1、2005年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学(必修+选修I)第I卷（共60分）参考公式：如果事件A、B互斥，那么如果事件A、B相互独立，那么一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项.（1）使首项，公差的等差数列，如果，则序号等于 （ ）（A）667； （B）668； （C）669； （D）670 （2）下列大小关系正确的是 （A）； （B）；（C）； （D）（3）函数的反函数图像大致是 （ ）（A） （B） （C） （D）（4）已知函数，则下列判断正确的是 （ ）（A）此函数的最小周期为，其图像的一个对称中心是（B）此函
2、数的最小周期为，其图像的一个对称中心是（C）此函数的最小周期为，其图像的一个对称中心是（D）此函数的最小周期为，其图像的一个对称中心是（5）下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是 （ ）（A） （B） （C） （D）（6）如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（ ）（A）7 （B） （C）21 （D）（7）函数，若则的所有可能值为 （ ）（A）1 （B） （C） （D）（8）已知向量a、b，且=a+2b, =-5a+6b, =7a-2b，则一定共线的三点是（ ）（A）A、B、D （B）A、B、C （C）B、C、D （D）A、C、D（9）设地球的半径为，若甲地位于北纬东经，乙
3、地位于南纬东经，则甲、乙两地的球面距离为 （ ） （A）； （B）； （C）； （D ） （10）10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，至少有1人中奖的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）（11）设集合A、B是全集的两个子集，则AB是的（ ）（A）充分不必要条件 B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（12）设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B、，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4第II卷（共90分）二填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.答案须填在题中横线上.（13）某学校共有教师490人，
4、其中不到40岁的有350人，40岁及以上的有140人。为了解普通话在该校教师中的推广普及情况，用分层抽样的方法，从全体教师中抽取一个样本容量为70人的样本进行普通话水平测试，其中在不到40岁的教师中应抽取的人数是 。(14)设双曲线的右焦点为，右准线与两条渐近线交于P、两点，如果是直角三角形，则双曲线的离心率。(15)设、满足约束条件则使得目标函数的最大的点 是 .(16)已知是不同的直线，是不重合的平面，给出下列命题：若ma,则m平行于平面内的任意一条直线若，ma，n，则mn若，则若，ma，则m上面的命题中，真命题的序号是_（写出所有真命题的序号）三解答题：本大题共6小题，共74分.解答写出
5、文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）已知向量m=(cos，sin)和n=(-sin,cos), (x,2),且|m+n|= ，求的值. (18)(本小题满分12分)袋中装有黑球和白球共7个,从中任取2个球都是白球的概率为现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的。（I）求袋中原有的白球的个数；（II）求取球2次终止的概率；（III）求甲取到白球的概率.（19）（本小题满分12分）已知是函数的一个极值点，其中，（I）求与的关系式；（II）求的单调区间；(20)(本小题满分12
6、分)如图，已知长方体直线与平面所成的角为，垂直于，为的中点. （I）求异面直线与所成的角；（II）求平面与平面所成的二面角（锐角）的大小；（III）求点到平面的距离.（21）（本小题满分12分）已知数列的首项前项和为，且（I）证明数列是等比数列；（II）令，求函数在点处的导数。(22)(本小题满分14分)已知动圆过定点，且与直线相切，其中.（I）求动圆圆心的轨迹的方程；（II）设A、B是轨迹上异于原点的两个不同点，直线和的倾斜角分别为和，当变化且时，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标.2005年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）文科数学参考答案一、选择题题号123456789101112
7、答案CCBBDCBADDAB二、填空题 13、50 14、 15、 16、 三.解答题：17. 解法一：m+n=(cos-sin+,cos+sin) |m+n|=。由已知|m+n|=,得又,所以，x2, ，。解法二：|m+n|2=(m+n)2=m2+2mn+n2由已知|m+n|=，得。18.解:(I)设袋中原有个白球,由题意知所以n(n-1)=6,解得n=3（舍去n=-2），即袋中原有3个白球.(II)记“取球2次终止” 的事件为，则。(III) 记“甲取到白球”的事件为，“第次取出的球是白球”的事件为。因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，。因为事件两两互斥，19. 解(I
8、)因为是函数的一个极值点,所以,即，所以.（II）解：由（I）知，=。1 当时，有，当变化时，与的变化如下表：100调调递减极小值单调递增极大值单调递减由上表知，当时，在单调递减，在单调递增，在单调递减。2 当时，有，当变化时，与的变化如下表：100单调递增极大值单调递减极小值单调递增由上表知，当时，在单调递增，在单调递减，在上单调递增。20、解法一：在长方体中，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立如图示空间直角坐标系。如图。由已知可得。又平面，从而与平面所成的角为，又，。从而易得 （I）=。即异面直线所成的角为。（II）易知平面的一个法向量m=(0,1,0).设n=(x，y
9、，z)是平面的一个法向量，由 ，即n=(1,1),cos=即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为（III）点到平面的距离，即在平面的法向量n上的投影的绝对值，所以距离 =所以点到平面的距离为。解法二：（I）连结，过作的垂线，垂足为。与两底面都垂直，又平面因此。为异面直线与所成的角。连结，由FKBDD1B1得，从而 为Rt。在和中，由得，又，。异面直线所成的角为。（II）由于，由作的垂线，垂足为，连结，由三垂线定理知。即为平面与平面所成二面角，且，在平面中，延长与交于点。为的中点，且，分别为的中点，即，为等腰直角三角形，垂足点实为斜边的中点，即重合。易得。在中，。即平面与平面所成的二面角的大小
10、（锐角）为。（III）由（II）知平面是平面与平面所成二面角的平面角所在的平面，面面。在中，由作于，则即为点到平面的距离。由，得。所以点到平面的距离为。21解：（I）由已知 ，两式相减得即,从而.当时.又,从而 .故总有.又,从而 ，即数列是以为首项2为公比的等比数列。（II）由（I）知。从而=-3n2n+1-(2+2n)-=3n2n+1-2n+1+2- =。22、解：（I）如图，设为动圆圆心，为记为，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，所以轨迹方程为。（II）如图，设，由题意得。又直线的倾斜角满足，故。直线的斜率存在，否则，的倾斜角。从而设直线的方程为，显然，将与联立消去，得由韦达定理知 （*）由，得将（*）式代入上式整理化简，得。此时直线的方程可表示为：，即。所以直线恒过定点。