1、第二讲计数原理、随机变量及其分布素能演练提升十六SUNENG YANLIAN TISHENG SHILIU掌握核心,赢在课堂1.在四次独立重复试验中事件A发生的概率相同,若事件A至少发生1次的概率是6581,则事件A在一次试验中发生的概率为()A.13B.25C.56D.以上全不对解析:设事件A在一次试验中发生的概率为p,事件A全不发生为事件A至少发生一次的对立事件,1-(1-p)4=6581,即(1-p)4=1681.故1-p=23或1-p=-23(舍去),即p=13.答案:A2.同时掷3枚均匀硬币,恰好有2枚正面向上的概率为()A.0.5B.0.25C.0.125D.0.375解析:掷3枚
2、均匀硬币,设正面向上的个数为X,则X服从二项分布,即XB3,12,P(X=2)=C3212212=38=0.375.答案:D3.(3y+x)5展开式的第三项为10,则y关于x的函数图象大致为()解析:由题意得C52(3y)5-2(x)2=10,故xy=1(x0),得y=1x(x0).选D.答案:D4.已知随机变量X+Y=8,若XB(10,0.6),则E(Y)是()A.6B.2C.4D.5解析:若两个随机变量Y,X满足一次关系式Y=aX+b(a,b为常数),当已知E(X)时,则有E(Y)=aE(X)+b.由已知随机变量X+Y=8,所以有Y=8-X.因此,求得E(Y)=8-E(X)=8-100.6
3、=2.故选B.答案:B5.(2014北京高考,理13)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种.解析:产品A,B相邻时,不同的摆法有A22A44=48种.而A,B相邻,A,C也相邻时的摆法为A在中间,C,B在A的两侧,不同的摆法共有A22A33=12(种).故产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻的不同摆法有48-12=36(种).答案:366.已知随机变量X的分布列如下表所示:X135P0.40.1x则X的数学期望为.解析:由题意,有0.4+0.1+x=1,所以x=0.5,E(X)=0.4+0.3+2.5=3.2.答案:3.27.将甲、乙、丙
4、3名志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在乙、丙的前面,则不同的安排方法共有种.解析:根据题意可得不同的安排方法共有C53A22=20种.答案:208.在由5道选择题和4道填空题组成的考题中,如果不放回地依次抽取2道题,在第一次抽到填空题的前提下,第二次抽到填空题的概率为.解析:记事件A为“第一次抽到填空题”,事件B为“第二次抽到填空题”,P(AB)=4398=16,P(A)=49,P(B|A)=P(AB)P(A)=1649=38.答案:389.(2014云南昆明三中、玉溪一中统考,18)交通指数是交通拥堵指数的简称,是综合反映道路
5、网畅通或拥堵的概念性指数值,交通指数取值范围为010,分为五个级别,02畅通;24基本畅通;46轻度拥堵;68中度拥堵;810严重拥堵.早高峰时段,从昆明市交通指挥中心随机选取了二环以内的50个交通路段,依据其交通指数数据绘制的直方图如图.(1)据此估计,早高峰二环以内的3个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少?(2)某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟,基本畅通为30分钟,轻度拥堵为36分钟,中度拥堵为42分钟,严重拥堵为60分钟,求此人所用时间X的数学期望.解:(1)设事件A为“一个路段严重拥堵”,则P(A)=0.1.事件B为“至少一个路段严重拥堵”,则P(B)=(1-P(A)3=0.7
6、29,P(B)=1-P(B)=0.271.所以3个路段至少有一个是严重拥堵的概率是0.271.(2)由题知所用时间X的分布列如下表:X30364260P0.10.440.360.1则EX=39.96.此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟.10.(2014河南开封第一次摸底测试,18)为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法,从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件,测量产品中微量元素x,y的含量(单位:mg),下表是乙厂的5件产品测量数据.编号12345x169178166175180y7580777081(1)已知甲厂生产的产品共有98件,求乙厂生产的产品数量;(2)当
7、产品中微量元素x,y满足x175,y75时,该产品为优质品,试估计乙厂生产的优质品的数量;(3)从乙厂抽出的上述5件产品中任取3件,求抽取的3件产品中优质品数的分布列及数学期望.解:(1)设乙厂生产的产品为m件,依题意,得1498=5m,m=35.(2)上述样本数据中满足x175,且y75的只有2件,估计乙厂生产的优质品为3525=14(件).(3)依题意,可取0,1,2,则P(=0)=C33C53=110,P(=1)=C32C21C53=610,P(=2)=C31C22C53=310.的分布列为:012P110610310E=0110+1610+2310=1.2.11.(2014山东高考,理
8、18)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分.如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,其他情况记0分.对落点在A上的来球,队员小明回球的落点在C上的概率为12,在D上的概率为13;对落点在B上的来球,小明回球的落点在C上的概率为15,在D上的概率为35.假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响.求:(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;(2)两次回球结束后,小明得分之和的分布列与数学期望.解:(1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球
9、的得分为i分”(i=0,1,3),则P(A3)=12,P(A1)=13,P(A0)=1-12-13=16;记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3),则P(B3)=15,P(B1)=35,P(B0)=1-15-35=15.记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.由题意,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3,由事件的独立性和互斥性,P(D)=P(A3B0+A1B0+A0B1+A0B3)=P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3)=P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3)=1215
10、+1315+1635+1615=310,所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.(2)由题意,随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6,由事件的独立性和互斥性,得P(=0)=P(A0B0)=1615=130,P(=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)=1315+1635=16,P(=2)=P(A1B1)=1335=15,P(=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)=1215+1516=215,P(=4)=P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)=1235+1315=1130,P(=6)=P(A3B3)=1215=110.可得随机变量的分布列为:012346P13016152151130110所以数学期望E()=0130+116+215+3215+41130+6110=9130.