1、第三章3.33.3.1基础巩固一、选择题1如下四个游戏盘(各正方形边长和圆的直径都是单位1)，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖小明希望中奖，则应选择的游戏盘是()答案A解析P(A)，P(B)，P(C)1，P(D).则P(A)最大，故选A.2.如图，在正方形围栏内均匀撒米粒，一只小鸡在其中随意啄食，此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是()A.B.C. D.答案B解析设事件A小鸡正在正方形的内切圆中，则事件A的几何区域为内切圆的面积SR2(2R为正方形的边长)，全体基本事件的几何区域为正方形的面积，由几何概型的概率公式可得P(A)，即小鸡正在正方形的内切圆中的概率为.3在正方体ABCDA1B1
2、C1D1内随机取点则该点落在三棱锥A1ABC内的概率是()A. B.C. D.答案B解析体积型几何概型问题P.4.如图，在一个边长为a、b(ab0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底边分别为与，高为b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为()A. B.C. D.答案C解析S矩形ab.S梯形bab.故所投的点落在梯形内部的概率为P.5(2015山东济南模拟)在区间0,1内任取两个数，则这两个数的平方和也在0,1内的概率是()A. B.C. D.答案A解析设在0,1内取出的数为a，b，若a2b2也在0,1内，则有0a2b21.如右图，试验的全部结果所构成的区域为边长为1的正方形，满
3、足a2b2在0,1内的点在单位圆内(如阴影部分所示)，故所求概率为.6在面积S为ABC的边AB上任取一点P，则PBC的面积大于的概率是()A. B.C. D.答案C解析如图，设点C到边AB的距离为h，则SABC|AB|h，SPBC|PB|h.又因为SPBCSABC，所以|PB|AB|，故PBC的面积大于的概率是.二、填空题7(2013福建)利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则事件“3a10”发生的概率为_分析解不等式，求出a的取值范围，算出此范围与所给区间的比值即可答案解析由题意，得0a，所以根据几何概型的概率计算公式，得事件“3a10”发生的概率为.8一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体容器
4、内自由飞行，若小蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体的6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”那么小蜜蜂“安全飞行”的概率为_答案解析棱长为3的正方体的体积为33327，若小蜜蜂“安全飞行”，则需控制在以原正方体的中心为中心的棱长为1的小正方体内部，故小蜜蜂飞行区域的体积为1111.根据几何概型的概率公式，可得小蜜蜂“安全飞行”的概率为.三、解答题9一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒(没有两灯同时亮)，当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯；(2)黄灯；(3)不是红灯解析在75秒内，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型(1)
5、P；(2)P；(3)P.10一海豚在水池中自由游弋，水池为长30 m、宽20 m的长方形，求海豚嘴尖离岸边不超过2 m的概率分析海豚在水中自由游弋，它的嘴尖在水池中的位置有无限多个，并且每个位置都是等可能的，满足几何概型的条件，本题可先求出所求事件对应部分面积及整个区域面积，再利用几何概型概率公式求解解析如下图，该区域是长30 m、宽20 m的长方形图中阴影部分表示事件A：“海豚嘴尖离岸边不超过2 m”，问题可以理解为求海豚嘴尖出现在图中阴影部分的概率，由于该区域的面积为3020600(m2)，阴影部分的面积为30202616184(m2)，所以P(A)0.31.点评解决此类题的关键：(1)根
6、据题意确定是与面积(体积)有关的几何概型；(2)找出或构造出对应的几何图形，求出面积(体积)能力提升一、选择题1(2015东曲阜师大附中月考)在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，则该点到此三角形的直角顶点的距离小于1的概率为()A. B.C. D.答案B解析该点到此三角形的直角顶点的距离小于1，则此点落在以直角顶点为圆心，1为半径的圆内，所以所求的概率为.2(2015虹宁大连质检)一只蚂蚁在边长分别为3,4,5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都不小于1的地方的概率为()A.B1C1D1答案B解析作出满足题意的区域如右图，则由几何概型的知识得，所求概率P1.3某人从甲地去乙地共走
7、了500 m，途中要过一条宽为x m的河流，他不小心把一件物品丢在途中，若物品掉在河里就找不到，物品不掉在河里就能找到，已知该物品能被找到的概率为，则河宽为()A16 mB20 mC8 mD10 m答案B解析物品在途中任何一处丢失的可能性是相等的，所以符合几何概型的条件找到的概率为，即掉到河里的概率为，则河流的宽度占总距离的，所以河宽为50020(m)4(2014湖北，理7)由不等式组确定的平面区域记为1，不等式组确定的平面区域记为2，在1中随机取一点，则该点恰好在2内的概率为()A. B.C. D.答案D解析如图，由题意知平面区域1的面积S1SAOM222.1与2的公共区域为阴影部分，面积S
8、阴S1SABC21.由几何概型得该点恰好落在2内的概率P.故选D.二、填空题5一只蚂蚁在三边边长分别为3、4、5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为_答案解析如图所示，ABC中，AB3，AC4，BC5，则ABC的周长为34512.设某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1为事件A，则P(A).6在一个球内挖去一个几何体，其三视图如图在球内任取一点P，则点P落在剩余几何体上的概率为_答案解析由三视图可知，该几何体是球与圆柱的组合体，球半径R5，圆柱底面半径r4，高h6，故球体积VR3，圆柱体积V1r2h96，所求概率P.三、解答题7(1)在半径为1的圆
9、的一条直径上任取一点，过该点作垂直于直径的弦，其长度超过该圆内接正三角形的边长的概率是多少？(2)在半径为1的圆内任取一点，以该点为中点作弦，问其长超过该圆内接正三角形的边长的概率是多少？(3)在半径为1的圆周上任取两点，连成一条弦，其长超过该圆内接正三角形边长的概率是多少？解析(1)设事件A“弦长超过”，弦长只与它跟圆心的距离有关，弦垂直于直径，当且仅当它与圆心的距离小于时才能满足条件，由几何概率公式知P(A).(2)设事件B“弦长超过”，弦被其中点唯一确定，当且仅当其中点在半径为的同心圆内时，才能满足条件，由几何概率公式知P(B).(3)设事件C“弦长超过”，固定一点A于圆周上，以此点为顶
10、点作内接正三角形ABC，显然只有当弦的另一端点D落在上时，才有|AD|AB|，由几何概率公式知P(C).8(2015江西南昌摸底)两人约定在20时到21时之间相见，并且先到者必须等迟到者40分钟方可离去，如果两人出发是各自独立的，且在20时到21时之间各时刻相见的可能性是相等的，求两人在约定时间内相见的概率探究两人不论谁先到都要等迟到者40分钟，即小时，设两人分别于(20x)时和(20y)时到达约见地点，要使两人在约定的时间范围内相见，则有xy，因此转化成与面积有关的几何概型问题，利用几何概型概率公式求解解析设两人分别于(20x)时和(20y)时到达约定地点，要使两人能在约定时间范围内相见，则有xy.(x，y)的各种可能结果可用图中的单位正方形(包括边界)来表示，满足两人在约定的时间范围内相见的(x，y)的各种可能结果可用图中的阴影部分(包括边界)来表示因此阴影部分与单位正方形的面积比就是两人在约定时间范围内相见的可能性的大小，也就是所求的概率，即P.