1、课时作业18导数与函数的零点问题1设a为实数，函数f(x)x33xa.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由解：(1)f(x)3x23，令f(x)0，得x1或x1.当x(，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0，解得x1或x1；令y0，解得1x1.yx33x在(1,1)上为减函数，在(1，)和(，1)上为增函数当x1时，y极大值2；当x1时，y极小值2.yx33x的大致图象如图所示ya表示平行于x轴的一条直线，由图象知，当a2或a2时，ya与yx33x有两个交点故当a2或a2时，方程f(x)0恰好有
2、两个实数根2(2019全国卷)已知函数f(x)(x1)lnxx1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数证明：(1)f(x)的定义域为(0，)f(x)lnx1lnx.因为ylnx单调递增，y单调递减，所以f(x)单调递增又f(1)10，故存在唯一x0(1,2)，使得f(x0)0.又当0xx0时，f(x)x0时，f(x)0，f(x)单调递增因此，f(x)存在唯一的极值点(2)由(1)知f(x0)0，所以f(x)0在(x0，)内存在唯一根x.由x01得10，解得xln2，令f(x)0，解得0xln2，函数f(x)的单调递增区间为(，0)和(ln2
3、，)，单调递减区间为(0，ln2)(2)f(x)ex(x1)ex2axx(ex2a)，f(x)为增函数，f(x)0恒成立当x0时，ex2a0恒成立，得a.当x0时，ex2a0恒成立，得a.a.f(x)(x1)exx2b.由(x1)exx2bbx，得(x1)ex(x21)b(x1)当x1时，方程成立当x1时，只需要方程ex(x1)b有2个实根令g(x)ex(x1)，则g(x)ex.当xln时，g(x)ln且x1时，g(x)0，g(x)在(，ln)上单调递减，在(ln，1)和(1，)上单调递增，g(ln)(ln1)ln2，g(1)e10，b(ln2，e1)(e1，)4(2020长春质监)已知函数f
4、(x)exbx1(bR)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若方程f(x)lnx有两个实数根，求实数b的取值范围解：(1)由题意可得f(x)exb，当b0时，f(x)0，f(x)在(，)上单调递增当b0时，若xln(b)，则f(x)0，f(x)在ln(b)，)上单调递增；若xln(b)，则f(x)0，f(x)在(，ln(b)上单调递减(2)令g(x)exbx1lnx，则g(x)exb，易知g(x)单调递增且一定有大于0的零点，设g(x)大于0的零点为x0，则g(x0)0，即ex0b0，bex0.方程f(x)lnx有两个实数根，即g(x)有两个零点，则需满足g(x0)0，即ex0bx01lnx0e
5、x0(ex0)x01lnx0ex0ex0x0lnx00)，则h(x)exx0，所以h(x)在(0，)上单调递减，h(1)0，所以ex0ex0x0lnx00的解集为(1，)，所以bex01e.当bxbxlnx，有g(eb)ebbeblneb(b1)ebb；令G(x)(x1)exx(x1)(ex1)1，x1e，所以x12e0,0ex0，所以g(eb)0，故g(eb)g(x0)0.综上，b的取值范围是(，1e)5(2020福州质检)已知函数f(x)alnxx(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当ea2时，关于x的方程f(ax)有两个不同的实数解x1，x2，求证：x1x20，即a1时，在(0,1a)上，f(x)0，在(1a，)上，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间是(0,1a)，单调递减区间是(1a，)；当1a0，即a1时，在(0，)上，f(x)0)，当0x0，函数g(x)在区间(0,1)上单调递增；当x1时，g(x)0，函数g(x)在区间(1，)上单调递减所以g(x)在x1处取得最大值因为当ea2时，方程f(ax)有两个不同的实数解x1，x2，所以函数g(x)有两个不同的零点x1，x2，一个零点比1小，一个零点比1大不妨设0x11x2，由g(x1)0，且g(x2)0，得x1ln(ax1)，且x2ln(ax2)，
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