1、优培12 数列求和1、公式法例1：数列中，若，则（ ）ABCD【答案】C【答案】取，则，又，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，则，所以，得2、裂项相消法例2：已知数列，满足，（1）若数列为等比数列，公比，且，求的值及数列的通项公式；（2）若数列为等差数列，公差，证明：【答案】（1），；（2）证明见解析【答案】（1）由，得，解得，由，得由，得（2）由，得，所以，由，得，因此，3、错位相减法例3：设是公比不为的等比数列，为，的等差中项（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【答案】（1）设等比数列的公比为，又，故，解得或（舍）（2）由，可得，设数列的前项和为，则-，得，4
2、、并项求和法例4：已知等差数列中，则数列的前项和为（ ）ABCD【答案】D【答案】由题，解得，设，则，数列的前项和为一、选择题1已知数列满足，且，则数列的前6项和（ ）A6B7C8D9【答案】B【答案】因为，所以，两边同时除以，得，又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以，从而，故选B2在等比数列中，已知，则的值为（ ）ABCD【答案】C【答案】由，得，取，这时，适合题意3数列，都是等差数列，且，则的前项的和为（ ）ABCD【答案】D【答案】的前项的和4数列的通项公式为，其前项和为，则（ ）ABCD【答案】D【答案】的周期，故选D5已知为数列的前项和，且，则数列的前项和为（ ）ABCD【
3、答案】B【答案】由，得当时，数列是首项为，公比为的等比数列，数列的前项和为，得，故6在递减的等差数列中，则数列的前项和的最大值为（ ）ABCD【答案】D【答案】设等差数列的公差为，则，因为，所以，解得或(舍去)，所以，当时，所以当时，因为，所以数列的前项和，当时，取得最大值，最大值为二、填空题7设是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，已知的前项和，则的值是_【答案】【答案】因为的前项和，当时，当时，所以当时，且当时，成立，故，8等差数列的前项和为，则 【答案】【答案】设等差数列的首项为，公差为，所以，解得，所以，那么，那么9已知函数，正项等比数列满足，则等于 【答案】【答案】因为，所以因为数
4、列是等比数列，所以，即，设，又，得，所以三、解答题10已知公比大于的等比数列满足，（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和【答案】（1）；（2）480【答案】（1）设公比为，解得或（舍），（2）由（1）可得，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，11设数列满足，（1）计算猜想的通项公式并加以证明；（2）求数列的前项和【答案】（1），证明见解析；（2）【答案】（1）由，猜想的通项公式为利用数学归纳法证明：（i）当时，显然成立；（ii）假设时猜想成立，即，则时，所以时猜想也成立，综上（i）（ii），所以（2）令，则，由，得，化简得12已知为等差数列，为等比数
5、列，（1）求和的通项公式；（2）记的前项和为，求证：；（3）对任意的正整数，设，求数列的前项和【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）【答案】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为由，可得，从而的通项公式为由，又，可得，解得，从而的通项公式为（2）证明：由（1）可得，故，从而，所以（3）当奇数时，当为偶数时，对任意的正整数，有，和由得由得，由于，从而得因此，所以，数列的前项和为13已知数列的首项，前项和为设与是常数若对一切正整数，均有成立，则称此数列为“”数列（1）若等差数列是“”数列，求的值；（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；（3）对于给定的，是否存在三个不同的数列为“”数列，且？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由【答案】（1）；（2）；（3）存在，【答案】（1）时，所以（2），因此，从而又，综上，（3）若存在三个不同的数列为“”数列，则，则，由，则，令，则，时，由，可得，则，即，此时唯一，不存在三个不同的数列；时，令，则，则，时，则同理不存在三个不同的数列；时，无解，则，同理不存在三个不同的数列；时，则，同理不存在三个不同的数列；，即时，有两解，设，则，则对任意，或或；此时，均符合条件，对应，则存在三个不同的数列为“”数列，且，综上，
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