1、北京市西城区2013年高三二模试卷 高三数学（理科） 2013.5第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知全集，集合，那么（A）（B）（C）（D）2在复平面内，复数的对应点是，的对应点是，则（A）（B）（C）（D）3在极坐标系中，圆心为，且过极点的圆的方程是（A）（B）（C）（D）4如图所示的程序框图表示求算式“” 之值， 则判断框内可以填入 （A）（B）（C）（D）5设，则（A） （B）（C）（D）6对于直线，和平面，使成立的一个充分条件是（A），（B），（C），（D），7已知正六边形的边长是，一条抛物线恰
2、好经过该六边形的四个顶点，则抛物线的焦点到准线的距离是（A）（B）（C）（D）8已知函数，其中表示不超过实数的最大整数若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9右图是甲，乙两组各名同学身高（单位：）数据的茎叶图记甲，乙两组数据的平均数依次为和，则 _ （填入：“”，“”，或“”）10的展开式中项的系数是_（用数字作答） 11在中，则_；的面积是_12如图，是半圆的直径，在的延长线上，与半圆相切于点，若，则_13在等差数列中，则_；设，则数列的前项和_ 14已知正数满足，则的取值范围是_三
3、、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点记（）若，求；（）分别过作轴的垂线，垂足依次为记 的面积为，的面积为若，求角的值16（本小题满分13分）某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满300元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止规定摸到红球奖励10元，摸到白球或
4、黄球奖励5元，摸到黑球不奖励（）求1名顾客摸球3次停止摸奖的概率；（）记为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量的分布列和数学期望17（本小题满分14分）如图1，四棱锥中，底面，面是直角梯形，为侧棱上一点该四棱锥的俯视图和侧（左）视图如图2所示 （）证明：平面； （）证明：平面； （）线段上是否存在点，使与所成角的余弦值为？若存在，找到所有符合要求的点，并求的长；若不存在，说明理由 18（本小题满分13分）如图，椭圆的左顶点为，是椭圆上异于点的任意一点，点与点关于点对称（）若点的坐标为，求的值；（）若椭圆上存在点，使得，求的取值范围19（本小题满分14分）已知函数，其中（）若，求曲线在点处的切
5、线方程；（）求在区间上的最大值和最小值20（本小题满分13分）已知集合是正整数的一个排列，函数 对于，定义：，称为的满意指数排列为排列的生成列；排列为排列的母列（）当时，写出排列的生成列及排列的母列；（）证明：若和为中两个不同排列，则它们的生成列也不同；（）对于中的排列，定义变换：将排列从左至右第一个满意指数为负数的项调至首项，其它各项顺序不变，得到一个新的排列证明：一定可以经过有限次变换将排列变换为各项满意指数均为非负数的排列北京市西城区2013年高三二模试卷 高三数学（理科）参考答案及评分标准 2013.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1C； 2B； 3A； 4C； 5
6、D； 6C； 7B； 8B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9； 10； 11，；12； 13，； 14注：11、13题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15（本小题满分13分） （）解：由三角函数定义，得 ， 2分 因为 ， 所以 3分 所以 5分（）解：依题意得 ， 所以 ， 7分 9分 依题意得 ， 整理得 11分因为 ， 所以 ，所以 ， 即 13分16（本小题满分13分）（）解：设“1名顾客摸球3次停止摸奖”为事件， 1分则 ，故1名顾客摸球3次停止摸奖的概率为 4分（）解：随机变量的
7、所有取值为 5分， ， ， 10分所以，随机变量的分布列为: 11分 13分17（本小题满分14分）【方法一】（）证明：由俯视图可得，所以 1分又因为 平面，所以 ， 3分所以 平面 4分（）证明：取上一点，使，连结， 5分由左视图知 ，所以 ，6分在中，易得，所以 又 ， 所以， 又因为 ，所以 ，所以四边形为平行四边形，所以 8分因为 平面，平面， 所以 直线平面 9分（）解：线段上存在点，使与所成角的余弦值为证明如下：10分因为 平面，建立如图所示的空间直角坐标系所以 设 ，其中 11分所以，要使与所成角的余弦值为，则有 ，12分所以 ，解得 或，均适合13分故点位于点处，此时；或中点处
8、，此时，有与所成角的余弦值为 14分 【方法二】（）证明：因为平面，建立如图所示的空间直角坐标系 在中，易得，所以 ，因为 ， 所以， 由俯视图和左视图可得：所以 ，因为 ，所以 2分又因为 平面，所以 ， 3分所以 平面 4分（）证明：设平面的法向量为，则有 因为 ，所以 取，得 6分 因为 ，所以 8分因为 平面， 所以 直线平面 9分（）解：线段上存在点，使与所成角的余弦值为证明如下：10分设 ，其中 11分所以 ，要使与所成角的余弦值为，则有 ，12分所以 ，解得或，均适合 13分故点位于点处，此时；或中点处，此时，有与所成角的余弦值为 14分18（本小题满分13分）（）解：依题意，是
9、线段的中点，因为， 所以 点的坐标为2分由点在椭圆上， 所以 ， 4分解得 5分（）解：设，则 ，且 6分因为 是线段的中点，所以 7分因为 ，所以 8分由 ， 消去，整理得 10分所以 ， 12分当且仅当 时，上式等号成立 所以 的取值范围是 13分19.（本小题满分14分）（）解：的定义域为， 且 2分当时，所以曲线在点处的切线方程为 ，即 4分（）解：方程的判别式为（）当时，所以在区间上单调递增，所以在区间上的最小值是；最大值是 6分（）当时，令，得 ，或 和的情况如下： 故的单调增区间为，；单调减区间为8分 当时，此时在区间上单调递增，所以在区间上的最小值是；最大值是 10分 当时，此
10、时在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以在区间上的最小值是 11分 因为 ， 所以 当时，在区间上的最大值是；当时，在区间上的最大值是 12分 当时，此时在区间上单调递减，所以在区间上的最小值是；最大值是14分综上，当时，在区间上的最小值是，最大值是；当时，在区间上的最小值是，最大值是；当时，在区间上的最小值是，最大值是；当时，在区间上的最小值是，最大值是20.（本小题满分13分）（）解：当时，排列的生成列为； 2分排列的母列为 3分（）证明：设的生成列是；的生成列是与从右往左数，设排列与第一个不同的项为与，即：，显然 ，下面证明： 5分由满意指数的定义知，的满意指数为排列中前项中比小的项的个数减去比大的项的个数由于排列的前项各不相同，设这项中有项比小，则有项比大，从而同理，设排列中有项比小，则有项比大，从而因为 与是个不同数的两个不同排列，且，所以 ， 从而 所以排列和的生成列也不同 8分（）证明：设排列的生成列为，且为中从左至右第一个满意指数为负数的项，所以 9分进行一次变换后，排列变换为，设该排列的生成列为 所以 11分因此，经过一次变换后，整个排列的各项满意指数之和将至少增加因为的满意指数，其中，所以，整个排列的各项满意指数之和不超过，即整个排列的各项满意指数之和为有限数，所以经过有限次变换后，一定会使各项的满意指数均为非负数 13分
