1、第2课时离散型随机变量的方差学 习 任 务核 心 素 养1理解离散型随机变量的方差及标准差的概念(重点)2掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差(重点)3会用方差解决一些实际问题(难点)1通过学习离散型随机变量的方差、标准差，体会数学抽象的素养2借助方差的性质及两点分布、二项分布的方差解题，提高数学建模、数学运算的素养山东省要从甲、乙两名射击运动员中选出一人参加第十四届全运会，根据以往数据，这两名运动员射击环数分布列如下所示甲的环数8910P0.20.60.2乙的环数8910P0.30.40.3问题：如果从平均水平和发挥稳定性角度分析，你认为派谁参加全运会更好一些？提示甲参加全运会更好一些
2、知识点1离散型随机变量的方差与标准差(1)定义：如果离散型随机变量X的分布列如下表所示Xx1x2xkxnPp1p2pkpn则D(X)x1E(X)2p1x2E(X)2p2xnE(X)2pnxiE(X)2pi，称为离散型随机变量X的方差；称为离散型随机变量X的标准差(2)意义：方差和标准差均刻画一个离散型随机变量的离散程度(或波动大小)(3)性质：若X与Y都是随机变量，且YaXb(a0)，则D(Y)a2D(X)1随机变量的方差和样本方差之间有何关系？提示(1)随机变量的方差即为总体的方差，它是一个常数，不随样本的变化而变化；(2)样本方差则是随机变量，它是随样本不同而变化的对于简单的随机样本，随着
3、样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差1设随机变量的方差D()1，则D(21)的值为()A2 B3 C4 D5C因为D(21)4D()414，故选C知识点2两点分布及二项分布的方差(1)若随机变量X服从参数为p的两点分布，则D(X)p(1p)(2)若随机变量XB(n，p)，则D(X)np(1p)2两点分布与二项分布的方差间存在怎样的联系提示由于两点分布是特殊的二项分布，故两者之间是特殊与一般的关系即若XB(n，p)，则D(X)np(1p)，取n1，则D(X)p(1p)就是两点分布的方差2若随机变量B，则D()_1B，D()41 类型1离散型随机变量的方差【例1】袋中有20个大小相同的球，
4、其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n1,2,3,4)现从袋中任取一球，X表示所取球的标号(1)求X的分布列、均值和方差；(2)若YaXb，E(Y)1，D(Y)11，试求a，b的值思路点拨(1)根据题意，由古典概型的概率公式求出分布列，再利用均值、方差的公式求解(2)运用E(Y)aE(X)b，D(Y)a2D(X)，求a，b解(1)X的分布列为X01234PE(X)012341.5D(X)(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75(2)由D(Y)a2D(X)，得a22.7511，即a2又E(Y)aE(X)b，所以当a2时，由121.5b，得b2；当a2时
5、，由121.5b，得b4，或即为所求1求离散型随机变量X的方差的基本步骤2对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(ab)a2D()，这样处理既避免了求随机变量ab的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程1(1)已知随机变量X的分布列为X123P0.5xy若E(X)，则D(X)等于()ABC D(2)已知X的分布列如下X101Pa求X2的分布列；计算X的方差；若Y4X3，求Y的均值和方差(1)B由分布列的性质得xy0.5，又E(X)，所以2x3y，解得x，y，所以D(X)22(2)解由分布列的性质，知a1，故a，从而X2的分布列为X201P由知a，所以X的均值E(X
6、)(1)01故X的方差D(X)22E(Y)4E(X)3432，D(Y)16D(X)11 类型2两点分布、二项分布的方差【例2】(对接教材P85例4)某5G芯片生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100个新生产的5G芯片进行检测若每块芯片的生产成本为1 000元，一级品每个芯片可卖1 500元，二级品每个芯片可卖900元，三级品禁止出厂且销毁某日检测抽取的100个5G芯片的柱状图如图所示(用样本的频率代替概率)(1)若该生产线每天生产2000个5G芯片，求出该生产线每天利润的平均值；(2)若从出厂的所有5G芯片中随机取出3个，求其中二级品5G芯片个数X的分布列、期望与方差解(1)该生产线每天利
7、润的平均值20(7050020100101 000)460 000元(2)由题意得XB，P(X0)C，P(X1)C，P(X2)C，P(X3)C其分布列为X0123PE(X)np3D(X)np(1p)31如果随机变量X服从两点分布，那么其方差D(X)p(1p)(p为成功概率)2如果随机变量X服从二项分布，即XB(n，p)，那么方差D(X)np(1p)，计算时直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程2(1)设一随机试验的结果只有A和，且P(A)m，令随机变量则的方差D()等于()AmB2m(1m)Cm(m1) Dm(1m)(2)若随机变量XB(3，p)，D(X)，则p_(1)D(2)或(1)随机变量
8、的分布列为01P1mmE()0(1m)1mmD()(0m)2(1m)(1m)2mm(1m)(2)XB(3，p)，D(X)3p(1p)，由3p(1p)，得p或p 类型3期望、方差的综合应用1A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表A机床次品数X10123P0.70.20.060.04B机床次品数X20123P0.80.060.040.10试求E(X1)，E(X2)提示E(X1)00.710.220.0630.040.44E(X2)00.810.0620.0430.100.442在问题1中，由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？提示不能因
9、为E(X1)E(X2)3在问题1中，试想利用什么指标可以比较A，B两台机床加工质量？提示利用样本的方差方差越小，加工的质量越稳定【例3】甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a，0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2(1)求，的分布列；(2)求，的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术思路点拨(1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出，的分布列(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的数学期望，然后再看其方差值解(1)
10、由题意得：0.53aa0.11，解得a0.1因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，所以乙射中7环的概率为1(0.30.30.2)0.2所以，的分布列如下表所示10987P0.50.30.10.110987P0.30.30.20.2(2)由(1)得：E()100.590.380.170.19.2；E()100.390.380.270.28.7；D()(109.2)20.5(99.2)20.3(89.2)20.1(79.2)20.10.96；D()(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.21.21由于E()E()，D()D(Y)，所以两
11、个保护区内每季度发生的平均违规次数是相同的，但乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区的违规事件次数相对分散，故乙保护区的管理水平较高1有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本方差分别为D(X甲)11，D(X乙)3.4由此可以估计()A甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐B乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐C甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同D甲、乙两种水稻分蘖整齐不能比较BD(X甲)D(X乙)，乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐2设二项分布B(n，p)的随机变量X的均值与方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数n，p的值为()An4，p0.6Bn6，p0.4Cn8，p0.3 Dn24，p0
12、.1B由题意得，np2.4，np(1p)1.44，1p0.6，p0.4，n63(多选题)设离散型随机变量X的分布列为()X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满足Y2X1，则下列结果正确的有()Aq0.1 BE(X)2，D(X)1.4CE(X)2，D(X)1.8 DE(Y)5，D(Y)7.2ACD因为q0.40.10.20.21，所以q0.1，故A正确；又E(X)00.110.420.130.240.22，D(X)(02)20.1(12)20.4(22)20.1(32)20.2(42)20.21.8，故C正确；因为Y2X1，所以E(Y)2E(X)15，D(Y)4D(X)7.
13、2，故D正确故选ACD4已知随机变量X，且D(10X)，则X的标准差为_由题意可知D(10X)，即100D(X)，D(X)，即X的标准差为5一批产品中，次品率为，现连续抽取4次，其次品数记为X，则D(X)的值为_由题意知XB，所以D(X)4回顾本节内容，自我完成以下问题：1求离散型随机变量的方差的常见类型及解决方法有哪些？提示(1)已知分布列型(非两点分布或二项分布)：直接利用定义求解，具体如下，求均值；求方差(2)已知分布列是两点分布或二项分布型：直接套用公式求解，具体如下，若X服从两点分布，则D(X)p(1p)若XB(n，p)，则D(X)np(1p)(3)未知分布列型：求解时可先借助已知条件及概率知识求得分布列，然后求方差(4)对于已知D(X)求D(aXb)型，利用方差的性质求解，即利用D(aXb)a2D(X)求解2解答离散型随机变量的实际应用问题的关注点是什么？提示(1)分析题目背景，根据实际情况抽象出概率模型，特别注意随机变量的取值及其实际意义(2)弄清实际问题是求均值还是方差，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高，然后再计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定因此，在利用均值和方差的意义去分析解决实际问题时，两者都要分析