1、第2讲空间中的平行与垂直1.(2016课标全国甲)，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等.其中正确的命题有_.(填写所有正确命题的编号)答案解析当mn，m，n时，两个平面的位置关系不确定，故错误，经判断知均正确，故正确答案为.2.(2016江苏) 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求证：(1)直线DE平面A1C1F；(2)平面B1DE平面A1C1F.证明(1)由已知，DE为ABC的中位线，D
2、EAC，又由三棱柱的性质可得ACA1C1，DEA1C1，且DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1平面A1B1C1，AA1A1C1，又A1B1A1C1，且A1B1AA1A1，A1C1平面ABB1A1，B1D平面ABB1A1，A1C1B1D，又A1FB1D，且A1FA1C1A1，B1D平面A1C1F，又B1D平面B1DE，平面B1DE平面A1C1F.1.以填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合
3、命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等.热点一空间线面位置关系的判定空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题；(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断.例1(1)已知l是直线，、是两个不同的平面，下列命题中的真命题是_.(填所有真命题的序号) 若l，l，则；若，l，则l；若l，则l；若l，l，则 .(2)设，为两个不重合的平面，m，n为两条不重合的直线，给出下列四个命题：若mn，m，n，则n；若mn，m，n，则；若，m，n，nm，则n；若n，m，
4、与相交且不垂直，则n与m一定不垂直.其中，所有真命题的序号是_.答案(1)(2)解析(1)若l，l，则l可平行两平面的交线，所以为假命题；若，l，则l可平行两平面的交线，所以为假命题；若l，则l可在平面内，所以为假命题；若l，l，则l必平行平面内一直线m，所以m，因而为真命题.(2)中两平面，平行或垂直；中两直线可能相交，平行或异面，可能出现异面直线垂直的情况；由线面垂直平行的判定与性质可知结论正确.思维升华解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模
5、型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中.跟踪演练1设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题：若mn，m，则n；若m，m，则；若mn，m，则n；若m，m，则.其中真命题的个数为_.答案解析因为“如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面”，所以正确；当m平行于两个相交平面，的交线l时，也有m，m，所以错误；若mn，m，则n或n，所以错误；平面，与直线m的关系如图所示，必有，故正确.热点二空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化.例2如图，在四
6、棱锥PABCD中，ABDC，ADDCAB，M是线段PA的中点.(1)求证：DM平面PCB；(2)若ADAB，平面PAC平面PBC，求证：PABC.证明(1)如图，取PB中点N，连结CN，MN.因为M是线段PA的中点，所以MNAB，MNAB，因为DCAB，CDAB，所以MNDC，MNCD，所以四边形CDFM为平行四边形，所以CNDM，因为CN平面PCB，DM平面PCB，所以DM平面PCB.(2)连结AC，在四边形ABCD中，因为ADAB，CDAB，所以ADCD，设ADa，因为ADDCAB，所以CDa，AB2a，在ADC中，ADC90，ADDC，所以DCADAC45，从而ACa，CAB45，在AC
7、B中，AB2a，ACa，CAB45，所以BCa，所以AC2BC2AB2，即ACBC.在平面PAC中，过点A作AEPC，垂足为E，因为平面PAC平面PBC，所以AE平面PBC，又因为BC平面PBC，所以AEBC，因为AE平面PAC，AC平面PAC，所以BC平面PAC.因为PA平面PAC，所以PABC.思维升华垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：(1)证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.(2)证明线线垂直常用的方法：利用等
8、腰三角形底边中线即高线的性质；勾股定理；线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即可，l，ala.跟踪演练2如图，在四棱锥PABCD中，ADBC，且BC2AD，ADCD，PBCD，点E在棱PD上，且PE2ED.(1)求证：平面PCD平面PBC；(2)求证：PB平面AEC.证明(1)因为ADCD，ADBC，所以CDBC，又PBCD，PBBCB，PB平面PBC，BC平面PBC，所以CD平面PBC，又CD平面PCD，所以平面PCD平面PBC.(2)连结BD交AC于点O，连结OE.因为ADBC，所以ADOCBO，所以DOOBADBC12，又PE2ED，所以OEPB，又OE平面
9、AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.热点三平面图形的折叠问题平面图形经过翻折成为空间图形后，原有的性质有的发生变化、有的没有发生变化，这些发生变化和没有发生变化的性质是解决问题的关键.一般地，在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化，解决这类问题就是要根据这些变与不变，去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值，这是化解翻折问题的主要方法.例3如图，在边长为4的菱形ABCD中，DAB60，点E，F分别是边CD，CB的中点，ACEFO，沿EF将CEF翻折到PEF，连结PA，PB，PD，得到如图的五棱锥PABFED，且PB.(1)求证：BDPA；
10、(2)求四棱锥PBFED的体积.(1)证明点E，F分别是边CD，CE的中点，BDEF.菱形ABCD的对角线互相垂直，BDAC.EFAC.EFAO，EFPO，AO平面POA，PO平面POA，AOPOO，EF平面POA，BD平面POA，又PA平面POA，BDPA.(2)解设AOBDH.连结BO，DAB60，ABD为等边三角形，BD4，BH2，HA2，HOPO，在RtBHO中，BO，在PBO中，BO2PO210PB2，POBO.POEF，EFBOO，EF平面BFED，BO平面BFED，PO平面BFED，梯形BFED的面积S(EFBD)HO3，四棱锥PBFED的体积VSPO33.思维升华(1)折叠问题
11、中不变的数量和位置关系是解题的突破口；(2)存在探索性问题可先假设存在，然后在此前提下进行逻辑推理，得出矛盾或肯定结论.跟踪演练3如图1，在RtABC中，ABC60，BAC90，AD是BC上的高，沿AD将ABC折成60的二面角BADC，如图2.(1)证明：平面ABD平面BCD；(2)设点E为BC的中点，BD2，求异面直线AE和BD所成角的大小.(1)证明因为折起前AD是BC边上的高，则当ABD折起后，ADCD，ADBD，又CDBDD，则AD平面BCD.因为AD平面ABD，所以平面ABD平面BCD.(2)解如图，取CD的中点F，连结EF，则EFBD，所以AEF为异面直线AE与BD所成的角.连结A
12、F，DE，又BD2，则EF1，AD2，CD6，DF3.在RtADF中，AF.在BCD中，由题设BDC60，则BC2BD2CD22BDCDcosBDC28，即BC2，从而BEBC，cosCBD，在BDE中，DE2BD2BE22BDBEcosCBD13，在RtADE中，AE5.在AEF中，cosAEF.因为两条异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线AE与BD所成角的大小为60.1.不重合的两条直线m，n分别在不重合的两个平面，内，给出以下四个命题，其中正确的是_.mnm mnm mn押题依据空间两条直线、两个平面之间的平行与垂直的判定是立体几何的重点内容，也是高考命题的热点.此类题常与命题的真
13、假性、充分条件和必要条件等知识相交汇，意在考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力.答案解析构造长方体，如图所示.因为A1C1AA1，A1C1平面AA1C1C，AA1平面AA1B1B，但A1C1与平面AA1B1B不垂直，平面AA1C1C与平面AA1B1B不垂直.所以，都是假命题.CC1AA1，但平面AA1C1C与平面AA1B1B相交而不平行，所以为假命题.“若两平面平行，则一个平面内任何一条直线必平行于另一个平面”是真命题.2.如图1，在正ABC中，E，F分别是AB，AC边上的点，且BEAF2CF.点P为边BC上的点，将AEF沿EF折起到A1EF的位置，使平面A1EF平面BEFC，连结A1B，A1
14、P，EP，如图2所示.(1)求证：A1EFP；(2)若BPBE，点K为棱A1F的中点，则在平面A1FP上是否存在过点K的直线与平面A1BE平行，若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由.押题依据以平面图形的翻折为背景，探索空间直角与平面位置关系的考题创新性强，可以考查考生的空间想象能力和逻辑推理能力，预计将成为今年高考的命题形式.(1)证明在正ABC中，取BE的中点D，连结DF，如图所示.因为BEAF2CF，所以AFAD，AEDE，而A60，所以ADF为正三角形.又AEDE，所以EFAD.所以A1EEF，BEEF.故A1EB为二面角A1EFB的一个平面角.因为平面A1EF平面BEFC，所以A1
15、EB90，即A1EEB.因为EFEBE，所以A1E平面BEFC.因为FP平面BEFC，所以A1EFP.(2)解在平面A1FP上存在过点K的直线与平面A1BE平行.理由如下：在正ABC中，因为BPBE，BEAF，所以BPAF，所以FPAB，所以FPBE.如图，取A1P的中点M，连结MK，因为点K为棱A1F的中点，所以MKFP.因为FPBE，所以MKBE.因为MK平面A1BE，BE平面A1BE，所以MK平面A1BE.故在平面A1FP上存在过点K的直线MK与平面A1BE平行.A组专题通关1.如图是正方形的平面展开图，在这个正方体中：BM与DE平行；CN与BE是异面直线；BM与CN成60角；DM与BN
16、是异面直线.以上四个命题中，正确命题的序号是_.答案解析展开图复原的正方体如图，不难看出：BM与ED平行；错误的，是异面直线；CN与BE是异面直线，错误，是平行线；CN与BM成60角；正确；DM与BN是异面直线.正确.判断正确的答案为.2.(2016南昌模拟)设a，b是平面内两条不同的直线，l是平面外的一条直线，则“la，lb”是“l”的_条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案必要不充分解析若a，b是平面内两条不同的直线，l是平面外的一条直线，la，lb，ab，则l可以与平面斜交，推不出l.若l，a，b是平面内两条不同的直线，l是平面外的一条直线，则la，l
17、b.“la，lb”是“l”的必要不充分条件.3.已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同直线，l，m.给出下列命题：lm；lm；ml；lm.其中正确的命题是_. (填写所有正确命题的序号).答案解析，lllm，命题正确；，ll、m可平行，可相交，可异面，命题错误；m，llml与可平行，l可在内，l可与相交，命题错误； l、lm，命题正确.4.已知立方体ABCDABCD，E，F，G，H分别是棱AD，BB，BC，DD的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面ABD平行的有_条.答案6解析连结EG，EH，FG，EH綊FG，EFGH四点共面，由EGAB，EHAD，EGEHE，ABADA，可得平面EFGH
18、与平面ABD平行，符合条件的共6条.5.在正方体上任意选择4个顶点，由这4个顶点可能构成如下几何体：有三个面为全等的等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体；有三个面为不全等的直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体.以上结论其中正确的是_(写出所有正确结论的编号).答案解析在正方体上任意选择4个顶点，由这4个顶点可能构成如下几何体：有三个面为全等的等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，去掉4个角的正四面体即可，正确；每个面都是等边三角形的四面体，去掉4个角的正四面体即可，正确；每个面都是直角三角形的四面体，侧棱垂直底面直
19、角三角形的锐角的四面体即可，正确；有三个面为不全等的直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如图中ABCD即可，正确.故答案为.6.如图，在空间四边形ABCD中，点MAB，点NAD，若，则直线MN与平面BDC的位置关系是_.答案平行解析由，得MNBD.而BD平面BDC，MN平面BDC，所以MN平面BDC.7.正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是_.(填序号)ACBE；B1E平面ABCD；三棱锥EABC的体积为定值；直线B1E直线BC1.答案解析因AC平面BDD1B1，故正确；因B1D1平面ABCD，故正确；记正方体的体积为V，则VEABCV，为
20、定值，故正确；B1E与BC1不垂直，故错误.8. 如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ_.答案a解析平面ABCD平面A1B1C1D1，MNPQ.M、N分别是A1B1、B1C1的中点，AP，CQ，从而DPDQ，PQa.9.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N，P分别为棱AB，BC，C1D1的中点.求证：(1)AP平面C1MN；(2)平面B1BDD1平面C1MN.证明(1)在正方体ABCDA1B1C1D1中，因为点M，P分别为棱AB，
21、C1D1的中点，所以AMPC1.又AMCD，PC1CD，故AMPC1，所以四边形AMC1P为平行四边形.从而APC1M，又AP平面C1MN，C1M平面C1MN，所以AP平面C1MN.(2)连结AC，在正方形ABCD中，ACBD.又点M，N分别为棱AB，BC的中点，故MNAC.所以MNBD.在正方体ABCDA1B1C1D1中，DD1平面ABCD，又MN平面ABCD，所以DD1MN，而DD1DBD，DD1，DB平面B1BDD1，所以MN平面B1BDD1，又MN平面C1MN，所以平面B1BDD1平面C1MN.10.(教材改编)如图，在矩形ABCD中，AB2，AD1，E是CD的中点，以AE为折痕将DA
22、E向上折起，使D为D，且平面DAE平面ABCE.(1)求证：ADEB；(2)求直线AC与平面ABD所成角的正弦值.(1)证明在RtBCE中，BE，在RtADE中，AE，AB222BE2AE2，AEBE.平面AED平面ABCE，且交线为AE，BE平面AED.AD平面AED，ADBE.(2)设AC与BE相交于点F，由(1)知ADBE，ADED，AD平面EBD，AD平面AED，平面ABD平面EBD，且交线为BD，如图所示，作FGBD，垂足为G，则FG平面ABD，连结AG，则FAG是直线AC与平面ABD所成的角.由平面几何的知识可知，EFEB.在RtAEF中，AF ，在RtEBD中，可求得FG.sin
23、FAG.直线AC与平面ABD所成角的正弦值为.B组能力提高11.，是两平面，AB，CD是两条线段，已知EF，AB于B，CD于D，若增加一个条件，就能得出BDEF，现有下列条件：AC；AC与CD在内的射影在同一条直线上；ACEF.其中能成为增加条件的序号是_.答案解析由题意得，ABCD，A，B，C，D四点共面，：AC，EF，ACEF，又AB，EF，ABEF，ABACA，EF面ABCD，又BD面ABCD，BDEF，故正确；：由AC与CD在内的射影在同一条直线上可知面EFAC，由可知正确；错误，故填：.12. 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面是以ABC为直角的等腰直角三
24、角形，AC2a，BB13a，点D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面B1DF.答案a或2a解析由题意易知，B1D平面ACC1A1，所以B1DCF.要使CF平面B1DF，只需CFDF即可.令CFDF，设AFx，则A1F3ax.易知RtCAFRtFA1D，得，即，整理得x23ax2a20，解得xa或x2a.13.如图，正方形BCDE的边长为a，已知ABBC，将ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，对翻折后的几何体有如下描述：AB与DE所成角的正切值是；ABCE；VBACE是a3；平面ABC平面ADC.其中正确的是_.(填写你认为正确的序号)答案解析作出折
25、叠后的几何体的直观图如图所示：ABa，BEa，AEa.ADa，ACa.在ABC中，cosABC.sinABC.tanABC.BCDE，ABC是异面直线AB，DE所成的角，故正确.连结BD，CE，则CEBD，又AD平面BCDE，CE平面BCDE，CEAD，又BDADD，BD平面ABD，AD平面ABD，CE平面ABD，又AB平面ABD，CEAB.故错误.三棱锥BACE的体积VSBCEADa2a，故正确.AD平面BCDE，BC平面BCDE，BCAD，又BCCD，ADCDD，BC平面ACD，BC平面ABC，平面ABC平面ACD.故答案为.14. 在等腰梯形ABCD中，ABCD，ADDCa，ABC60，
26、平面ACEF平面ABCD，四边形ACEF是平行四边形，点M在线段EF上.(1)求证：BC平面ACEF；(2)当FM为何值时，AM平面BDE？证明你的结论.(1)证明在等腰梯形ABCD中，ABCD，ADDCa，ABC60，ADC是等腰三角形，且BCDADC120，DCADAC30，ACB90，即BCAC.又平面ACEF平面ABCD，平面ACEF平面ABCDAC，BC平面ABCD，BC平面ACEF.(2)解当FMa时，AM平面BDE.证明如下：设ACBDN，连结EN，如图.ACB90，ABC60，BCa，ACa，AB2a，CNNA12，四边形ACEF是平行四边形，EFACa.AM平面BDE，AM平面ACEF，平面ACEF平面BDENE，AMNE，四边形ANEM为平行四边形，FMME12，FMFEAC.当FMa时，AM平面BDE.