1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。5.4.3正切函数的性质与图象如图是某学生作出的正切函数ytan x，x的图象【问题1】根据该生画出的图形，你能说出作图的步骤吗？【问题2】如何获得正切函数在整个定义域上的图象，其图象与正弦、余弦曲线有什么不同？【问题3】结合图象，你能说出正切函数的一些性质吗？正切函数的图象与性质解析式ytan x图象定义域值域R最小正周期奇偶性奇函数单调性在每一个区间(kZ)上都单调递增对称性对称中心(kZ)1本质：(1)正切曲线的画法，类比于“五点法”，可以采用“三点两线法”画函数y
2、tan x，x上的简图，即可以先描三点，(0，0)，再画两条平行线x，x，然后连线，这两条线实质上是正切函数图象的渐近线(2)应用“整体思想”，由正切函数ytan x(xk，kZ)的图象与性质，可推出形如函数yA tan (x)(A0)的图象与性质2混淆：(1)正切函数在定义域上不具备单调性，但在每一个开区间(kZ)内是增函数不能说函数在其定义域内是单调递增函数(2)正切函数无单调递减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间正切函数ytan x的图象与直线xk，kZ有公共点吗？提示：没有正切曲线是由被互相平行的直线xk(kZ)隔开的无穷多支曲线组成的1正切
3、函数是其定义域上的增函数吗？2正切曲线是中心对称图形吗？3正切曲线的对称轴是xk，kZ吗？4正切函数的最小正周期是2吗？提示：1.不是；2.是；3.不是；4.不是观察教材P211，图5.411，你能说出函数ytan x在上的单调性吗？提示：因为函数ytan x与函数ytan x的图象关于x轴对称，故函数ytan x在上是减函数1函数ytan 的最小正周期为()A2 B C D【解析】选C.根据周期公式计算得T.2函数ytan 的单调增区间为_【解析】令kxk，kZ，得kxk，即ytan 的单调增区间为，kZ.答案：，kZ基础类型一正切函数的定义域、周期性、奇偶性与对称性(数学抽象)1若函数y3
4、tan 的最小正周期是，则()A2 B2 C D2【解析】选D.依题意有T，所以|2，所以2.2函数f(x)tan tan 是()A奇函数 B偶函数C既奇又偶函数 D非奇非偶函数【解析】选A.函数定义域为x|xk且xk，kZ，关于原点对称，又f(x)tan tan tan (x)tan f(x)，所以函数是奇函数3函数y2tan 的一个对称中心是()A BC D【解析】选A.3x，kZ，则x，kZ，验证四个选项，可知选项A正确4函数ylg (1tan x)的定义域为_.【解析】要使函数ylg (1tan x)有意义，则即1tan x1.在上满足上述不等式的x的取值范围是.又因为ytan x的周
5、期为，所以函数的定义域为.答案：与正切函数有关的简单性质问题的解决策略(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数ytan x有意义即xk，kZ.(2)函数yA tan (x)的最小正周期为T，常常利用此公式来求周期(3)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(x)与f(x)的关系(4)正切函数图象的对称中心是(kZ)，不存在对称轴基础类型二正切函数的图象及应用(直观想象)【典例】已知函数f(x)tan |x|.(1)判断函数的奇偶性；(2)若函数g(x)f(x)a在有两个零点，求a的取
6、值范围【解析】由于f(x)tan |x|其图象如图：(1)因为函数f(x)tan |x|的图象关于y轴对称，故为偶函数(也可以利用偶函数的定义证明).(2)由题意知，函数f(x)tan |x|与ya的图象在上有两个交点，结合f(x)tan |x|可得，a0.【备选例题】在区间范围内，函数ytan x与函数ysin x的图象交点的个数为()A1 B2 C3 D4【解析】选C.方法一：在同一直角坐标系中，首先作出ysin x与ytan x在内的图象，需明确x时，有sin xxtan x(利用单位圆中的正弦线、正切线就可证明)，然后利用对称性作出x的两函数的图象，如图所示，由图象可知它们有三个交点方
7、法二：ysin x，ytan x，x，即sin xtan xsin x，sin x0，sin x0或cos x1.在x内，x，0，满足sin x0，x0满足cos x1，所以交点个数为3. 利用对称变换作出相关函数的图象的方法函数y|tan x|的最小正周期为_【解析】由y|tan x|得，y其图象如图：结合图象，可得最小正周期为.答案：【加固训练】求不等式tan 1的解集【解析】令X2x，作出ytan X的图象，如图所示由图可知不等式tan X1的解为kXk(kZ).所以k2xk(kZ)，即x(kZ)，所以tan 1的解集为.综合类型正切函数的单调性及应用(逻辑推理)求单调区间【典例】函数y
8、tan 的单调区间为_【解析】ytan tan ，由k2xk(kZ)，得x0)的单调区间的求法是把x看成一个整体，解kxk，kZ即可当1时，ylogau在u(0，)上单调递增；当x(kZ)时，utan x是单调递增的，所以yloga tan x在x(kZ)上是单调增函数当0a1时，yloga tan x在x(kZ)上是单调增函数；当0a”或“”填空)：(1)tan _tan ；【解析】tan tan ，且0，又ytan x在上单调递增所以tan tan ，即tan tan .答案：(2)tan _tan .【解析】tan tan ，tan tan ，因为0，又ytan x在上单调递增，所以ta
9、n tan ，则tan tan .答案：运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内(2)运用单调性比较大小关系【加固训练】比较tan 1，tan 2，tan 3的大小【解析】因为tan 2tan (2)，tan 3tan (3).又因为2，所以20.因为3，所以30，显然231，且ytan x在内是增函数，所以tan (2)tan (3)tan 1，即tan 2tan 3tan 1.求最值或值域【典例】函数ytan2x4tanx1的值域为_【解析】设tan xt，则tR，因此yt24t1(t2)233，所以所求值域为3，).答案：3，)本例函数不变，
10、若x，试求其值域【解析】设tan xt，因为x，所以1t，所以yt24t1(t2)23，所以函数yt24t1在1，上为减函数，所以当t1，即x时，ymax2；当t，即x时，ymin44.故所求值域为44，2.求解含有正切函数的复合函数的值域(或最值)问题的基本方法是换元法，换元后或转化为以前学过熟悉的函数的值域(或最值)问题，或利用正切函数的单调性来求解创新思维换元法求函数的值域(逻辑推理)【典例】求函数y的值域【解析】设tan xt，则tR，因此y，所以(y1)t2(y1)ty10，所以(y1)24(y1)20，即3y210y30，所以y3，所以所求函数的值域为通过换元，转化为关于t的二次方
11、程，利用判别式的范围求出值域【加固训练】函数y的值域是()A(，) B(，0)(0，)C(，0) D(1，)【解析】选A.当cos x0时，y0；当cos x0时，y，设tan xt(t)，则y，所以y0.所以所求函数的值域为(，).1下列说法正确的是()Aytan x是增函数Bytan x在第一象限是增函数Cytan x在某一区间上是减函数Dytan x在区间(kZ)上是增函数【解析】选D.由正切函数的图象可知D正确2函数y的值域是()A(1，1) B(，1)(1，)C(，1) D(1，)【解析】选B.因为x，所以1tan x1.3函数ytan 的定义域为_【解析】因为2xk，kZ，所以x，kZ.答案：4函数ytan x的单调递减区间是_【解析】因为ytan x与ytan x的单调性相反，所以ytan x的单调递减区间为(kZ).答案：(kZ)5比较大小：tan _tan .【解析】因为tan tan ，tan tan ，又0，ytan x在内单调递增，所以tan tan ，即tan 关闭Word文档返回原板块
