1、吉林省东北师大附中2021届高三数学第三次摸底考试试题 理注意：本试卷共150分，考试时间120分钟. 第卷一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.1.已知集合，则A. B. C. D.2.复数,则 A. B. C. D.3.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯()在公元前二世纪 首先提出了星等这个概念星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗到 了年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森()又提出 了衡量天体明暗程度的亮度的概念天体的明暗程度可以用星等或
2、亮度来描述两颗星的星 等与亮度满足其中星等为的星的亮度为已知 “心宿二”的星等是，“天津四” 的星等是，“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与 最接近的是(当较小时，) A. B. C. D.4.若满足约束条件，则的取值范围是A. B. C. D.5.已知等差数列的前项和为，且，则A. B. C. D.6.已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，是直线与抛物线的 一个交点若，则A. B. C. D.7.函数的单调递减区间是A. B. C. D.8.若函数在区间上有最大值，则的取值范围为 A. B. C. D.9. 关于直线与平面，有以下四个命题：若且，则； 若且，则；若且，则；若且，则； 其中真
3、命题的序号是 A. B. C. D.10. 若，则A. B. C. D. 11.如图所示，正方体中，点分别在上，且，则与所成角的余弦值为A. B. C. D.12. 已知双曲线的左右焦点分别为，为坐标原点，点为 双曲线右支上一点，若，则双曲线的离心率的取值范围为A. B. C. D. 第卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13.若向量与的夹角为，则_.14.若，则_.15.已知数列满足，且，则 _.16.设点在曲线上，点在曲
4、线上，若，则的 取值范围是_. 三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （本小题满分12分） 的内角的对边分别为，设. （1）求； （2）若，且成等差数列，求的面积18. （本小题满分12分） 某市为进一步改善市内交通状况，准备修建一条新的地铁线路，为了调查市民对沿线地铁站 配置方案的满意度，现对居民按年龄（单位：岁）进行问卷调查，从某小区年龄在内 的居民中随机抽取人，将获得的数据按照年龄区间, 分成组，同时对这人的意见情况进行统计得到频率分布表 经统计，在这 人中，共有人赞同目前的地铁站配置方案分组持赞同意见的人数占本组的比例 （1）求和的值；
5、（2）在这人中，按分层抽样的方法从年龄在区间，内的居民（包括持反对 意见者）中随机抽取人进一步征询意见，再从这人中随机抽取人参加市里的座谈， 记抽取参加座谈的人中年龄在的人数为，求的分布列和数学期望19. （本小题满分12分）如图，四棱锥的底面是等腰梯形，是等边三角形，平面平面，点在棱上 （1）当为棱中点时，求证：； （2）是否存在点使得二面角的余弦值为， 若存在，求的长；若不存在，请说明理由20. （本小题满分12分） 已知椭圆的离心率为，短轴长为，为坐标原点 （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆交于不同两点，线段中点在圆上，求面积 的最大值21. （本小题满分12分） 已知函数 （1
6、）若，证明：当时，； （2）若存在两个极值点（）且，求的最大值请在22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的倾斜角23. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲.设函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围第三次摸底考试数学（理）答案1-12 BCCDA BCADD CA13. 14. 15. 16. 17. 解：（1）由题意，即，在中，（2），且成等差数列，由正弦
7、定理得，又由（1）知，的面积18. 解：（1）由题意，。，即，（2）年龄在区间的居民共有人，年龄在区间的居民共有人，按分层抽样抽取人，则共有人年龄在内。则的可能取值为,则的分布列为的数学期望是19. 证明：（1）连结，由题意，底面是等腰梯形且，则,由余弦定理知,.平面平面,平面平面,平面，平面,为棱中点, 且是等边三角形，,又,平面，.（2）假设存在点使得二面角的余弦值为.由题意过点作交于点,平面平面,平面,取中点,连结,则,由（1）知平面,所以以为原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系.,设，则.，设平面的一个法向量为，则，令，则，易知平面的一个法向量为，则，则，即，20. 解:（
8、1）由题意知，得， 椭圆的标准方程为.（2）当直线的斜率不存在时，令，得，当直线的斜率存在时，设直线方程为，弦中点，由，得，则，所以，将代入，得，此时又因为 ，原点到直线的距离，所以 当且仅当，即时，即时取等号.综上，面积的最大值为.法二： 当且仅当时，即时，即时取等号.综上，面积的最大值为. 21. 解: （1）当时，故当时,所以只需证即可.因.所以在为单调递减函数 而，所以当时，有,即当时，成立.（2）的定义域为，.所以当时，有两个正根，即存在两个极值点.由于的两个极值点满足方程所以，则有，由，解得令那么当时，所以在上是增函数，所以的最大值为即的最大值为22. 解：（1）曲线的直角坐标方程为当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以有两个解，设为，则又由得，故，于是直线的斜率，于是直线的倾斜角是。23. 解：（1）当时，可得的解集为（2）等价于即是而，且当时等号成立故等价于由可得或，所以的取值范围是
