1、平面向量的概念(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.下列说法中,正确的个数是()时间、摩擦力、重力都是向量;向量的模是一个正实数;相等向量一定是平行向量;向量a与b不共线,则a与b都是非零向量.A.1B.2C.3D.4【解析】选B.对于,时间没有方向,不是向量,摩擦力、重力都是向量,故错误;对于,零向量的模为0,故错误;正确,相等向量的方向相同,因此一定是平行向量;显然正确.2.在四边形ABCD中,|,则四边形ABCD是()A.梯形B.平行四边形C.矩形D.正方形【解析】选A.因为,所以ABCD.又因为|,所以ABC
2、D.所以四边形ABCD是梯形.3.(多选题)设O是等边三角形ABC的外心,则,是()A.有相同起点的向量B.平行向量C.相等向量D.模相等的向量【解析】选AD.因为O是等边三角形ABC的外心,起点都是O,外心为各边垂直平分线的交点,所以|=|=|.4.数轴上点A,B分别对应-1,2,则向量的长度是()A.-1B.2C.1D.3【解析】选D.|=2-(-1)=3.5.已知在边长为2的菱形ABCD中,ABC=60,则|=()A.1B.C.2D.2【解析】选D.易知ACBD,且ABD=30,设AC与BD交于点O,则AO=AB=1.在RtABO中,易得|=,则|=2|=2.6.(多选题)有下列说法,其
3、中正确的说法是()A.若ab,则a一定不与b共线B.若=,则A,B,C,D四点是平行四边形的四个顶点C.在ABCD中,一定有=D.若a=b,b=c,则a=c【解析】选CD.对于A,两个向量不相等,可能是长度不相等,方向相同或相反,所以a与b有共线的可能,故A不正确;对于B,A,B,C,D四点可能在同一条直线上,故B不正确;对于C,在ABCD中,|=|,与平行且方向相同,所以=,故C正确;对于D,a=b,则|a|=|b|,且a与b方向相同;b=c,则|b|=|c|,且b与c方向相同,所以a与c方向相同且模相等,故a=c,故D正确.二、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,已知正方形ABCD的边
4、长为2,O为其中心,则|=_.【解析】因为正方形的对角线长为2,所以|=.答案:【补偿训练】如果在一个边长为5的正ABC中,一个向量所对应的有向线段为(其中D在边BC上运动),则向量长度的最小值为_.【解析】结合图形进行判断求解(图略),根据题意,在正ABC中,有向线段AD长度最小时,AD应与边BC垂直,有向线段AD长度的最小值为正ABC的高,为.答案:8.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m=_.【解析】因为A,B,C不共线,所以与不共线.又m与,都共线,所以m=0.答案:0三、解答题(每小题10分,共20分)9.某人从A点出发向东走了5米到达B点,然后改
5、变方向沿东北方向走了10米到达C点,到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点.(1)作出向量,;(2)求向量的模.【解析】(1)作出向量,如图所示:(2)由题意得,BCD是直角三角形,其中BDC=90,BC=10米,CD=10米,所以BD=10米.ABD是直角三角形,其中ABD=90,AB=5米,BD=10米,所以AD=5(米).所以|=5米.【补偿训练】如图是43的矩形(每个小方格的边长都是1),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,与向量平行且模为的向量共有几个?与向量方向相同且模为3的向量共有几个?【解析】(1)依题意,每个小方格的两条对角线中,有一条对角线对应的向量及其相反向量都和平行且模为.因为共有12个小方格,所以满足条件的向量共有24个.(2)易知与向量方向相同且模为3的向量共有2个.10.如图所示,在四边形ABCD中,=,N,M分别是AD,BC上的点,且=.求证:=.【证明】因为=,所以|=|且ABCD,所以四边形ABCD是平行四边形,所以|=|且DACB.同理可得,四边形CNAM是平行四边形,所以=,所以|=|,所以|=|,又与的方向相同,所以=.