1、优培9 线性规划1、线性目标函数的最值问题例1：若实数，满足约束条件，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】令，根据不等式组，作出可行域，如图所示，由图知：当经过点和点时，分别取得最大值和最小值，则，所以的取值范围为2、非线性目标函数的最值问题例2：设，满足约束条件，则的最大值为 【答案】【解析】由约束条件作出可行域如图，由图可知，在点与两点之间的斜率最大，把代入可得3、含参问题例3：已知实数，满足，若目标函数最大值为，取到最大值时的最优解是唯一的，则的取值是（ ）ABCD【答案】C【解析】由不等式组，即为，作可行域如图：目标函数可化为经过点时，取到最大值，这时坐标满足，解得，点坐标为
2、，代入得到4、线性规划的实际应用问题例4：我市高中数学研究会准备从会员中选拔名男生，名女生组成一个小组去参加数学文化知识竞赛，若，满足约束条件，则该小组最多选拔学生（ ）A名B名C名D名【答案】B【解析】作出，满足约束条件表示的平面区域，如图所示：要求招入的人数最多，即取得最大值，目标函数化为，在可行域内任意取，且为正整数，截距最大时的直线为过，得，此时目标函数取得最大值为一、选择题1若实数，满足，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】作出可行域如图所示，作直线，再将其平移至时，直线的纵截距最小，的最小值为2若变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）ABCD【答案】C【解析】由约束条件作出
3、可行域如图所示，当过时，有3设满足，若的最大值是（ ）ABCD【答案】A【解析】由题，可得可行域如图所示（阴影部分），由得，平移直线，由图像可知当直线经过点时，直线的截距最小，即最大，由，解得为，代入目标函数中可得4已知，满足约束条件，则的最大值为（ ）ABCD【答案】C【解析】由，满足约束条件作出可行域如图，化目标函数为，由图象可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大，有最大值为5若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（ ）ABCD或【答案】C【解析】画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示由，解得，点的坐标为结合图形可得，若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则实数需满足，故
4、选C6已知实数，满足，若的最大值是，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】不等式，等价于，化简得，设，则；且的最大值是，由图形知，解得，所以实数的取值范围是，故选A7在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】作出不等式对应的平面区域，如图所示：其中，直线过定点，当时，不等式表示直线及其左边的区域，不满足题意；当时，直线的斜率，不等式表示直线下方的区域，不满足题意；当时，直线的斜率，不等式表示直线上方的区域，要使不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，只需直线的斜率，解得，综上可得实数的取值范围为，
5、故选B8已知，满足约束条件，若的取值集合为，且，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中，的最值在顶点处取到，所以，解得9设，满足条件，且，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，其中，设，则的几何意义为平面区域内的点到定点的连线的斜率，由图象知的斜率最小，的斜率最大，则的斜率，的斜率为，即，则，即的取值范围是10若实数，满足约束条件，则的最大值是（ ）ABCD【答案】D【解析】由实数，满足约束条件作出可行域，如图：，联立，解得，的几何意义为可行域内动点与原点距离的平方，其最大值，故选D11已知实
6、数，满足，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】由约束条件作出可行域如图，联立，解得，其几何意义为可行域内的动点与定点距离的平方减，到直线的距离，的取值范围是12某企业准备投资万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数据表格（以班级为单位）：新一年因生源和环境等因素，全校总班级至少个，至多个，若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润万元、万元，则第一年利润最大为（ ）A万元B万元C万元D万元【答案】A【解析】设开设初中班个，高中班个，利润为，则由题意得，满足的条件为，即，画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示由，得平移直线（图中的虚线），结合图形可得，当直线经过可行
7、域内的点时，直线在轴上的截距最大，此时取得最大值由，解得，故点的坐标为，（万元），即第一年利润最大为万元，故选A二、填空题13若，满足约束条件，则的最小值为 【答案】【解析】作出可行域如图所示，则目标函数的最小值即为直线满足约束条件下取得的截距的最小值，则利用平移法平移直线，通过图象可知，当直线经过点时截距最小，所以14设，满足约束条件，则的最大值是 【答案】【解析】作出不等式组对应的平面区域如图，由得，平移直线，由图象直线当直经过时，直线的截距最小，此时最大为，就的最大值是15实数，满足不等式，则的最大值为 【答案】【解析】实数，满足不等式组，对应的平面区域如图，设区域中的点到直线的距离为，
8、则有，求的最大值等价于求点到直线的距离最大值，由图象可知，当点与点重合时距离最大，则有16已知实数，满足，则的最大值是_【答案】【解析】由约束条件可作如图所示的可行域，两直线的交点，则当过原点的直线过点时，斜率最大，即的最大值为17已知变量，满足，则的取值范围为_【答案】【解析】如图，由可行域的图知，在点处取最大值为，最小值为原点到直线的距离的平方为，所以的取值范围为18已知实数、满足，则的最大值为 【答案】【解析】的几何意义是区域内的点到定点的斜率，作出不等式组对应的平面区域，由图象知的斜率最大，由，解得，此时，故答案为19在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动点，则线段的最小值为
9、 【答案】【解析】如图阴影部分为不等式组表示的平面区域，易知的最小值即为原点到直线的距离，即20已知，满足，若的最大值为，最小值为，则的最小值为 【答案】【解析】作出不等式组，表示的平面区域，如图阴影部分所示，即及其内部，其中，令，其表示阴影部分的点到坐标原点的距离的平方显然在点处取得最大值，则而原点到直线的距离，且，的最小值，故，令，可得，故当直线经过点时，取得最小值，最小值为21设集合，若，则实数的取值范围是_【答案】【解析】根据，可知，从而，解得或集合表示夹在两条平行直线与之间的带形区域当时，如图1，集合是以为圆心，为半径的圆面，由于点总在直线的上方，只需与圆有公共点即可，令，解得，与相矛盾，故此时无解；当时，如图2，集合表示以为圆心，以和为半径的圆环面，只需，中至少有一条与圆有公共点即可，令或，解得或，又，故，综上可得，的取值范围为22，两个居民小区的居委会欲组织本小区的中学生，利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动，两个小区每位同学往返车费及服务老人的人数如下表：根据安排，去敬老院的往返总车费不能超过元，且小区参加献爱心活动的同学比小区的同学至少多人，则接受服务的老人最多有_人【答案】【解析】设，两区参加活动同学的人数分别为，受到服务的老人人数为，则，且，作出可行域，如图，平移直线，由图可知，当直线过点时，最大，当，时，取得最大值为，即接受服务的老人最多有人
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