1、4.1条件概率与事件的独立性4.1.1条件概率学 习 任 务核 心 素 养1在具体情境中，了解条件概率(难点)2掌握条件概率的计算方法(重点)3利用条件概率公式解决一些简单的实际问题(易错点)1通过条件概率的学习，体会数学抽象的素养2借助条件概率公式解题，提升数学运算素养高二(1)班共有30名男生，20名女生，其中男生中共有8名共青团员，女生中共有10名共青团员问题1：从该班学生中任意抽取1人，其是女生的概率是多少？提示问题2：已知抽出的是女同学的前提下，该同学是共青团员的概率又是多少？提示知识点1条件概率定义一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)0)，已知事件B发生的条件下事件A发生
2、的概率，称为条件概率表示P(A|B)计算公式P(A|B)P(A|B)与P(B|A)相同吗？提示不同，前者是事件B发生的条件下事件A发生的概率，而后者是事件A发生的条件下事件B发生的概率一般情况下，它们也不相等提醒：当题目涉及“在前提下”等字眼时，一般为条件概率，如题目中没有上述字眼，但已知事件的发生影响了所求事件的概率，也是条件概率在条件概率的表示中，“|”之后的部分表示条件1(对接教材P43例3)设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是_0.5根据条件概率公式知P0.5知识点2条件概率的性质(1)0P(B|A)1；
3、(2)P(A|A)1；(3)如果B与C互斥，则P(BC)|A)P(B|A)P(C|A)2思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若事件A，B互斥，则P(B|A)1()(2)P(B|A)P(AB)()答案(1)(2) 类型1利用定义求条件概率【例1】(对接教材P44练习T3)一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B(1)分别求事件A，B，AB发生的概率；(2)求P(B|A)思路点拨首先弄清“这次试验”指的是什么，然后判断该问题是否属于古典概型，最后利用相应公式求解解由古典概型的概率公式可知(1)P(A)，P(B)，P(AB
4、)(2)P(B|A)1用定义法求条件概率P(B|A)的步骤(1)分析题意，弄清概率模型；(2)计算P(A)，P(AB)；(3)代入公式求P(B|A)2结合古典概型分别求出事件A，B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系1甲、乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气象记录，知道一年中下雨天的比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%，记P(A)0.2，P(B)0.18，P(AB)0.12，则P(A|B)_，P(B|A)_由公式P(A|B)，P(B|A) 类型2利用基本事件个数求条件概率在一个坛子中装有10个除颜色外完全相同的玻璃球，其中有2个
5、红球，8个黄球现从中任取一球后(不放回)，再取一球，则已知第一个球为红色的情况下第二个球为黄色的概率为多少？提示法一：依题意，在第一个球取得红球的条件下，坛子中还有8个黄球，而坛子中此时共有9个球，故再取一球为黄球的概率为法二：设“取出的第一个球为红色”为事件A，“取出的第二个球为黄色”为事件B，则P(A)，P(AB)，所以P(B|A)【例2】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求：(1)第1次抽到舞蹈节目的概率；(2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率；(3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率思路点拨第(1)、(2)问
6、属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解解设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件AB(1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n()A30，根据分步乘法计数原理n(A)AA20，于是P(A)(2)因为n(AB)A12，于是P(AB)(3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)法二：因为n(AB)12，n(A)20，所以P(B|A)(变结论)本例条件不变，试求在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到语言类节目的概率
7、解设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到语言类节目为事件C，则第1次抽到舞蹈节目、第2次抽到语言类节目为事件ACn(A)AA20，n(AC)AA8，P(C|A)1本题第(3)问给出了两种求条件概率的方法，法一为定义法，法二利用基本事件个数直接作商，是一种重要的求条件概率的方法2计算条件概率的方法(1)在缩小后的样本空间A中计算事件B发生的概率，即P(B|A)(2)在原样本空间中，先计算P(AB)，P(A)，再利用公式P(B|A)，计算求得P(B|A) 类型3条件概率的综合应用【例3】一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从09中任选一个某人在银行自动提款机上取钱时，忘了密码的最后一位数字
8、求：(1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；(2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率思路点拨(1)不超过2次，即第1次按对或第1次未按对第2次按对；(2)条件概率，利用互斥事件的条件概率公式求解解设第i次按对密码为事件Ai(i1,2)，则AA1(1A2)表示不超过2次按对密码(1)因为事件A1与事件1A2互斥，由概率的加法公式得P(A)P(A1)P(1A2)(2)用B表示最后一位按偶数的事件，则P(A|B)P(A1|B)P(1A2)|B)1利用公式P(BC)|A)P(B|A)P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”2为了求
9、复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率2在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第1个球是红球的条件下，第2个球是黄球或黑球的概率解设“摸出第1个球为红球”为事件A，“摸出第2个球为黄球”为事件B，“摸出第2个球为黑球”为事件C则P(A)，P(AB)，P(AC)所以P(B|A)， P(C|A)所以P(BC)|A)P(B|A)P(C|A)所以所求的条件概率为1某班学生考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%已知一学生数学不及格，则他语文也不及格的
10、概率是()A0.2 B0.33 C0.5 D0.6A记“数学不及格”为事件A，“语文不及格”为事件B，P(B|A)0.2，所以数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为0.22抛掷红、黄两枚质地均匀的骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两枚骰子的点数之积大于20的概率是()A B C DB抛掷红、黄两枚骰子共有6636个基本事件，其中红色骰子的点数为4或6的有12个基本事件，此时两枚骰子点数之积大于20包含46,64,65,66，共4个基本事件，所求概率为3已知6个高尔夫球中有2个不合格，每次任取1个，不放回地取两次在第一次取到合格高尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔夫球的概率为()A B C
11、DB记事件A第一次取到的是合格高尔夫球，事件B第二次取到不合格高尔夫球，事件AB第一次取到合格高尔夫球的条件下，第二次取到不合格高尔夫球由题意可得事件AB发生所包含的基本事件数n(AB)428，事件A发生所包含的基本事件数n(A)4520，所以P(B|A)4把一枚硬币投掷两次，事件A第一次出现正面，B第二次出现正面，则P(B|A)_P(AB)，P(A)，P(B|A)5某种元件用满6 000小时未坏的概率是，用满10 000小时未坏的概率是，现有一个此种元件，已经用过6 000小时未坏，则它能用到10 000小时的概率为_设“用满6 000小时未坏”为事件A，“用满10 000小时未坏”为事件B
12、，则P(A)，P(AB)P(B)，所以P(B|A)回顾本节内容，自我完成以下问题：1求解条件概率应注意哪些问题？提示(1)在具体问题中，必须弄清楚哪是事件A，哪是事件B，即在哪个事件发生的条件下，求哪个事件的概率；(2)重点抓住“把事件A发生作为条件”还是“把事件B发生作为条件”和“A与B同时发生”这两件事；(3)正确理解事件AB，准确求出P(AB)(4)要注意结合题意分析事件A与B的关系，有时可从集合知识的角度来分析，若事件A发生时B一定发生，而B发生时A不一定发生，则有AB，且P(AB)P(A)2如何理解条件概率公式？提示(1)如果知道事件A发生会影响事件B发生的概率，那么P(B)P(B|
13、A)；(2)已知A发生，在此条件下B发生，相当于AB发生，要求P(B|A)，相当于把A看作新的基本事件空间计算AB发生的概率，即P(B|A)(教师用书独具)概率论的起源概率论渗透到现代生活的方方面面正如19世纪法国著名数学家拉普拉斯所说：“对于生活中的大部分，最重要的问题实际上只是概率问题你可以说几乎我们所掌握的所有知识都是不确定的，只有一小部分我们能确定地了解甚至数学科学本身，归纳法、类推法和发现真理的首要手段都是建立在概率论的基础之上因此，整个人类知识系统是与这一理论相联系的”有趣的是，这样一门被称为“人类知识的最重要的一部分”的数学却直接地起源于人类贪婪的产物，赌博，文明一点的说法，就是
14、机会性游戏，即靠运气取胜的游戏希罗多德在他的巨著历史中记录到，早在公元前1500年，埃及人为了忘却饥饿，经常聚集在一起掷骰子，游戏发展到后来，到了公园前1200年，有了立方体的骰子，6个面上刻上数字，和现代的赌博工具已经没有了区别但概率论的概念直到文艺复兴后才出现，概率论出现如此迟缓，有人认为是人类的道德规范影响了对赌博的研究既然赌博被视为不道德的，那么将机会性游戏作为科学研究的对象也就是大逆不道第一个有意识地计算赌博胜算的是文艺复兴时期意大利的卡尔达诺，他几乎每天赌博，并且由此坚信，一个人赌博不是为了钱，那么就没有什么能够弥补在赌博中耗去的时间他计算了同时掷出两个骰子，出现哪个数字的可能最多，结果发现是“7”17世纪，法国贵族德梅勒在骰子赌博中，有急事必须中途停止赌博双方各出的30个金币的赌资要靠对胜负的预测进行分配，但不知用什么样的比例分配才算合理德梅勒写信向当时法国的最具声望的数学家帕斯卡请教帕斯卡又和当时的另一位数学家费尔马长期通信于是，一个新的数学分支概率论产生了概率论从赌博的游戏开始，最终服务于社会的每一个角落