1、北京市密云区2021届高三数学上学期期中试题（含解析）一选择题(共10小题).1. 已知集合，则AB=（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先解出集合A,再进行AB.【详解】解：A=x|1x1，B=1，0，1，2，AB=0.故选：D.【点睛】集合的交并运算：(1)离散型的数集用韦恩图；(2) 连续型的数集用数轴2. 已知向量，且，则（ ）A. B. C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得m的值【详解】解：向量，则m=6，故选：C.【点睛】方法点睛：判断向量垂直或平行的方法：（1）若，则；（2）若，则.3. 下列函数
2、中，既是偶函数又在上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的单调性、奇偶性的定义及判断方法判断即可.【详解】对于A，函数是偶函数，在递减，不合题意；故A错误，对于B，函数是偶函数，在递增，合题意；故B正确，对于C，函数不是偶函数，不符合题意；故C错误，对于D，函数在不是单调递增，不符合题意；故D错误.故选：B.4. 将数列2n+1与3n2(n=1，2，)的公共项从小到大排列得到数列an，则an的前4项的和为（ ）A. 35B. 60C. 64D. 95【答案】C【解析】【分析】分别写出等差数列2n+1和等差数列3n2的前几项，可得公共项为等差数列，代入公式
3、，即可得答案.【详解】等差数列2n+1的前几项为3，5，7，9，11，13，15，17，19，等差数列3n2的前几项为1，4，7，10，13，16，19，可得数列2n+1与3n2(n=1，2，)的公共项是首项为7，公差为6的等差数列，则an的前4项的和为.故选：C.5. 已知a=log34，b=3，c3=9，则a，b，c的大小关系是（ ）A. abcB. acbC. bcaD. ba1，且alog39=2，即a(1，2).b=3，b=log3log=1，则ba1，使得.”为假命题，可知，“”为真命题，恒成立，由，当且仅当时取等号，即a的最大值为3.故答案为：3.15. 设函数.若a=1，则f(
4、x)的值域为_；若f(x)在R上单调递增，则实数a的取值范围是_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】a=1，直接求值域；在同一个坐标系内作出和的图像，分析a的取值范围.【详解】解：若a=1，则，当x1时，f(x)=3x1(1，2，当x1时，f(x)=|x+1|2，f(x)的值域为(1，2(2，+)=(1，+)；在同一平面直角坐标系内作出函数y=3x1与y=|x+1|的图象如图：由图可知，要使函数在R上的增函数，只需-1a1，则实数a的取值范围是1，1.故答案为：；.【点睛】由分段函数（数列）单调性求参数的取值范围的方法：(1)分段函数的每一段都单调；(2)根据单调性比较端点函数值的
5、大小.三解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 已知函数.（1）求f(x)的最小正周期及单调递增区间；（2）若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）利用两角差的余弦公式，二倍角公式及辅助角公式，化简整理，可得，代入公式，即可求得周期T，将代入y=sinx的单调递增区间，即可求得的单调增区间；（2）根据x的范围，求得的范围，根据的最大值为，可得，即可求得答案.【详解】解：（1），所以f(x)的最小正周期为，因为函数y=sinx的单调递增区间为，所以，解得，所以f(x)的单调递增区间为.（2）当时，可得，因为f(
6、x)在区间上的最大值为，且当时，取最大值，所以，所以，即m的最小值为.17. 已知等差数列an的前n和为Sn，满足.（1）若，求数列的通项公式及前n项和；（2）若，且，求n的取值范围.【答案】（1）an=-2n+8，(n=1，2，3，)，；（2）1n8，nN*.【解析】【分析】（1）由，得到，再由a3=2，求得a1，d即可.（2）根据a10，由，转化为n29n+80求解.【详解】（1）设等差数列an的公差为d， ，a3=2，a1+2d=2，解得a1=6，d=2，an=a1+(n1)d=-2n+8，(n=1，2，3，)，.（2）a10，n29n+80，解得1n8.n的取值范围1n8，nN*.【点
7、睛】关键点点睛：本题第二问关键是确定公差d的符号，转化为一元二次不等式而得解.18. 在ABC中，再从条件条件这两个条件中选择一个作为已知，求：（1）的值；（2）的面积.条件：；条件：.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）若选，先利用余弦定理列出关于，的表达式，然后将及代入，得到关于的方程，解出，再利用正弦定理解出,则；若选，由可解出的值，然后可利用求解的值；（2）若选，根据（1）的结果可直接得出的值，然后运用求面积；若选，根据（1）的结果先计算得出的值，然后再联立可解出，的值，再运用正弦定理解得，从而得出面积.【详解】解：选择条件：（1）在中，由余弦定理，可得，解得，由正
8、弦定理，所以，因此，在ABC中，有.（2）当时，则.选择条件：（1）在中，因为，则，又因，所以，即.（2）在ABC中，由正弦定理，又因为，所以，又，利用正弦定理可解得则.【点睛】在利用正弦定理、余弦定理解三角形时，一般已知两角和其中一角的对边或或已知两边和其中一边的对角，可采用正弦定理求解；当已知两边及其夹角或已知一角及三边关系时可采用余弦定理求解.在解答的过程中有时需要用到三角恒等变换的公式，如和差角公式、降幂公式等.19. 已知函数，aR.（1）求的单调区间；（2）若对任意恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先求导得，然后分和两种情况分类讨论，得
9、出原函数的单调区间；（2）若对任意恒成立，则只需满足成立,然后讨论函数在上的最值，利用最值求解即可.【详解】解：（1）函数的定义域为，.当时，在上恒成立，所以在上单调递增；当时，由，得，当时，单调递减，在时，单调递增.综上，当时，在上单调递增，没有减区间.当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）对任意，恒成立，即在区间上，恒成立.因为在上单调递增，若，即当时，在上恒成立，则在区间上单调递增，故，可得：，符合题意；当，即时，若，单调递减，若，单调递增，又，依题意有，即，恒成立，可得符合题意；当时，即时，在上恒成立，函数在上单调递减，可得符合题意.综上，对任意，恒成立，的取值范围是.【点睛】
10、本题的难点在于（2）中根据不等式恒成立求参数的取值范围，一般地对于双变量问题且每个变量的取值互不影响时，可将问题转化为函数最值之间的比较，利用导数讨论函数的单调性及最值，根据题意列出含参数的不等式来求解.20. 已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设函数，若是函数g(x)的两个零点，求a的取值范围；求证：.【答案】（1）y=1；（2）(1，e1；证明见解析.【解析】【分析】（1）求出切线的斜率和切点坐标代入点斜式方程可得答案； （2）求出利用的单调性可得答案；不妨设x10，即a1，g(e)=1e+a0，即ae1，令x=ea，显然0ea1，有g(ea)=ea0，故a的取值范围是(1，e
11、1；证明：不妨设x1x2，由可知x1(0，1)，x2(0，e)，故，要证x1x21，即证，又，函数g(x)在(0，1)递增，即证，x1，x2(0，e)是函数g(x)的两个零点，故g(x1)=g(x2)=0，即证，只需证，令，则，当x2(1，e时，h(x2)0，故h(x2)在(1，e递减，h(x2)h（1）=0，故得证，故.【点睛】本题考查了导数的几何意义、根据零点求参数的范围的问题，关键点是构造函数利用函数的单调性求解，考查了学生分析问题、解决问题的能力.21. 对于实数数列an，记.（1）若m1=1，m2=2，m3=4，m4=8，写出a1，a2，a3，a4的值；（2）若数列an是等差数列，求
12、证：对任意三元数组(i，j，k)(i，j，k两两不相等)，总有(ij)mk+(jk)mi+(ki)mj=0；（3）若对任意三元数组(i，j，k)(i，j，k两两不相等)，存在常数c，使得(ij)mk+(jk)mi+(ki)mj=c，求证：an是等差数列.【答案】（1）a1= 1， a2=3，a3=8，a4=20；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据数列的递推公式代值计算即可；（2）根据等差数列的通项公式可得，根据已知条件可得，代换到，即求证；（3）先求出，取，得，可得数列是等差数列，根据等差数列的通项公式和求和公式即可证明【详解】解：（1），则，则，则，证明：（2）由等差数列的通项公式可得，可得，并注意到，于，；证明：（3）首项交换中的，可得，两式相加可得，于是对任意三元数组，两两不相等，总有，取，得，即，于是数列是等差数列，故，另一方面，于是，当时，用替换得，两式相减得，也满足上式，故是等差数列；【点睛】本题考查数列的递推公式，等差数列的通项公式求和公式，解答的关键是对等差数列的定义的理解