1、内蒙古呼和浩特市第十六中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理（含解析）第卷（选择题）一、单选题1. 已知等差数列中，则数列的前11项和等于( )A. 22B. 33C. 44D. 55【答案】C【解析】【分析】利用等差数列的性质可求.【详解】因为，故选C.【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2） 且 ；（3）且为等差数列；（4） 为等差数列.2. 等差数列中，已知，则（ ）A. 16B. 20C. 24D. 28【答案】C【解析】【分析】根据条件并利用等差数列的下标和性质求解出的值，然后将待求式子转化为和有关的式子即可得到结果.【详解】因为为等差
2、数列，所以，所以，又，故选：C.【点睛】本题考查等差数列下标和性质的运用，难度一般.已知是等差数列，若，则有.3. 如图，已知是实数集，集合，则阴影部分表示的集合是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先得到阴影部分表示的集合是，然后再利用对数函数的单调性和一元二次不等式的解法化简集合A，B，再利用集合的补集和交集运算求解.【详解】因为阴影部分表示的集合是： ，又集合，所以或，又，所以故选：D4. 命题“，使得”的否定是（ ）A. ，都有B. ，都有C. ，使得D. ，使得【答案】A【解析】由特称命题的否定为全称命题可知：“，使得”的否定是，都有，故选A.5. 已知等比数列的
3、公比，则的值是 （）A. B. C. 4D. 16【答案】D【解析】分析：先根据等比数列通项公式求首项，再根据等比数列通项公式求的值.详解：选D.点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.6. 巳知集合P=，Q=，将PQ的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前n项和，则使得1000成立的的最大值为A. 9B. 32C. 35D. 61【答案】C【解析
4、】【分析】数列an的前n项依次为：1，2，3，22，5，7，23，利用分组成等差数列和等比数列的前n项和公式求解.【详解】数列an前n项依次为：1，2，3，22，5，7，23，利用列举法可得：当n=35时，PQ中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列an，所以数列an的前35项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，69，2，4，8，16，32，64Sn=29+ +=29+=9671000所以n的最大值35.故选C【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7. 已知命题；命题，且是的充分不必要条
5、件，则的取值范围（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先化简命题，再由是的充分不必要条件，转化为是的充分不必要条件求解.【详解】命题，即为或；命题，因为是的充分不必要条件，所以是的充分不必要条件，所以故选;D8. 在中，若为等边三角形（两点在两侧），则当四边形的面积最大时，（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】求出三角形的面积，求出四边形的面积，运用三角函数的恒等变换和正弦函数的值域，求出满足条件的角的值即可【详解】设，是正三角形，由余弦定理得：，时，四边形的面积最大，此时故选A点睛】本题考查余弦定理和三角形的面积公式，考查两角的和差公式和正弦函数的值域，考
6、查化简运算能力，属于中档题9. 设不等式组表示的平面区域为,若函数的图象上存在区域上的点,则实数的取值范围是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】作出不等式组对应的平面区域如图由，对数函数的图象经过可行域的点，满足条件由，解得此时满足，解得实数的取值范围是故选.10. 已知an=（nN*），则在数列an的前30项中最大项和最小项分别是（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】C【解析】，该函数在和上都是递减的，在上各项为负值，在上各项为正值，这个数列的前项中的最大项和最小项分别是，故选C.11. 设是等差数列的前项和，若，则（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】
7、试题分析：根据等差数列的性质，有.考点：等差数列的基本性质.12. 已知,且,则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用不等式基本性质、函数的单调性即可判断出结论.【详解】解：，则，即，故A错误；函数在上不是单调函数，故不一定成立，故B错误；函数在上是单调减函数，则，故C正确；当时，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查了不等式的基本性质、函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.第卷（非选择题）二、填空题13. 如果函数满足：对于任意给定的等比数列仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”在下列函数中所有“保等比数列函数”的序号为_ 【答案】【解析】【分析】通过等比数
8、列性质，依次验证各个选项是否满足，则可得结果.【详解】由等比数列性质知对于，则正确；对于，则错误；对于，则正确；对于，则错误；对于，则错误；综上，正确的命题序号为本题正确结果：【点睛】本题考查新定义问题，关键是能够明确“保等比数列函数”的定义，根据定比数列定义求得结果.14. 已知点与点Q（1，0）在直线的两侧，存在某一个正实数m，使得 恒成立,则的最大值为_【答案】【解析】【分析】先判断点在直线左上方，求出原点到直线的距离，由线性规划知识可得，结合恒成立，可得的取值范围，从而可得结果.【详解】因为在直线右下方，由于点与点在直线的两侧，所以点 在直线左上方，表示为与两点间的距离，由于原点到直线
9、的距离，由线性规划知识可得，要使恒成立,则，即的最大值为，故答案为.【点睛】本题主要考查点到直线的距离公式、线性规划的应用以及不等式恒成立问题，属于中档题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立.15. 等比数列的前n项和为.已知，成等差数列，则的公比为_.【答案】【解析】【分析】设等比数列的公比为，由，成等差数列，可得，即，化简即可得出【详解】解：设等比数列的公比为，成等差数列，化为：，解得故答案为：【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题16. 在中，已知角
10、是锐角，且，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】根据正弦定理得，角是锐角，由余弦定理：，化简得，即可得解.【详解】由题：，根据正弦定理可得：，所以角是锐角，由余弦定理：，即，所以，即，即故答案为：【点睛】此题考查利用正余弦定理求解与三角形有关的参数取值范围，利用正弦定理进行边角互化，利用等价转化的思想求解范围.三、解答题17. 等差数列不是常数列，,且是某一等比数列的第1，2，3项.(1)求数列an的第20项.(2)求数列bn的通项公式【答案】（1） (2)【解析】【分析】（1）根据等差数列定义及通项公式,结合,且是某一等比数列的第1，2，3项,可得关于d的一元二次方程,即可求得公差
11、d,进而求得的值.( 2 ) 根据等比数列定义,即可求得等比数列的公比,进而求得等比数列的通项公式.【详解】（1）设数列的公差为d，则因为等比数列的第1、2、3项也成等比,所以即 解得,（舍去）所以(2)由（1）知为正项数列所以【点睛】本题考查了等差数列与等比数列定义及通项公式的求法,属于基础题.18. 已知数列是公差不为0的等差数列，且，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据，且，成等比数列，利用等比中项由，求得公差即可（2）由（1）得到，再利用裂项相消法求解.【详解】（1）设数列的公差为d， 因为，且，成等比数列，
12、所以 ，即，解得 或 （舍去），所以数列的通项公式；（2）由（1）知：，所以 .【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法(1)公式法：等差数列的前n项和公式，等比数列的前n项和公式；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则
13、称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解19. 设数列满足，且，.（1）求和的值；（2）求数列的前项和.【答案】（1），； （2）【解析】【分析】（1）将和代入条件可得，由，可得答案.（2）由（1）有，可得,则可求出，由错位相减法可得答案.【详解】（1）当时，有，即当时，有，即，解得 由，即，得（2）由（1）有，可得所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列.所以，则两式相减得： 所以【点睛】关键点睛：本题考查由递推关系求数列的通项公式和利用错位相减法求和，解答本题的关键是由，构造出，得到数列是等差数列，错位相减法中要注意计算的准确性，属于中档题.20. 已知是正项等比数列
14、, 且（1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由，将代入，可得根据等比数列的通项公式，写出的通项公式；（2）根据的通项公式求得数列cn的通项公式，再利用分组求和对的前项和进行求解.【详解】（1） ，.（2）由， .【点睛】本题主要考查数列的分组求和问题，利用等差与等比数列的前n项和公式，同时考查学生的运算能力，属于中档题.21. 已知函数.（1）当时，求出函数的最大值，并写出对应的的集合；（2）在中，角、的对边分别为、，若，求的最小值.【答案】（1）函数取最大值，此时的取值集合为；（2）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数
15、的解析式为，由可计算出的取值范围，利用正弦函数的有界性可求得的最大值及其对应的的值，即可得解；（2）由结合角的取值范围可求得角的值，再利用余弦定理结合基本不等式可求得的最小值.【详解】（1）函数，所以，当或时，即当时，函数取最大值；（2）由题意，化简得，解得.在中，根据余弦定理，得.由，知，即.当时，取最小值为.【点睛】求函数在区间上最值的一般步骤：第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式；第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或）的最值；第三步：求出所求函数的最值22. 已知等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）记，的前项和为，求.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由，可得，即，从而可得公差，从而得出答案.（2）由条件可得，由等比数列的前项和公式可得答案.【详解】（1）设等差数列的公差为，则，又，又，得，则所以（2）所以