1、山东省济宁市鱼台县第一中学2021届高三数学上学期第一次月考（10月）试题（含解析）一. 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1. 设集合，集合 ，则 等于（ ）A. (1,2)B. (1,2C. 1,2)D. 1,2【答案】B【解析】【分析】由指数函数、对数函数的性质可得、，再由交集的运算即可得解.【详解】因为，所以.故选：B.【点睛】本题考查了指数不等式的求解及对数函数性质的应用，考查了集合交集的运算，属于基础题.2. 复数的共轭复数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先将复数化简，再利用共轭复数的定义即
2、可求得正确答案.【详解】,所以共轭复数为，故选：B【点睛】本题主要考查了复数的除法运算以及共轭复数的概念，属于基础题.3. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系可得，即可求得的值，再利用二倍角公式即可求得的值.【详解】因为，且，所以，即，或（舍）所以，故选：D【点睛】本题主要考查了余弦的二倍角公式以及同角三角函数基本关系，属于基础题.4. 已知等比数列中，则（ ）A. 12B. 10C. D. 【答案】A【解析】由已知，故选A.5. 在中，若点满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】试题分析：，故选A6. 已知函数满
3、足：对任意、且，都有；对定义域内任意，都有，则符合上述条件的函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意得：是偶函数，在单调递增. 对于，是偶函数， 在递增，符合题意；对于，函数是奇函数，不合题意；对于，函数不是偶函数，不合题意；对于，函数在无单调性，不合题意.【详解】由题意得：是偶函数，在单调递增，对于，是偶函数，且时，对称轴为，故在递增，符合题意；对于，函数是奇函数，不合题意；对于，由，解得：，定义域不关于原点对称，故函数不是偶函数，不合题意；对于，函数在无单调性，不合题意；故选：A【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平7.
4、 已知为等差数列，为其前项和，若，则（ ）A. 49B. 91C. 98D. 182【答案】B【解析】，即，故选B8. “中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年，英国来华传教士伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列所有项中，中间项的值为（）A. 992B. 1022C. 1007D. 1037【
5、答案】C【解析】【分析】首先将题目转化为即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数.再写出的通项公式，算其中间项即可.【详解】将题目转化为即是3的倍数，也是5的倍数，也即是15的倍数.即，当，当，故，数列共有项因此数列中间项为第项，.故答案为：C【点睛】本题主要考查数列模型在实际问题中的应用，同时考查了学生的计算能力，属于中档题.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9. 设是等差数列，为其前项和，且，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. D. 、均为的最大值【答案】ABD【解析】
6、【分析】利用结论：时，结合题意易推出，然后逐一分析各选项.【详解】解：由得，即，又，故B正确；同理由，得，故A正确；对C，即，可得，由结论，显然C是错误的；与均为的最大值，故D正确；故选：ABD.【点睛】本题考查了等差数列的前项和公式和的最值问题，熟练应用公式是解题的关键.10. 把函数的图像向左平移个单位长度可以得到函数的图像，若的图像关于轴对称，则的值可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】根据三角函数的图象变换，求得函数，再利用三角函数的性质，即可求解，得到答案.【详解】由题意，把函数的图像向左平移个单位长度可以得到函数，因为函数的图像关于轴对称，所以，所以，当时
7、，；当时，故选A,D.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换求得函数的解析式，熟练应用三角函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11. 给出下面四个推断，其中正确的为（ ）.A. 若，则；B. 若则；C. 若，则；D. 若，则.【答案】AD【解析】【分析】由均值不等式满足的条件为“一正、二定、三相等”，可得选项A,D正确，选项B，C错误.【详解】解：对于选项A，因为，则，当且仅当，即时取等号，即选项A正确； 对于选项B，当时，显然不成立，即选项B错误；对于选项C，当时，显然不成立，即选项C错误；对于选项D，则
8、，则，当且仅当，即时取等号，即选项D正确，即四个推段中正确的为AD，故答案为AD.【点睛】本题考查了均值不等式，重点考查了“一正、二定、三相等”，属基础题.12. 对于函数，下列正确的是（ ）A. 是函数的一个极值点B. 的单调增区间是，C. 在区间上单调递减D. 直线与函数的图象有3个交点【答案】ACD【解析】【分析】求导，求出的单调性，极值点，极值，进而可进行判断.【详解】解：由题得，令，可得，则在，上单调递增，在上单调递减，是函数的一个极值点，故AC正确，B错误；因为，又，根据在上单调递减得得，所以直线与函数的图象有3个交点，故D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查函数的单调性，极值的综
9、合应用，是中档题.三. 填空题（ 本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知：，：若是的必要不充分条件，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由必要不充分条件可得，结合一元二次不等式即可得解.【详解】因为是的必要不充分条件，所以，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了由条件间的关系求参数，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于基础题.14. 已知定义域为的奇函数满足，且当时，则_.【答案】3【解析】【分析】由奇函数的性质可得，再由函数的周期性和奇偶性可得，由对数的运算即可得解.【详解】因为奇函数满足，所以，即函数是周期为3的周期函数,所以.故答案为：3.【点睛】本题考查了函数奇
10、偶性与周期性的综合应用，考查了对数的运算，属于基础题.15. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为.若，则_.【答案】【解析】【分析】利用同角的基本关系式，可得，代入所求，结合辅助角公式，即可求解【详解】因为，所以，所以，故答案为【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系式，辅助角公式，考查计算化简的能力，属基础题16. 在中，. 若，且，则的值为_.【答案】【解析】则.【考点】向量的数量积【名师点睛】根据平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一组基地可以表示平面内的任一向量，利用向量的定比分点公式表示向量，计算
11、数量积，选取基地很重要，本题的已知模和夹角，选作基地易于计算数量积.四. 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知函数.（1）求的最小正周期；（2）在中，角所对的边分别为，若，且的面积为，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解析式利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，找出的值，即可确定出的最小正周期；（2）由确定出的度数，利用正弦定理化简得到，利用三角形面积公式列出关系式，求出的值，联立求出与的值，利用余弦定理求出的值即可.【详解】解：（1），的最小正周期为；（2），则，又的面积为，则，由余弦定理得.【点睛】此题考
12、查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及三角函数的周期性，熟练掌握定理及公式是解本题的关键.18. 设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出的通项，根据的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.【详解】（1）设的公比为，为的等差中项，；（2）设的前项和为，得，.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.19. 已知向量（，），（，），且（1）用cosx表示
13、及|；（2）求函数f（x）2|的最小值【答案】（1）2cos2x1，|2|；（2）1【解析】分析】(1)先根据向量数量积化解，再根据余弦的和角公式和二倍角公式化解即可得到，模长可由模长的坐标公式先表示为三角函数的形式再由余弦二倍角公式化解即可.(2)由（1）可得到函数的解析式，根据余弦函数与二次函数的复合函数，通过配方后再利用二次函数的性质即可.【详解】（1）2cos2x1，|2|，0， |2（2）f（x）2|2cos2x142（1）23， 01， 当0时，f（x）取得最小值1【点睛】本题考查了向量数量积、余弦的二倍角公式以及复合函数最值的求解，属于中档题目，解题中需要准确应用三角函数的各类公
14、式和复合函数单调性的性质,同时对运算能力也有较高的要求.20. 给出以下三个条件：，成等差数列；对于，点均在函数的图象上，其中为常数；请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解设是一个公比为等比数列，且它的首项，（1）求数列的通项公式；（2）令，证明数列的前项和【答案】（1），具体选择见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）若选第一个则可以将，转化为与进行求解；若选第二个则可以利用首项求出的值；若选第三个条件则可以利用等比数列前项和公式作答；（2）构造新的数列并利用裂项相消法证明即可【详解】（1）选进行作答因为，成等差数列，所以解得（舍或所以选进行作答由题意得因为，所以所以，当
15、时，符合上式，所以；若选作答由，解得或又因为，所以所以（2），所以因为，所以，所以，得证【点睛】本题属于开放型题目，由我们加一条件进行补充后作答加大了学生的思维量，第二问结合对数函数构造新的数列，并利用裂项相消法证明不等式，考查知识面较为广21. 某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买台机器人的总成本万元（1）若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？（2）现按（1）中的数量购买机器人，需要安排人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量（单位：件），已知传统人工分拣每人每日的平均分拣
16、量为1200件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少多少？【答案】（1）300台（2）90【解析】【分析】（1）由总成本万元,可得每台机器人的平均成本,然后利用基本不等式求最值；（2）引进机器人后,每台机器人的日平均分拣量,分段求出300台机器人的日平均分拣量的最大值及所用人数,再由最大值除以1200,可得分拣量达最大值时所需传统分拣需要人数,则答案可求【详解】解:（1）由总成本,可得每台机器人的平均成本,当且仅当,即时,等号成立,若使每台机器人的平均成本最低,则应买300台；（2）引进机器人后,每台机器人的日平均分拣量,当时,300台机器人日平均
17、分拣量为,当时,日平均分拣量有最大值144000；当时,日平均分拣量为,300台机器人的日平均分拣量的最大值为144000件若传统人工分拣144000件,则需要人数为（人）日平均分拣量达最大值时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少【点睛】本题考查函利用均值定理求最值,考查简单的数学建模思想方法.22. 已知函数（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（2）令，是否存在实数，使得当时，函数的最小值是3？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由；（3）当时，证明.【答案】（1）（2）存在，（3）见解析【解析】【分析】（1）先求导可得,则可将问题转化为在上恒成立,即在上恒成立,设,求得,
18、即可求解；（2）先对求导,再分别讨论,时的情况,由最小值为3,进而求解；（3）令,结合（2）中知的最小值为3.再令并求导,再由导函数在大于等于0可判断出函数在上单调递增,从而可求得最大值也为3,即有成,，即成立,即可得证.【详解】（1）解:在上恒成立,即在上恒成立,所以在上恒成立,设,则在上单调递减,所以所以（2）解:存在,假设存在实数,使有最小值3,当时,则在上单调递减,所以,解得（舍去）；当时,当,则；当,则,所以在上单调递减,在上单调递增,解得,满足条件；当时,则在上单调递减,所以,解得（舍去）,综上,存在实数,使得当时有最小值3.（3）证明:令,由（2）知,令,则,当时,则在上单调递增,即【点睛】本题考查利用导函数由函数单调性求参问题,考查利用导函数求最值问题,考查构造函数处理不等式恒成立的证明问题.