圆的右焦点，根据正弦定理即可求得和的关系，即可求得椭圆的离心率【详解】解：设椭圆的右焦点，连接，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，则，且由，可得，所以，则，由余弦定理可得，即，椭圆的离心率，故选：A【点睛】本题考查椭圆离心率求解，其中
7、涉及到椭圆的定义以及余弦定理，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较难.11. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由双曲线的离心率为，求出a=b，由此能求出此曲线的渐近线方程详解：双曲线的离心率为，=，解得a=b，该双曲线渐近线方程为y=x故选B点睛：本题考查双曲线渐近线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线简单性质的合理运用12. 已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由题意，设在抛物线准线的投影为，抛物线的焦点为，则
8、，根据抛物线的定义可知点到该抛物线的准线的距离为,则点到点的距离与点到该抛物线准线的距离之和，故选A.考点：抛物线的定义及其简单的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了抛物线的定义及其简单的几何性质，其中解答中涉及到抛物线的标准方程、抛物线的焦点坐标和准线方程，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于基础题，本题的解答中熟练掌握抛物线的定义，把抛物线上的点到焦点的距离转化为到抛物线的准线的距离四解答的关键.二、填空题:本大题共8小题，每小题5分，共40分请将正确答案填在答题卡上13. 已知方程表示椭圆，则m的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据椭圆标准方程的特征，列出不等式求解，即可得出
9、结果.【详解】因为方程表示椭圆，所以，解得或，即m的取值范围为.故答案为：.14. 在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，离心率为，过作直线交于两点，且的周长为，那么的方程为_【答案】【解析】试题分析：依题意：4a16，即a4，又e，c，b28.椭圆C的方程为考点：椭圆的定义及几何性质15. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据特称命题是假命题进行转化即可【详解】命题“”是假命题，则命题“”是真命题，则，解得则实数的取值范围是故答案为【点睛】本题主要考的是命题的真假判断和应用，熟练掌握一元二次不等式的解集与判别式的关系是解题的关键，属于基础题16.
10、 已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且垂直轴，若直线的斜率为，则该椭圆的离心率为_【答案】【解析】根据题意，如图：椭圆的左、右焦点分别为，则 直线的斜率为，则 则有 则 则 则椭圆的离心率 故答案为 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，关键是作出椭圆的图形，结合直线的斜率分析的值17. 已知抛物线的准线与圆相切，则的值为_【答案】2【解析】抛物线的准线为，与圆相切，则，18. 已知向量（2，2），（8，6），则cos，_【答案】【解析】【分析】运用向量的夹角坐标公式可得答案.【详解】2（8）+264，|2，|10，cos，故答案为：.【点睛】本题考查向量夹角的坐标公式计算，属于基础题.19.
11、 已知椭圆方程表示椭圆，焦点，椭圆上有一动点，则_【答案】【解析】【分析】先由椭圆方程得到其长轴长，再由椭圆的定义，即可得出结果.【详解】因为椭圆的长轴长为，又为椭圆上一点，与为椭圆的两焦点，根据椭圆的定义可得.故答案为：.20. 设、为曲线：上两点，与的横坐标之和为4，则直线的斜率_【答案】1【解析】【分析】先设、，将、两点坐标代入抛物线方程，两式作差整理，即可得出直线的斜率.【详解】设、，因为、为曲线：上两点，所以，则，又与的横坐标之和为4，即，因此直线的斜率为.故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，每小题10分，共50分请将详细解答过程写在答题卡上21. 已知平面向量，.（1）若，求的
12、值；（2）若，与共线，求实数的值.【答案】（1）；（2）4.【解析】【分析】（1）结合已知求得：，利用平面向量的模的坐标表示公式计算得解.（2）求得：，利用与共线可列方程，解方程即可.【详解】解：（1）， 所以.（2）， 因为与共线，所以，解得.【点睛】本题主要考查了平面向量的模的坐标公式及平面向量平行的坐标关系，考查方程思想及计算能力，属于基础题22. 已知p：，q：关于x的方程有实数根（1）若q为真命题，求实数a的取值范围；（2）若pq为真命题，为真命题，求实数a的取值范围【答案】(1) ； (2) 【解析】【分析】(1)利用判别式，即可得出答案；（2）根据已知条件,得到真假，即可得出答案
13、.【详解】（1）x的方程有实数根，得，即，若q为真命题，实数a的取值范围为：（2）“”为真命题，“”为真命题，真假，解得：，【点睛】本题考查了由命题的真假求参数的取值范围，考查了由复合命题的真假判断命题的真假，属于中档题。23. 已知抛物线的准线方程为.（）求的值；（）直线交抛物线于、两点，求弦长.【答案】（）2；（）8.【解析】【分析】（）依已知得，所以；（）设，由消去，得,再利用韦达定理求弦长.【详解】（）依已知得，所以；（）设，由消去，得，则，所以 .【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平及其应用能力.24. 已知命题 ： 表示双曲
14、线，命题 ： 表示椭圆（1）若命题与命题 都为真命题，则 是 的什么条件？（请用简要过程说明是“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中的哪一个）（2）若 为假命题，且 为真命题，求实数 的取值范围【答案】（1） 是 必要不充分条件（2） 或【解析】试题分析：(1) 根据双曲线的定义，若命题为真命题则 ,若 都为真命题则 或，由，可得 是 的必要不充分条件；（2）由 为假命题，且 为真命题，可得一真一假，分两种情况讨论，对于真假以及假真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数的取值范围.试题解析：（1）命题 ： 表示双曲线是真命题， ，解得
15、,又命题 ： 表示椭圆是真命题， 解得 或 是 的必要不充分条件,（2） 为假命题，且 为真命题 、 为“一真一假”，当 真 假时，由（1）可知，为真，有 ，为假， 或 或 由解得 或 当 假真时，由（1）可知，为假，有 或 ，为真，有 或 由解得，无解综上，可得实数 的取值范围为 或.【方法点睛】本题通过圆锥曲线的方程主要考查充分条件与必要条件，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试. 对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范
16、围问题也可以转化为包含关系来处理.25. 已知双曲线的焦点是椭圆：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.（1）求椭圆的方程；（2）设动点，在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.【答案】(1) .(2).【解析】试题分析：（I）双曲线的焦点为，离心率为，对于椭圆来说，由此求得和椭圆的方程.（II）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，利用判别式求得的一个不等关系，利用韦达定理和弦长公式，求得一个等量关系，利用表示，进而用基本不等式求得的最大值.试题解析：（）双曲线焦点坐标为，离心率为.因为双曲线的焦点是椭圆：（）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以，且，解得.故椭圆的方程为.（）因为，所以直线斜率存在.因为直线在轴上的截距为，所以可设直线的方程为.代入椭圆方程得 .因为 ，所以.设，根据根与系数的关系得，.则 .因为，即 .整理得.令，则.所以 .等号成立的条件是，此时，满足，符合题意.故的最大值为.