1、高考资源网（） 您身边的高考专家2014-2015学年广东省梅州市梅县东山中学高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）1设集合P=1，2，3，4，Q=x|x2x20，xR，则PQ=（）A 1，2B 3，4C 1D 2，1，0，1，22数列，的第10项是（）A B C D 3若abc，则下列不等式成立的是（）A B C acbcD acbc4在ABC中，a=2，b=3，sinA=，则cosB的值是（）A B C D 5设a1=2，数列1+an是以3为公比的等比数列，则a4=（）A 80B 81C 54D 536不在不等式2x+3y6表示的平面区域内的点
2、是（）A （0，0）B （1，1）C （0，2）D （2，0）7直线l1：（3+a）x+4y=53a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=（）A 7或1B 7C 7或1D 18将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A y=2cos2xB y=2sin2xC D y=cos2x9已知实数x，y满足，则z=3xy的取值范围是（）A 3，6B 3，12C 6，12D 3，610古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，1
3、6这样的数成为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A 289B 1024C 1225D 1378二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11等比数列an的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列若a1=1，则S4=12已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x1被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为13数列an的通项公式是an=，若前n项和为，则n=14若点P在直线l1：x+y+3=0上，过点P的直线l2与曲线C：（x5）2+y2=16只有一个公共点M，则|PM|的最小值为三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程
4、和演算步骤）15在ABC中，a=，b=3，sinC=2sinA（）求边长c的长度；（）求ABC的面积16已知函数f（x）=（）求ff（2）的值；（）求f（a2+1）（aR）的值；（）当4x3时，求函数f（x）的值域17（）已知x0，y0，x+2y=1，求的最小值（）已知a，b（0，+），求证：18设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S7=7，S15=75（）求数列an的通项公式；（）若bn=2an+n，求数列bn的前n项和Tn19已知直线l：kxy3k=0与圆M：x2+y28x2y+9=0（1）求证：直线l与圆M必相交；（2）当圆M截直线l所得弦长最小时，求k的值20已知函数f（x
5、）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记an=3f（n），nN*（）求数列an的通项公式；（）设bn=，Tn=b1+b2+bn，若Tnm（mZ），求m的最小值；（）求使不等式（1+）（1+）（1+）p对一切nN*均成立的最大实数p2014-2015学年广东省梅州市梅县东山中学高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）1设集合P=1，2，3，4，Q=x|x2x20，xR，则PQ=（）A 1，2B 3，4C 1D 2，1，0，1，2考点：交集及其运算专题：集合分析：求出Q中不等式的解集确定出Q，找出P与Q的交集即
6、可解答：解：由Q中不等式变形得：（x2）（x+1）0，解得：1x2，即Q=（1，2），P=1，2，3，4，PQ=1，故选：C点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2数列，的第10项是（）A B C D 考点：数列的概念及简单表示法专题：函数的性质及应用分析：由数列，可得其通项公式an=即可得出解答：解：由数列，可得其通项公式an=故选C点评：得出数列的通项公式是解题的关键3若abc，则下列不等式成立的是（）A B C acbcD acbc考点：不等关系与不等式专题：不等式的解法及应用分析：利用不等式的基本性质即可得出解答：解：abc，acbc0，故选B点评：熟练掌握不等
7、式的基本性质是解题的关键4在ABC中，a=2，b=3，sinA=，则cosB的值是（）A B C D 考点：正弦定理专题：解三角形分析：根据正弦定理进行求解即可解答：解：a=2，b=3，sinA=，由正弦定理得sinB=，baBA=30即cosB=，故选：D点评：本题主要考查解三角形的应用，利用正弦定理是解决本题的关键5设a1=2，数列1+an是以3为公比的等比数列，则a4=（）A 80B 81C 54D 53考点：等比数列的性质；数列递推式专题：计算题分析：先利用数列1+an是以3为公比的等比数列以及a1=2，求出数列1+an的通项，再把n=4代入即可求出结论解答：解：因为数列1+an是以3
8、为公比的等比数列，且a1=2所以其首项为1+a1=3其通项为：1+an=（1+a1）3n1=3n当n=4时，1+a4=34=81a4=80故选A点评：本题主要考查等比数列的性质的应用解决本题的关键在于利用数列1+an是以3为公比的等比数列以及a1=2，求出数列1+an的通项是对基础知识的考查，属于基础题6不在不等式2x+3y6表示的平面区域内的点是（）A （0，0）B （1，1）C （0，2）D （2，0）考点：二元一次不等式（组）与平面区域专题：计算题分析：分别把A，B，C，D四个点的坐标代入不等式2x+3y6进行判断，能够求出结果解答：解：把（0，0）代入不等式2x+3y6，得06，成立，
9、点A在不等式2x+3y6表示的平面区域内；把（1，1）代入不等式2x+3y6，得56，成立，点B在不等式2x+3y5表示的平面区域内；把（0，2）代入不等式2x+3y6，得66，不成立，点C不在不等式2x+3y6表示的平面区域内；把（2，0）代入不等式2x+3y6，得46，成立，点D在不等式2x+3y6表示的平面区域内故选C点评：本题考查二元一次不等式组表示的平面区域的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答7直线l1：（3+a）x+4y=53a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，则a=（）A 7或1B 7C 7或1D 1考点：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系分析：利用直线平行的充要条件：
10、斜率相等、截距不等即可得出解答：解：直线l1：（3+a）x+4y=53a和直线l2：2x+（5+a）y=8平行，解得a=7故选：B点评：本题考查了直线平行的充要条件，属于基础题8将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A y=2cos2xB y=2sin2xC D y=cos2x考点：函数y=Asin（x+）的图象变换专题：三角函数的图像与性质分析：按照向左平移，再向上平移，推出函数的解析式，即可解答：解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数=cos2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y=1+cos2x=2cos2
11、x，故选A点评：本题考查函数y=Asin（x+）的图象变换，考查图象变化，是基础题9已知实数x，y满足，则z=3xy的取值范围是（）A 3，6B 3，12C 6，12D 3，6考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：先画出可行域，再把目标函数变形为直线的斜截式，根据其在y轴上的截距即可求之解答：解：画出可行域，如图所示解得B（1，3）、C（5，3），把z=3xy变形为y=3xz，则直线经过点B时z取得最小值；经过点C时z取得最大值，所以zmin=3（1）3=6，zmax=353=12，即z的取值范围是6，12故选：C点评：本题考查利用线性规划求函数的最值，是一道基础题10古希腊人常用小
12、石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16这样的数成为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A 289B 1024C 1225D 1378考点：数列的应用；归纳推理专题：计算题；压轴题；新定义分析：根据图形观察归纳猜想出两个数列的通项公式，再根据通项公式的特点排除，即可求得结果解答：解：由图形可得三角形数构成的数列通项，同理可得正方形数构成的数列通项bn=n2，则由bn=n2（nN+）可排除D，又由，与无正整数解，故选C点评：考查学生观察、分析和归纳能力，并能根据归纳的结
13、果解决分析问题，注意对数的特性的分析，属中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11等比数列an的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列若a1=1，则S4=15考点：等差数列的性质；等比数列的前n项和专题：计算题分析：由题意知2a24a1=a32a2，即2q4=q22q，由此可知q=2，a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，于是得到S41+2+4+8=15解答：解：2a24a1=a32a2，2q4=q22q，q24q+4=0，q=2，a1=1，a2=2，a3=4，a4=8，S4=1+2+4+8=15答案：15点评：本题考查数列的应用，解题时要注意公式的灵活运用12
14、已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y=x1被该圆所截得的弦长为，则圆C的标准方程为（x3）2+y2=4考点：直线与圆的位置关系专题：直线与圆分析：利用圆心，半径（圆心和点（1，0）的距离）、半弦长、弦心距的关系，求出圆心坐标，然后求出圆C的标准方程解答：解：由题意，设圆心坐标为（a，0），则由直线l：y=x1被该圆所截得的弦长为得，解得a=3或1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以a=3，故圆心坐标为（3，0），又已知圆C过点（1，0），所以所求圆的半径为2，故圆C的标准方程为（x3）2+y2=4故答案为：（x3）2+y2=4点评：本题考查了直线的方程、点到直线的距离、直线
15、与圆的关系，考查了同学们解决直线与圆问题的能力13数列an的通项公式是an=，若前n项和为，则n=10考点：数列的求和专题：等差数列与等比数列分析：通过裂项可知an=，并项相加可知数列an的前n项和Sn=，进而可得结论解答：解：an=，数列an的前n项和Sn=1+=1=，当n=10时，前n项和为，故答案为：10点评：本题考查数列的通项，裂项、并项相加是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于基础题14若点P在直线l1：x+y+3=0上，过点P的直线l2与曲线C：（x5）2+y2=16只有一个公共点M，则|PM|的最小值为4考点：直线与圆的位置关系专题：计算题；转化思想分析：求出圆心坐标，圆的半
16、径，结合题意，利用圆的到直线的距离，半径，|PM|满足勾股定理，求出|PM|就是最小值解答：解：（x5）2+y2=16的圆心（5，0），半径为4，则圆心到直线的距离为：=4，点P在直线l1：x+y+3=0上，过点P的直线l2与曲线C：（x5）2+y2=16只有一个公共点M，则|PM|的最小值：=4故答案为：4点评：本题是基础题，考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，勾股定理的应用，考查计算能力，转化思想的应用三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）15在ABC中，a=，b=3，sinC=2sinA（）求边长c的长度；（）求ABC的面积考点：余弦定理
17、；正弦定理专题：解三角形分析：（）由已知及正弦定理即可得解（）由余弦定理可求，从而解得，利用三角形面积公式即可得解解答：解：（）sinC=2sinA，由正弦定理可得：c=2a=2=2，（6分）（），（9分）（12分）点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，属于基本知识的考查16已知函数f（x）=（）求ff（2）的值；（）求f（a2+1）（aR）的值；（）当4x3时，求函数f（x）的值域考点：函数的值域；函数的值专题：函数的性质及应用分析：（）由题意可得f（2）=1（4）=5，ff（2）=f（5），运算求得结果（）由题意可得，f（a2+1）=4（a2+1）2，运算求得结
18、果（）分当4x0 时、当x=0、当0x3 时三种情况，分别求出函数的值域，再取并集，即得所求解答：解：（）由题意可得f（2）=1（4）=5，ff（2）=f（5）=425=21 （5分）（）f（a2+1）=4（a2+1）2=a42a2+3 （10分）（）当4x0 时，f（x）=12x，1f（x）9 （11分）当x=0 时，f（0）=2 （12分）当0x3 时，f（x）=4x2，5x4 （14分）故当4x3 时，函数f（x） 的值域是（5，9） （15分）点评：本题主要考查利用分段函数求函数的值以及值域，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题17（）已知x0，y0，x+2y=1，求的最小值（）已知a
19、，b（0，+），求证：考点：综合法与分析法(选修）；基本不等式专题：证明题分析：（I）由题意 =（x+2y）（ ）=3+，1代换后直接利用基本不等式即可求解；（II）要证不等式成立，只要证，即证a+b2，而a+b2显然成立，从而得到要证的不等式成立解答：解：（I）x0，y0，且x+y=1，=（x+y）（ ）=3+3+2 =3当且仅当 =时取等号则 的最小值3（II）要证：，只须证，也只要证a+b2，根据基本不等式，而a+b2显然成立，故成立点评：（I）本题主要考查了基本不等式的应用，注意1的代换在变形中的应用（II）本题主要考查用分析法证明不等式，把证明不等式转化为寻找使不等式成立的充分条件，
20、直到使不等式成立的充分条件显然已经具备为止18设an为等差数列，Sn为数列an的前n项和，已知S7=7，S15=75（）求数列an的通项公式；（）若bn=2an+n，求数列bn的前n项和Tn考点：数列的求和；等差数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：（）利用等差数列的求和公式化简S7=7、S15=75可知a1=2、d=1，进而可得结论；（）通过an=n3可知bn=2n+n，利用等差数列、等比数列的求和公式计算即得结论解答：解：（）设等差数列an的公差为d，则，S7=7，S15=75，即 ，解得：a1=2，d=1，an=n3；（）an=n3，Tn=b1+b2+b3+bn=点评：本题考查数列
21、的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题19已知直线l：kxy3k=0与圆M：x2+y28x2y+9=0（1）求证：直线l与圆M必相交；（2）当圆M截直线l所得弦长最小时，求k的值考点：直线与圆相交的性质专题：综合题分析：（1）由已知中直线l：kxy3k=0，我们可得直线必过点P（3，0），代入圆方程可得点P在圆内，由此即可得到答案（2）根据当圆M截直线l所得弦长最小时，l与MP垂直，我们根据M、P点的坐标，求出MP的斜率，进而即可求出满足条件 的k的值解答：解：（1）直线l恒过点P（3，0），代入圆的方程可得x2+y28x2y+99，P（3，0）点在圆内；则直线l与
22、圆M必相交；（2）圆M截直线l所得弦长最小时则MP与直线l垂直，M点坐标为（4，1），P（3，0）则KMP=1则k=1点评：本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，其中恒过圆内一点时，直线与圆相交，圆M截直线l所得弦长最小时，MP与l垂直都是直线与圆问题中经常考查的知识点20已知函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记an=3f（n），nN*（）求数列an的通项公式；（）设bn=，Tn=b1+b2+bn，若Tnm（mZ），求m的最小值；（）求使不等式（1+）（1+）（1+）p对一切nN*均成立的最大实数p考点：数列的求和专题：等差数列与等比数列分析：（）通过将
23、点A（2，1）和B（5，2）代入函数f（x）=log3（ax+b）计算可知f（x）=log3（2x1），进而an=2n1；（）通过（）可知bn=，利用错位相减法计算可知Tn=3，通过作商可知f（n）=随着n的增大而减小，进而可得结论；（）通过变形问题转化为求F（n）=（1+）（1+）（1+）的最小值，通过作商可知F（n）随着n的增大而增大，进而可得结论解答：解：（）函数f（x）=log3（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），log3（2a+b）=1，log3（5a+b）=2，2a+b=3，5a+b=9，解得：a=2，b=1，f（x）=log3（2x1），an=3f（n）=2n1；
24、（）由（）得bn=，Tn=b1+b2+bn=1+3+（2n3）+（2n1），Tn=1+3+（2n3）+（2n1），两式相减得：Tn=+2（+）（2n1）=+2（2n1）=（2n1），Tn=3=3，=+1（其中f（n）=），f（n）=随着n的增大而减小，Tn随着n的增大而增大，且Tn=3，又Tnm（mZ），m的最小值为3；（）不等式（1+）（1+）（1+）p对一切nN*均成立，p（1+）（1+）（1+）对一切nN*均成立，记F（n）=（1+）（1+）（1+），则=（1+）=1，F（n）0，F（n+1）F（n），F（n）随着n的增大而增大，F（n）min=F（1）=，p，即p的最大值为点评：本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题高考资源网版权所有，侵权必究！