1、第二轮复习-数列压轴题精编解析1、（改编）已知函数，数列是公差为d的等差数列，且满足,数列的前n项和为，满足关系：. ()求数列，的通项公式； ()若对，恒有，求的值；()求证.解：() 因为数列是公差为d的等差数列 ， . 即 ， 解得 d =2. . . 2分 当时，有得，当时，有，整理得，所以是以1为首项，3为公比的等比数列。 . 4分() 由题设知 ， . 当时, , , 两式相减,得. (适合). 7分 设T=, 两式相减 ,得 . . 9分() , 所以 要证现只须证明：于是可先证明. 以下用数学归纳法证明：（1）当n=1时, ；当n=2时，左边，右边，成立. (2)假设当n=k时
2、, 不等式成立，即. 当n=k+1时, . 即当n=k+1时，不等式也成立. 由（1）（2），可知时，都成立. 所以 （当且仅当n1时，等号成立） 所以.即. 14分2、已知 是等差数列，是公比为的等比数列，记为数列的前项和， （1）若是大于的正整数，求证：； （2）若是某一正整数，求证：是整数，且数列中每一项都是数列中的项；（3）是否存在这样的正数，使等比数列中有三项成等差数列？若存在，写出一个的值，并加以说明；若不存在，请说明理由。（4分+6分+4分）解：设的公差为，由，知，（）（1）因为，所以，所以（2），由，所以解得，或，但，所以，因为是正整数，所以是整数，即是整数，设数列中任意一项为
3、，设数列中的某一项=现在只要证明存在正整数，使得，即在方程中有正整数解即可，所以，若，则，那么，当时，因为，只要考虑的情况，因为，所以，因此是正整数，所以是正整数，因此数列中任意一项为与数列的第项相等，从而结论成立。（3）设数列中有三项成等差数列，则有2设，所以2，令，则，因为，所以，所以，即存在使得中有三项成等差数列。3、（本小题满分14分）设数列,满足,且,（1）求数列的通项公式；（2）对一切,证明成立； （3）记数列,的前项和分别为、,证明：解（）： 数列是以为首项，以为公比的等比数列 (2分) (4分)（）证明： 构造函数（ ， (7分)在内为减函数，则 （，对一切，都成立 (9分)（
4、）证明：由()可知 (12分) (14分)4、设，是圆心在抛物线上的一系列圆，它们的圆心的横坐标分别为已知，又都与x轴相切，且顺次逐个相邻外切.（1）求； （2）求由构成的数列的通项公式； （3）求证： . 解：（1）由题意可得 -化简整理得，所以又所以-3分（2）设相邻两圆圆心为，相应半径为，则，如图，作垂足为.即，所以所以数列是首项为4，公差为2的等差数列.所以.故数列的通项公式为.-8分(3)证明：因为，所以=.即有-12分（本题满分14分）在平面上有一系列点对每个自然数,点位于函数的图象上以点为圆心的与轴都相切，且与又彼此外切若,且 （1）求证：数列是等差数列；（2）设的面积为，, 求
5、证： PnPn+1解：（1）依题意，的半径，与彼此外切， 2分 两边平方，化简得 , 即 , 4分 ， ， 数列是等差数列 7分(2) 由题设，即， ， 9分 12分 14分7设A(x1 , y1),B(x2 , y2)是函数f(x)=+log2图象上任意两点，且=(+),点M的横坐标为.求M点的纵坐标；若Sn=f()+f()+f(),nN*,且n2，求Sn;已知an=nN*,Tn为数列an的前n项和，若Tn1且nN*都成立，求的取值范围.解:(1) x1+x2=1,yM=； 4分(2) 对任意x(0,1)都有f(x)+f(1-x)=1f()+f(1-)=1,即f()+f()=1而Sn=f（)
6、+f()+f(),又Sn=f()+f()+f()两式相加得2Sn=n-1,Sn=. 10分(3) n2时，an=4(),Tn=,而=，等号成立当且仅当n=2,. 14分8、设函数（1）求a1，a2，a4的值； （2）写出an与an1的一个递推关系式，并求出an关于n的表达式。 （3）设数列，整数103是否为数列中的项：若是，则求出相应的项数；若不是，则说明理由。解：（1） 4分 （2）5分 8分 10分 （3） 12分 故103不是数列中的项14分已知函数与函数的图像关于直线对称（1）试用含的代数式表示函数的解析式，并指出它的定义域；（2）数列中，当时，数列中，点在函数的图像上，求的值；（3）
7、在（2）的条件下，过点作倾斜角为的直线，则在轴上的截距为，求数列的通项公式分析：本小题主要考查反函数的概念、性质、直线、数列等基本知识，考查运用数学归纳法证明问题的方法，考查分析问题和解决问题的能力。转化（化归）思想，解：（1）由题可知：与函数互为反函数，所以， （2）因为点在函数的图像上，所以， (*)在上式中令可得：，又因为：，代入可解得：所以，(*)式可化为： （3）直线的方程为：，在其中令，得，又因为在轴上的截距为，所以，=，结合式可得： 由可知：当自然数时，两式作差得：结合式得： 在中，令，结合，可解得：，又因为：当时，所以，舍去，得同上，在中，依次令，可解得：，猜想：下用数学归纳法
8、证明 （1）时，由已知条件及上述求解过程知显然成立（2）假设时命题成立，即，则由式可得：把代入上式并解方程得： 由于，所以，所以，符合题意，应舍去，故只有所以，时命题也成立综上可知：数列的通项公式为 *1 .数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.()求数列的通项公式；()设数列的前项和为 ，且，求证:对任意实数（是常数，2.71828）和任意正整数，总有 2；() 正数数列中，.求数列中的最大项. 分析：本题主要考查求数列的通项、等差等比数列的概念和性质、不等式、函数的单调性，综合运送知识分析问题和解决问题的能力。 转化（化归）的思想答案：（）解：由已知：对于，总有 成立 （n 2） -得均为正数， （n 2） 数列是公差为1的等差数列 又n=1时， 解得=1.() （）证明：对任意实数和任意正整数n，总有. ()解：由已知 ， 易得 猜想 n2 时，是递减数列. 令当在内为单调递减函数.由.n2 时, 是递减数列.即是递减数列.又 , 数列中的最大项为.