1、第 1 讲 函数与方程思想思想方法解读 1.函数与方程思想的含义(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法2函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数 yf(x)，当 y0 时，就化为不等式 f(x)0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不
2、等式(2)数列的通项与前 n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决这都涉及二次方程与二次函数的有关理论(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切体验高考1(2015湖南)已知函数 f(x)x3，xa，x2，xa，若存在实数 b，使函数 g(x)f(x)b 有两个零点，则 a 的取值范围是_答案(，0)(1，)解析 函数 g(x)有两个零点，即方程 f(x)b0 有两个不等实根，则函数 yf(x)和 yb 的图
3、象有两个公共点若 aa 时，f(x)x2，函数先单调递减后单调递增，f(x)的图象如图(1)实线部分所示，其与直线 yb 可能有两个公共点若 0a1，则 a3a2，函数 f(x)在 R 上单调递增，f(x)的图象如图(2)实线部分所示，其与直线 yb 至多有一个公共点若 a1，则 a3a2，函数 f(x)在 R 上不单调，f(x)的图象如图(3)实线部分所示，其与直线 yb 可能有两个公共点综上，a1.2(2015安徽)设 x3axb0，其中 a，b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是_(写出所有正确条件的编号)a3，b3；a3，b2；a3，b2；a0，b2；a1，b2.答案
4、 解析 令 f(x)x3axb，f(x)3x2a，当 a0 时，f(x)0，f(x)单调递增，必有一个实根，正确；当 a0 时，由于选项当中 a3，只考虑 a3 这一种情况，f(x)3x233(x1)(x1)，f(x)极大f(1)13bb2，f(x)极小f(1)13bb2，要有一根，f(x)极大0，b2，正确，错误所有正确条件为.高考必会题型题型一 利用函数与方程思想解决图象交点或方程根等问题例 1(2016天津改编)已知函数 f(x)x24a3x3a，x0，且 a1)在 R 上单调递减，且关于 x 的方程|f(x)|2x 恰有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是_答案 13，23 34解
5、析 由 yloga(x1)1 在0，)上递减，得 0a2，即 a23时，由 x2(4a3)x3a2x(其中 x0)，得 x2(4a2)x3a20(其中 xf(x)，且 f(0)1，则不等式fxex 1 的解集为_答案(0，)解析 构造函数 g(x)fxex，则 g(x)exfxexfxex2fxfxex.由题意得 g(x)0 恒成立，所以函数 g(x)fxex 在 R 上单调递减又 g(0)f0e0 g(0)，所以fxex 1，即 g(x)0，所以不等式的解集为(0，)点评 不等式恒成立问题的处理方法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题
6、同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数变式训练 2 已知 f(x)log2x，x2,16，对于函数 f(x)值域内的任意实数 m，使 x2mx42m4x 恒成立的实数 x 的取值范围为_答案(，2)(2，)解析 x2,16，f(x)log2x1,4，即 m1,4不等式 x2mx42m4x 恒成立，即为 m(x2)(x2)20 恒成立，设 g(m)(x2)m(x2)2，则此函数在1,4上恒大于 0，所以g10，g40，即x2x220，4x2x220，解得 x2.题型三 函数与方程思想在
7、数列中的应用例 3 已知数列an是首项为 2，各项均为正数的等差数列，a2，a3，a41 成等比数列，设bn 1Sn1 1Sn2 1S2n(其中 Sn 是数列an的前 n 项和)，若对任意 nN*，不等式 bnk 恒成立，求实数 k 的最小值解 因为 a12，a23a2(a41)，又因为an是正项等差数列，故 d0，所以(22d)2(2d)(33d)，得 d2 或 d1(舍去)，所以数列an的通项公式 an2n.因为 Snn(n1)，所以 bn 1Sn1 1Sn2 1S2n1n1n21n2n312n2n1 1n1 1n2 1n2 1n3 12n12n1 1n112n1n2n23n112n1n3
8、.令 f(x)2x1x(x1)，则 f(x)21x2，当 x1 时，f(x)0 恒成立，所以 f(x)在1，)上是增函数，故当 x1 时，f(x)minf(1)3，即当 n1 时，(bn)max16，要使对任意的正整数 n，不等式 bnk 恒成立，则须使 k(bn)max16，所以实数 k 的最小值为16.点评 数列问题函数(方程)化法数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中 n 的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤为：第一步：分析数列式子的结构特征第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式第三步：研究函数性质结合解决问
9、题的需要，研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究第四步：回归问题结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题变式训练 3(2016杭州模拟)设 Sn 为等差数列an的前 n 项和，(n1)SnnSn1(nN*)若a8a71，则 Sn 的最小值是_答案 S7解析 由条件得Snn Sn1n1，即na1an2nn1a1an12n1，所以 anan1，所以等差数列an为递增数列又a8a71，所以 a80，a70，即数列an前 7 项均小于 0，第 8 项大于零，所以 Sn 的最小值为 S7.题型四 函数与方程思想在解析几何中的应用例 4 椭圆 C 的中心为坐标原点 O，焦点
10、在 y 轴上，短轴长为 2，离心率为 22，直线 l 与 y轴交于点 P(0，m)，与椭圆 C 交于相异两点 A，B，且AP3PB.(1)求椭圆 C 的方程；(2)求 m 的取值范围解(1)设椭圆 C 的方程为y2a2x2b21(ab0)，设 c0，c2a2b2，由题意，知 2b 2，ca 22，所以 a1，bc 22.故椭圆 C 的方程为 y2x2121，即 y22x21.(2)当直线 l 的斜率不存在时，也满足AP3PB，此时 m12.当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 ykxm(k0)，l 与椭圆 C 的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由ykxm，2x2y21
11、，得(k22)x22kmx(m21)0，(2km)24(k22)(m21)4(k22m22)0，(*)x1x22kmk22，x1x2m21k22.因为AP3PB，所以x13x2，所以x1x22x2，x1x23x22.则 3(x1x2)24x1x20，即 32kmk2224m21k220，整理得 4k2m22m2k220，即 k2(4m21)2m220，当 m214时，上式不成立；当 m214时，k222m24m21，由(*)式，得 k22m22，又 k0，所以 k222m24m210，解得1m12或12m0 或 0 中，即可求出目标参数的取值范围第五步：回顾反思在研究直线与圆锥曲线的位置关系问
12、题时，无论题目中有没有涉及求参数的取值范围，都不能忽视了判别式对某些量的制约变式训练 4 已知点 F1(c,0)，F2(c,0)为椭圆x2a2y2b21(ab0)的两个焦点，点 P 为椭圆上一点，且PF1 PF2 c2，则此椭圆离心率的取值范围是_答案 33，22解析 设 P(x，y)，则PF1 PF2(cx，y)(cx，y)x2c2y2c2，将 y2b2b2a2x2 代入式，解得 x22c2b2a2c23c2a2a2c2，又 x20，a2，2c2a23c2，eca33，22.高考题型精练1关于 x 的方程 3xa22a 在(，1上有解，则实数 a 的取值范围是_答案 3，2)(0,1解析 当
13、 x(，1时，3x(0,3，要使 3xa22a 有解，a22a 的值域必须为(0,3，即 00，F(x)在(，1)上递减，在(1，)上递增，F(x)的最小值为 F(1)11e，所以 a11e.所以实数 a 的最小值为 11e.3已知 f(x)x24x4，f1(x)f(x)，f2(x)f(f1(x)，fn(x)f(fn1(x)，函数 yfn(x)的零点个数记为 an，则 an_.答案 2n1解析 f1(x)x24x4(x2)2，有 1 个零点 2，由 f2(x)0 可得 f1(x)2，则 x2 2或 x2 2，即 yf2(x)有 2 个零点，由 f3(x)0 可得 f2(x)2 2或 2 2，则
14、(x2)22 2或(x2)22 2，即 yf3(x)有 4 个零点，以此类推可知，yfn(x)的零点个数 an2n1.4已知函数 f(x)ln x14x 34x1，g(x)x22bx4，若对任意 x1(0,2)，x21,2，不等式 f(x1)g(x2)恒成立，则实数 b 的取值范围为_答案，142解析 问题等价于 f(x)ming(x)max.f(x)ln x14x 34x1，所以 f(x)1x14 34x24xx234x2，令 f(x)0 得 x24x30，解得 1x3，故函数 f(x)的单调递增区间是(1,3)，单调递减区间是(0,1)和(3，)，故在区间(0,2)上，x1 是函数的极小值
15、点，这个极小值点是唯一的，故也是最小值点，所以 f(x)minf(1)12.由于函数 g(x)x22bx4，x1,2当 b2 时，g(x)maxg(2)4b8.故问题等价于b2，124b8.解第一个不等式组得 b2，x2 2x，得 2 22x0，a10，解得 a1.7设函数 f(x)ln x ax1(a 为常数)(1)若曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线与 x 轴平行，求实数 a 的值；(2)若函数 f(x)在(e，)内有极值，求实数 a 的取值范围解(1)函数 f(x)的定义域为(0,1)(1，)，由 f(x)ln x ax1得 f(x)1xax12，由于曲线 yf(x)在点(2，f
16、(2)处的切线与 x 轴平行，所以 f(2)0，即12a2120，所以 a12.(2)因为 f(x)1xax12x22ax1xx12，若函数 f(x)在(e，)内有极值，则函数 yf(x)在(e，)内有异号零点令(x)x2(2a)x1，设 x2(2a)x1(x)(x)，可知 1，不妨设，则(0,1)，(1，)，若函数 yf(x)在(e，)内有异号零点，即 y(x)在(e，)内有异号零点，所以 e，(x)的图象如图所示由(x)的图象可知(e)e2(2a)e1e1e2，所以实数 a 的取值范围是(e1e2，)8已知 f(x)exax1.(1)求 f(x)的单调增区间；(2)若 f(x)在定义域 R
17、 内单调递增，求 a 的取值范围解(1)f(x)exax1(xR)，f(x)exa.令 f(x)0，得 exa，当 a0 时，f(x)0 在 R 上恒成立；当 a0 时，有 xln a.综上，当 a0 时，f(x)的单调增区间为(，)；当 a0 时，f(x)的单调增区间为(ln a，)(2)由(1)知 f(x)exa.f(x)在 R 上单调递增，f(x)exa0 在 R 上恒成立，即 aex 在 R 上恒成立当 xR 时，ex0，a0，即 a 的取值范围是(，09已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的一个顶点为 A(2,0)，离心率为 22，直线 yk(x1)与椭圆 C 交于不同的两点
18、M，N.(1)求椭圆 C 的方程；(2)当AMN 的面积为 103 时，求 k 的值解(1)由题意得a2，ca 22，a2b2c2，解得 b 2.所以椭圆 C 的方程为x24y221.(2)由ykx1，x24y221，得(12k2)x24k2x2k240.设点 M，N 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 x1x2 4k212k2，x1x22k2412k2.所以 MN x2x12y2y12 1k2x1x224x1x22 1k246k212k2.又因为点 A(2,0)到直线 yk(x1)的距离 d|k|1k2，所以AMN 的面积为 S12MNd|k|46k212k2.由|k|46k21
19、2k2 103，解得 k1.所以 k 的值为 1 或1.10已知等比数列an满足 2a1a33a2，且 a32 是 a2，a4 的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)若 bnanlog21an，Snb1b2bn，求使 Sn2n1470 成立的正整数 n 的最小值解(1)设等比数列an的首项为 a1，公比为 q，依题意，有2a1a33a2，a2a42a32，即a12q23a1q，a1qq32a1q24.由得 q23q20，解得 q1 或 q2.当 q1 时，不合题意舍去；当 q2 时，代入得 a12，所以 an22n12n.(2)bnanlog21an2nlog212n2nn.所以 Sn212222332nn(222232n)(123n)212n12 n1n22n1212n12n2.因为 Sn2n1470，所以 2n1212n12n22n1470，解得 n9 或 n10.因为 nN*，故使 Sn2n1470 成立的正整数 n 的最小值为 10.