1、2016年广东省梅州市高考数学二模试卷（理科）一、选择题1设集合A=x|x3，B=x|0则AB=（）AB（3，4）C（2，1）D（4，+）2若z为复数且z（2i）=3+i，i为虚数单位，则|z|=（）A2BCD3已知a，b，c，d为实数，且cd则“ab”是“acbd”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件4若双曲线=1的渐近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）ABCD5如图所示的框图，若输入的n的值为4，则输出的S=（）A3B4C1D06从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A70种B80种
2、C100种D140种7已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的侧面积为（）Acm2Bcm2Ccm2Dcm28已知区域D：，则x2+y2的最小值是（）A5B4CD29设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）Ay=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称By=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称Cy=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称Dy=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称10ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB，若=， =，|=1，|=2，则=（）A +B +C +D +11
3、若抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，点A（3，2）在抛物线开口内，点P为抛物线上一点，当APF的周长最小时，APF的面积为1，则|PF|=（）A1BC2D12已知e为自然对数的底数，函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同的实数解时，实数a的取值范围是（）A（e，4B（4，+）C（e，+）D（，4）二、填空题13在ABC中，若A=60，B=45，BC=3，则AC=14（x+2）5的展开式中的常数项为（用数字作答）15直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，BAC=120，则此球的表面积等于16已知函数，如果f（1+a）+f（1a2）0，则a的取值
4、范围是三、解答题17已知等差数列an中，首项a1=1，公差d为整数，且满足a1+3a3，a2+5a4，数列bn满足，其前n项和为Sn（1）求数列an的通项公式an；（2）若S2为S1，Sm（mN*）的等比中项，求m的值18如图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，侧面A1ACC1底面ABC，底面边长的侧棱长均为2，A1B=（1）求证：A1B平面AB1C（2）求直线BC1到平面ABB1A1所成角的正弦值19在一次数学测验后，班级学委王明对选答题的选题情况进行了统计，如下表：（单位：人）几何证明选讲坐标系与参数方程不等式选讲合计男同学124622女同学081220合计12121842（）在统计结果中，
5、如果把几何证明选讲和坐标系与参数方程称为几何类，把不等式选讲称为代数类，我们可以得到如下22列联表：（单位：人）几何类代数类总计男同学16622女同学81220总计241842据此判断是否有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关？（）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选出7名同学进行座谈已知学委王明和两名数学科代表三人都在选做不等式选讲的同学中求在这名班级学委被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率；记抽到数学科代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）下面临界值表仅供参考：P（K2k0）0.150.100.050.0250.
6、0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：20在直角坐标系xoy中，动点P与定点F（1，0）的距离和它到定直线x=2的距离之比是（）求动点P的轨迹的方程；（）设曲线上的三点A（x1，y1），B（1，），C（x2，y2）与点F的距离成等差数列，线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k21已知函数f（x）=lnx，（1）若a=2时，h（x）=f（x）g（x）在其定义域内单调递增，求b的取值范围；（2）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于P，Q两点，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点
7、M，N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求R的横坐标，若不存在，请说明理由选修4-1：几何证明选讲22如图，ABC是直角三角形，ABC=90，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）求证：2DE2=DMAC+DMAB选修4-4：坐标系与参数方程选讲23在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为cos（）=a，且点A在直线l上（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）若圆C的参数方程为（为参数），试判断直线l
8、与圆C的位置关系选修4-5：不等式选讲24已知函数f（x）=m|x1|x+1|（ I）当m=5时，求不等式f（x）2的解集；（）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围2016年广东省梅州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1设集合A=x|x3，B=x|0则AB=（）AB（3，4）C（2，1）D（4，+）【考点】交集及其运算【分析】利用交集的定义和不等式的性质求解【解答】解：集合A=x|x3，B=x|0=x|1x4，AB=x|3x4故选：B2若z为复数且z（2i）=3+i，i为虚数单位，则|z|=（）A2BCD【考点】复数求模【分析】
9、利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解：z（2i）=3+i，z（2i）（2+i）=（3+i）（2+i），5z=5+5i，z=1+i则|z|=故选：B3已知a，b，c，d为实数，且cd则“ab”是“acbd”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式【分析】由题意看命题“ab”与命题“acbd”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断【解答】解：acbd，cd两个同向不等式相加得ab但cd，abacbd例如a=2，b=1，c=1，d=3时，acbd故选B4若双曲线=1的渐
10、近线方程为y=x，则双曲线的离心率为（）ABCD【考点】双曲线的简单性质【分析】由双曲线=1的渐近线方程为y=x，可得a=2b，结合双曲线的a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为y=x，=，a=2b，c=b，e=故选：D5如图所示的框图，若输入的n的值为4，则输出的S=（）A3B4C1D0【考点】程序框图【分析】由程序框图知，每次进入循环体后，S的值计算公式是S=S+（1）k+1k，由此得出经过4次运算后输出的S值【解答】解：由程序框图知运算规则是计算S的值，当输入n=4时，第一次进入循环体后S=1+1=2，第二次进入循环体后S=22=0，第三次进入循环体
11、后S=0+3=3，第四次进入循环体后S=34=1，此时k=4，退出循环；则输出S的值为：1故选：C6从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有（）A70种B80种C100种D140种【考点】分步乘法计数原理【分析】不同的组队方案：选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，方法共有两类，一是：一男二女，另一类是：两男一女；在每一类中都用分步计数原理解答【解答】解：直接法：一男两女，有C51C42=56=30种，两男一女，有C52C41=104=40种，共计70种间接法：任意选取C93=84种，其中都是男医生有C53=10种，都
12、是女医生有C41=4种，于是符合条件的有84104=70种故选A7已知某几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的侧面积为（）Acm2Bcm2Ccm2Dcm2【考点】由三视图求面积、体积【分析】由已知，得到几何体是半个圆锥，由图形数据，得到底面半径以及高，计算侧面积即可【解答】解：由题意，几何体是底面半径为10cm、高为20cm 的半个圆锥，母线长为，所以其侧面积为=cm2；故选C8已知区域D：，则x2+y2的最小值是（）A5B4CD2【考点】简单线性规划【分析】画出满足条件的平面区域，结合x2+y2的几何意义求出其最小值即可【解答】解：画出满足条件的平面区域，
13、如图示：，根据x2+y2的几何意义，显然OA的平方最小，而A（0，2），OA2=x2+y2的最小值是4，故答案为：B9设函数，则f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），则（）Ay=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称By=f（x）在（0，）单调递增，其图象关于直线x=对称Cy=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称Dy=f（x）在（0，）单调递减，其图象关于直线x=对称【考点】正弦函数的对称性；正弦函数的单调性【分析】利用辅助角公式（两角和的正弦函数）化简函数f（x）=sin（2x+）+cos（2x+），然后求出对称轴方程，判断y=f（x）在（0，）单调性，即可
14、得到答案【解答】解：因为f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）=sin（2x+）=cos2x由于y=cos2x的对称轴为x=k（kZ），所以y=cos2x的对称轴方程是：x=（kZ），所以A，C错误；y=cos2x的单调递减区间为2k2x+2k（kZ），即（kZ），函数y=f（x）在（0，）单调递减，所以B错误，D正确故选D10ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB，若=， =，|=1，|=2，则=（）A +B +C +D +【考点】向量加减混合运算及其几何意义【分析】由ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB，根据三角形内角平分线定理，我们易得到，我们将后，将各向量用，表示，即可得到
15、答案【解答】解：CD为角平分线，故选B11若抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，点A（3，2）在抛物线开口内，点P为抛物线上一点，当APF的周长最小时，APF的面积为1，则|PF|=（）A1BC2D【考点】抛物线的简单性质【分析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|进而把问题转化为求|PA|+|PD|取得最小，推断出当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，利用APF的面积为1，求出P的坐标，答案可得【解答】解：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|APF的周长最小，|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小当D
16、，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，设P（x，2），则APF的面积为1，=1，x=2，P（2，2）代入抛物线的方程可得p=1，|PF|=2+=故选：D12已知e为自然对数的底数，函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同的实数解时，实数a的取值范围是（）A（e，4B（4，+）C（e，+）D（，4）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】作出函数f（x）的图象，利用数形结合结合导数求出函数的切线斜率，即可得到结论【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，设y=kx与f（x）=ex，在x0相切时，设切点为P（m，n），则函数的导数f（x）=ex，则在P（m，n）处的切线斜率k=f（m）=
17、em，则切线方程为yn=em（xm），即y=emx+emmem，当x=0，y=0时，emmem=0，即1m=0，m=1，此时切线斜率k=f（m）=e，e4，当a=e时，直线y=ex与f（x）只有一个交点，当ae时，在x0上，f（x）与y=ax有两个交点，当a=4时，y=ax与y=4x4，平时，此时f（x）与y=ax有两个交点，当a4时，此时f（x）与y=ax有3个交点，综上若f（x）=ax恰有两个不同的实数解时，则ea4，故选：A二、填空题13在ABC中，若A=60，B=45，BC=3，则AC=2【考点】正弦定理【分析】由A与B的度数分别求出sinA与sinB的值，再由BC的长，利用正弦定理即
18、可求出AC的长【解答】解：A=60，B=45，BC=3，由正弦定理=得：AC=2故答案为：214（x+2）5的展开式中的常数项为252（用数字作答）【考点】二项式定理的应用【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值【解答】解：（x+2）5= 的展开式中，分子中含x5的项为（1）5x5，故展开式的常数项为（1）5=252，故答案为：25215直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，BAC=120，则此球的表面积等于20【考点】球内接多面体【分析】通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O，球心为O，
19、在RTOBO中，求出球的半径，然后求出球的表面积【解答】解：在ABC中AB=AC=2，BAC=120，可得由正弦定理，可得ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O，球心为O，在RTOBO中，易得球半径，故此球的表面积为4R2=20故答案为：2016已知函数，如果f（1+a）+f（1a2）0，则a的取值范围是a|a1或a2【考点】函数单调性的性质【分析】由题意可得函数f（x）为奇函数，f（x）在R上单调递增故由条件可得f（1+a）f（a21），故1+aa21，由此求得a的范围【解答】解：函数，f（x）=lg（x+）x=lg（x+）x=f（x），故函数f（x）为奇函数，且函数f（x）在0，+）上单调
20、递增，故f（x）在R上单调递增如果f（1+a）+f（1a2）0，则f（1+a）f（a21），1+aa21，求得a1或a2，故答案为：a|a1或a2三、解答题17已知等差数列an中，首项a1=1，公差d为整数，且满足a1+3a3，a2+5a4，数列bn满足，其前n项和为Sn（1）求数列an的通项公式an；（2）若S2为S1，Sm（mN*）的等比中项，求m的值【考点】数列的应用；数列递推式【分析】（1）由题意，得，由此可解得an=1+（n1）2=2n1（2）由=，知=由此可求出m的值【解答】解：（1）由题意，得解得d又dZ，d=2an=1+（n1）2=2n1（2）=，=，S2为S1，Sm（mN*）
21、的等比中项，S22=SmS1，即，解得m=1218如图，已知三棱柱ABCA1B1C1中，侧面A1ACC1底面ABC，底面边长的侧棱长均为2，A1B=（1）求证：A1B平面AB1C（2）求直线BC1到平面ABB1A1所成角的正弦值【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定【分析】（ I）取AC的中点O，A1O，BO推出BOAC证明BO侧面ACC1A，得到BOA1O然后证明A1BACA1BAB1，即可证明A1B平面AB1C（ II）以O为原点，建立如图所示的坐标系，求出相关点的坐标，求出平面ABB1A1的一个法向量，设BC1与平面ABB1A1所成的角为，利用向量的数量积求解即可【解答】（ I
22、）证明：取AC的中点O，A1O，BO因为ABC是等边三角形，所以BOAC因为侧面A1ACC1底面ABC，侧面A1ACC1底面ABC=AC，BOAC，所以BO侧面ACC1AA1O侧面ACC1A，BOA1O在RtA1BO中， 因为，所以AA1=2，AO=1，所以所以A1AO为直角三角形，所以A1OAC又BOAC，A1OBO=O，所以AC平面A1BOA1B平面A1BO，所以A1BAC因为四边形ABB1A1为菱形，所以A1BAB1因为 A1BAC=A，所以A1B平面AB1C（ II）解：由（ I）知，可以O为原点，建立如图所示的坐标系，由题设条件知，所以设平面ABB1A1的一个法向量为=（x，y，z）
23、，则所以解得令z=1，则设BC1与平面ABB1A1所成的角为，则=|=19在一次数学测验后，班级学委王明对选答题的选题情况进行了统计，如下表：（单位：人）几何证明选讲坐标系与参数方程不等式选讲合计男同学124622女同学081220合计12121842（）在统计结果中，如果把几何证明选讲和坐标系与参数方程称为几何类，把不等式选讲称为代数类，我们可以得到如下22列联表：（单位：人）几何类代数类总计男同学16622女同学81220总计241842据此判断是否有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关？（）在原统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选做题的同学中随机选
24、出7名同学进行座谈已知学委王明和两名数学科代表三人都在选做不等式选讲的同学中求在这名班级学委被选中的条件下，两名数学科代表也被选中的概率；记抽到数学科代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）下面临界值表仅供参考：P（K2k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式：【考点】线性回归方程；古典概型及其概率计算公式【分析】（1）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到百分数（2）令事件A为“这名
25、学委被抽取到”；事件B为“两名数学科代表被抽到”，利用条件概率求得两名数学科代表也被选中的概率，或利用古典概型概率公式求解；记抽取到数学科代表的人数为X，由题X的可能值有0，1，2依次求出相应的概率求分布列，再求期望即可【解答】解：（）由表中数据得K2的观测值k=4.5823.841所以，据此统计有95%的把握认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关 （）由题可知在“不等式选讲”的18位同学中，要选取3位同学方法一：令事件A为“这名班级学委被抽到”；事件B为“两名数学科代表被抽到”，则P（AB）=，P（A）=所以P（B|A）=方法二：令事件C为“在这名学委被抽到的条件下，两名数学科代表也被抽到
26、”，则P（C）=由题知X的可能值为0，1，2依题意P（X=0）=；P（X=1）=；P（X=2）=从而X的分布列为X012P于是E（X）=0+1+2=20在直角坐标系xoy中，动点P与定点F（1，0）的距离和它到定直线x=2的距离之比是（）求动点P的轨迹的方程；（）设曲线上的三点A（x1，y1），B（1，），C（x2，y2）与点F的距离成等差数列，线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k【考点】轨迹方程；等差数列的通项公式【分析】（）由已知，得=，由此能求出动点P的轨迹C1的方程和轨迹是什么图形（）由已知可得|AF|=（2x1），|BF|=（21），|CF|=（2x2）因为2|B
27、F|=|AF|+|CF|，所以x1+x2=2，故线段AC的中点为（1，），其垂直平分线方程为y=（x1），由此能求出直线BT的斜率【解答】解：（）由已知，得=两边平方，化简得故轨迹的方程是 （）由已知可得|AF|=（2x1），|BF|=（21），|CF|=（2x2）因为2|BF|=|AF|+|CF|，所以（2x1）+（2x2）=2（21），即得x1+x2=2，故线段AC的中点为（1，），其垂直平分线方程为y=（x1），因为A，C在椭圆上，所以代入椭圆，两式相减，把代入化简得：=y1+y2 把代入，令y=0得，x=0.5，点T的坐标为（0.5，0）直线BT的斜率k=21已知函数f（x）=lnx，
28、（1）若a=2时，h（x）=f（x）g（x）在其定义域内单调递增，求b的取值范围；（2）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于P，Q两点，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C1、C2于点M，N，问是否存在点R，使C1在M处的切线与C2在N处的切线平行？若存在，求R的横坐标，若不存在，请说明理由【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性【分析】（1）由h（x）=lnx+x2bx，由函数的单调性知，由此不等式能求出b的取值范围（2）由题设条件，可设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有，令0x1x2，g（x）=ax+b，假设R点存在，则，由此能推导出点R不存
29、在【解答】解：（1）f（x）=lnx，h（x）=lnx+x2bx，由，得到在x（0，+）上恒成立，因为，所以.（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），为满足和C1有两个焦点，结合对数函数图象，C2的开口需向上，且对称轴在X轴正半轴则有，令0x1x2，g（x）=ax+b，假设R点存在，则.又因为，得到，即.令，设，t（0，1），得到h（t）在（0，1）内单调递增，h（t）h（1）=0，假设不成立，所以点R不存在.选修4-1：几何证明选讲22如图，ABC是直角三角形，ABC=90，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M（1）求证：O、B、D、E四点共圆；（2）
30、求证：2DE2=DMAC+DMAB【考点】与圆有关的比例线段【分析】（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BEEC，从而得出DE=BD=，由此证出ODEODB，得OED=OBD=90，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE2=DMDH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=和DO=，化简即可得到等式2DE2=DMAC+DMAB成立【解答】解：（1）连接BE、OE，则AB为圆0的直径，AEB=90，得BEEC，又D是BC的中点，ED是RtBEC的中线，可得DE=BD又OE=OB，OD=OD
31、，ODEODB可得OED=OBD=90，因此，O、B、D、E四点共圆；（2）延长DO交圆O于点H，DEOE，OE是半径，DE为圆O的切线可得DE2=DMDH=DM（DO+OH）=DMDO+DMOHOH=，OD为ABC的中位线，得DO=，化简得2DE2=DMAC+DMAB选修4-4：坐标系与参数方程选讲23在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为cos（）=a，且点A在直线l上（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；（2）若圆C的参数方程为（为参数），试判断直线l与圆C的位置关系【考点】参数方程化成普通方程【分析】（
32、1）利用点在直线上，代入方程求出a，利用极坐标与直角坐标的互化，求出直线的直角坐标方程（2）化简圆的参数方程与直角坐标方程，求出圆心与半径，利用圆心到直线的距离与半径比较即可得到直线与圆的位置关系【解答】解：（1）点A的极坐标为（，），直线l的极坐标方程为cos（）=a，且点A在直线l上可得： cos（）=a，解得a=直线l的极坐标方程为cos（）=，即：cos+sin=2，直线l的直角坐标方程为：x+y2=0（2）圆C的参数方程为（为参数），可得圆的直角坐标方程为：（x1）2+y2=1圆心（1，0），半径为：1因为圆心到直线的距离d=1，所以直线与圆相交选修4-5：不等式选讲24已知函数f（
33、x）=m|x1|x+1|（ I）当m=5时，求不等式f（x）2的解集；（）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围【考点】绝对值不等式的解法【分析】（）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求（）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2在x=1取得最小值2，f（x）在x=1处取得最大值m2，故有m22，由此求得m的范围【解答】解：（ I）当m=5时，由f（x）2得不等式组为或1x1，或解得其集为x|x（2）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该函数在x=1取得最小值2，因为，在x=1处取得最大值m2，所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象的图象恒有公共点，只需m22，即m42016年8月1日