1、空间点、直线、平面之间的位置关系(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.已知直线m平面,Pm,Qm,则()A.P,QB.P,QC.P,QD.Q【解析】选D.因为Qm,m,所以Q.因为Pm,所以有可能P,也有可能P.2.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有()A.2对B.3对C.6对D.12对【解析】选C.如图所示,在长方体AC1中,与体对角线AC1成异面直线的是A1D1,BC,BB1,DD1,A1B1,DC,所以组成6对异面直线.3.下列说法中,正确的个数是()如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么
2、另一条直线也和这个平面相交;经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行;两条相交直线,其中一条与一个平面平行,则另一条一定与这个平面平行.A.0B.1C.2D.3【解析】选C.易知正确,正确.中两条相交直线中的一条与平面平行,另一条可能平行于平面,也可能与平面相交,故错误.4.直线l在平面外指的是()A.l=AB.l=C.l=A或l=D.l有无数个公共点【解析】选C.直线与平面平行或相交统称为直线在平面外.5.过平面外一条直线作平面的平行平面()A.必定可以并且只可以作一个B.至少可以作一个C.至多可以作一个D.一定不能作【解析】选C.因为直线在平面外包含两种情况:直线与平面相交和
3、直线与平面平行.当直线与平面相交时,不能作出符合题意的平面;当直线与平面平行时,可作出唯一的一个符合题意的平面.综上可得所能作的平面至多有一个.6.(多选题)如图,M是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列四个说法:其中正确的是()A.过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都相交B.过M点有且只有一条直线与直线AB,B1C1都垂直C.过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都相交D.过M点有且只有一个平面与直线AB,B1C1都平行【解析】选ABD.对A项,点M和AB确定的平面与点M和B1C1确定的平面有一条过M点的交线,这条直线与AB,B1C1都相交.若还能作一条线,
4、则两相交线确定一平面,从而证明AB,B1C1共面与它们异面矛盾,从而假设不正确,A正确;对B选项,DD1是满足条件的唯一直线;对D项,过M点和AA1,BB1,CC1中点的截面是满足条件的唯一平面.将过点M的平面CDD1C1绕直线DD1旋转任意非零的角度,所得的平面与直线AB,B1C1都相交,故C错误.二、填空题(每小题5分,共10分)7.若直线a不平行于平面,且a与相交,则下列结论正确的是_.(填序号)平面内的所有直线与a异面;平面内不存在与a平行的直线;平面内存在唯一的直线与a平行;平面内的直线与a都相交.【解析】由已知得a与相交,因此错误,正确.答案:8.(双空题)如图,长方体ABCD-A
5、BCD中:(1)与直线AB平行的平面是_;(2)与直线AA平行的平面是_.答案:(1)平面AC,平面DC(2)平面BC,平面DC三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何?【解析】B1D1在平面A1C1内,B1D1与平面BC1,AB1,AD1,CD1都相交,B1D1与平面AC平行.10.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点,问:(1)AM和CN是否是异面直线?说明理由;(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.【解析】(1)不是异面直
6、线,理由:连接MN,A1C1,AC,如图,因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MNA1C1.又因为A1AD1D,D1DC1C,所以A1AC1C,所以四边形A1ACC1为平行四边形,所以A1C1AC,故MNA1C1AC,所以A,M,N,C在同一个平面内,故AM和CN不是异面直线.(2)是异面直线,证明如下:假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内,则B平面CC1D1,C平面CC1D1,所以BC平面CC1D1,这显然是不正确的,所以假设不成立,故D1B与CC1是异面直线.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.
7、如图所示,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的是()【解析】选C.A,B中,PQRS,D中,PQ和RS相交.2.下列说法:若直线l平行于平面内的无数条直线,则l;若直线a在平面外,则a;若直线ab,直线b,则a;若直线ab,b,那么直线a就平行于平面内的无数条直线.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.4【解析】选A.先考虑空间中直线与平面平行的特征,再结合空间想象作出判断.对于,因为直线l虽与平面内无数条直线平行,但l有可能在平面内,所以l不一定平行于,所以错误.对于,因为直线a在平面外包括两种情况:a和a与相交,所以a和不一定平行,所以
8、错误.对于,因为直线ab,b,则只能说明a和b无公共点,但a可能在平面内,所以a不一定平行于,所以错误.对于,因为ab,b,那么a或a,所以a可以与平面内的无数条直线平行,所以正确.综上所述,正确的个数为1.【补偿训练】若a是平面外的一条直线,则直线a与平面内的直线的位置关系是()A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面【解析】选D.若a,则a与内的直线平行或异面,若a与相交,则a与内的直线相交或异面.3.,是两个不重合的平面,下面说法中正确的是()A.平面内有两条直线a,b都与平面平行,那么B.平面内有无数条直线平行于平面,那么C.若直线a与平面和平面都平行,那么D.平面内所有的直线都与
9、平面平行,那么【解析】选D.A,B都不能保证,无公共点,如图;C中当a,a时,与可能相交,如图;只有D说明,一定无公共点.4.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列说法正确的是()A.直线AC1在平面CC1B1B内B.设正方形ABCD与A1B1C1D1的中心分别为O、O1,则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1C.由A、C1、B1确定的平面是ADC1B1D.由A、C1、B1确定的平面与由A、C1、D确定的平面是同一个平面【解析】选BCD.A错误.如图所示,点A平面CC1B1B,所以直线AC1平面CC1B1B.B正确.如图所示.因为O直线AC平面AA1C1C,O直线BD
10、平面BB1D1D,O1直线A1C1平面AA1C1C,O1直线B1D1平面BB1D1D,所以平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1.CD都正确,因为ADB1C1且AD=B1C1,所以四边形AB1C1D是平行四边形,所以A,B1,C1,D共面.二、填空题(每小题5分,共20分)5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与直线CC1平行的棱的条数是_.【解析】与CC1平行的棱有AA1,BB1,DD1.答案:36.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中判断下列位置关系:(1)AD1所在的直线与平面B1BCC1的位置关系是_.(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是_.【解析】(1)
11、AD1所在的直线与平面B1BCC1没有公共点,所以平行.(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B,故相交.答案:(1)平行(2)相交7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线有_条.【解析】由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由基本事实知必有过该点的公共直线l,在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,则它们都与平面D1EF平行.答案:无数8.(双空题)若a与b相交,则过a与b平行的平面有_个;若a与b异面,则过a与b平行的平面有_个.【解析】当a与b相交时,
12、设ab=N,过a的平面为,则Nb,且N,所以直线b与平面有公共点,故b不可能与平行,所以过a与b平行的平面有0个;当a与b异面时,如图所示,过a上任意一点M作bb,则a与b确定了唯一的平面,且b,故过a与b平行的平面有1个.答案:01三、解答题(每小题10分,共30分)9.三个平面,如果,=a,=b,且直线c,cb.(1)判断c与的关系,并说明理由;(2)判断c与a的关系,并说明理由.【解析】(1)c.因为,所以与没有公共点,又c,所以c与没有公共点,所以c.(2)ca.因为,所以与没有公共点,又=a,=b,则a,b,且a,b,所以a,b没有公共点,所以ab,又cb,所以ca.10.在直三棱柱
13、ABC-A1B1C1中,E,F分别为A1B1,B1C1的中点.求证:平面ACC1A1与平面BEF相交.【证明】因为在矩形AA1B1B中,E为A1B1的中点,所以AA1与BE不平行,则AA1,BE的延长线相交于一点,设此点为G,所以GAA1,GBE.又AA1平面ACC1A1,BE平面BEF,所以G平面ACC1A1,G平面BEF,所以平面ACC1A1与平面BEF相交.11.如图,P是ABC所在平面外一点,M,N分别是PAB和PBC的重心,AC=9.(1)求MN的长;(2)若点P,B的位置发生变化,会影响M,N的位置和MN的长度吗?【解析】(1)如图,连接PM并延长交BA于E,连接PN并延长交CB于F,连接EF.因为M,N分别是ABP和BPC的重心,故E,F分别是AB,BC的中点,所以EFAC.又=,所以MNEF.所以MN=AC=AC=3.(2)由(1)知MN的长与B,P的位置无关,恒是定值.但若P,B的位置发生变化,M,N的位置也会改变.8