1、12.1 全等三角形（刘翔）一、教学目标（一）学习目标1认识全等形、全等三角形的概念和全等三角形的对应元素；2理解寻找全等三角形中对应元素的方法；3掌握三角形全等变换方式和性质，利用全等三角形的性质解决简单的问题（二）学习重点全等三角形的概念、性质（三）学习难点掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，能迅速正确地指出两个三角形的对应元素.二、教学设计（一）课前设计1预习任务能够完全重合的两个图形叫做全等形；完全重合的两个三角形叫做全等三角形；一个图形经过平移、翻折、旋转后位置变化了，但形状大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等；把两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫做对应顶点
2、，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角；全等三角形的对应边相等，对应角相等2预习自测（1）下列各图形中，不是全等图形的是()【知识点】全等图形【解题过程】解：A两个图形不能重合，不是全等图形；B、C、D两个图形都能重合，是全等图形故选A【思路点拨】能够完全重合的两个图形叫做全等形，由此可判断各选项【答案】A（2）下列四个汽车标志图案中，不存在全等图形的标志图案是()【知识点】全等图形【解题过程】解：A、B、D存在全等图形、C不存在全等图形故选C【思路点拨】能够完全重合的两个图形叫做全等形，由此可判断各选项【答案】C（3）如图，ABCDEF，B60，则E的度数为（ ）A30 B45 C60 D
3、90【知识点】全等三角形的性质【解题过程】解：ABCDEF，B=E=60；故选：C【思路点拨】全等三角形对应角相等【答案】C（4）如图，ABCDEF，BE4，AE1，则DE的长是（ ）A5 B4 C3 D2【知识点】全等三角形的性质【解题过程】解：ABCDEF，AB=DE；BE4，AE1AB=DE=4+1=5故选：A【思路点拨】全等三角形对应边相等【答案】A(二)课堂设计1知识回顾（1）三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形（2）一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变2问题探究探究一：全等形、全等三角形的概念.活动回顾旧知，回忆构成三角形的元素学
4、生活动：(1)三个顶点；(2)三条边；(3)三个内角【设计意图】通过对旧知识的复习，为新知识的学习作铺垫.活动整合旧知，探究全等形、全等三角形的概念.问题1：一位哲人曾经说过：“世界上没有两片完全相同的叶子”，但是在我们的周围却有着好多形状、大小完全相同的图案。你能举出这样的例子吗？学生活动：(1)举手抢答.(2)学生自己裁剪、粘贴出形状大小、且能完全重合的三角形、四边形、正五边形、等任意图形自己观察？问题2：下面的图形中，形状和大小完全相同的图形有哪几对？生答：1和6，3和7，4和9.CBAB1C1A1EDABCBCEDA问题3：判断两个图形的形状和大小是否完全相同，可以通过运动把两个图形叠
5、在一起，看它们是否重合吗？追问：这里“运动”指哪些:总结：能够完全重合的两个图形叫做全等形；完全重合的两个三角形叫做全等三角形；一个图形经过平移、翻折、旋转后位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等；【设计意图】鼓励学生独立自主解决问题，让学生初步感受通过动手操作来掌握几何知识的相关概念，引导学生由观察得到的感性认识，思考满足全等图形条件，寻求解决问题的方法。探究二：全等三角形的对应元素以及寻找全等三角形中对应元素的方法. 活动大胆猜想，探究新知识观察这两个三角板，小组讨论，有何发现？记作:ABCDEF读作 :ABC全等于DEF把两个全等三角形重合在一起，重合的顶点
6、，叫做对应顶点，重合的边，叫做对应边，重合的角叫做对应角.老师通过多媒体展示两图形的动态重合过程，以及对应点、对应角的位置【设计意图】老师综合学生的疑惑，把有意义的问题归纳，并展示出来活动集思广益，寻找对应元素的方法如图，已知ABC与EBD全等，请指出其中的对应角和对应边让学生找出对应角和对应边.教师活动：你是怎样想的？总结：找对应元素的常用方法有两种：(一)从运动角度看1翻折法：找到中心线，沿中心线翻折后能相互重合，从而发现对应元素2旋转法：三角形绕某一点旋转一定角度能与另一个三角形重合，从而发现对应元素3平移法：沿某一方向平移使两个三角形重合来找对应元素(二)根据位置元素来推理1全等三角形
7、对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边2全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角3. 还可用如下规律确定常见全等三角形的对应边和对应角：类型图例说明有公共边公共边是对应边，如图，ABCBAD， AB是公共边，AB与BA是对应边有公共角公共角是对应角，如图，ABCADE， A是公共角，则BAC与DAE是对应角对顶角对顶角是对应角，如图，ABCADE，CAB与EAD是对顶角，故它们是对应角最长（短）与最长（短）边，最大（小）角与最大（小）角两个全等三角形中，一对最长（短）边是对应边，一对最大（小）角是对应角，如图，ABCABC， AC与AC为最长边，AB与AB为最短
8、边，它们分别是对应边；B与B是最大角，C与C是最小角，它们分别是对应角【设计意图】快速准确找全等三角形对应边、对应角的方法是精华.探究三：全等三角形的性质，利用全等三角形的性质解决简单的问题. 活动全等三角形的性质问题1：通过前面的探究，我们知道全等三角形有哪些性质?全等三角形的对应边相等，对应角相等问题2：利用全等三角形的性质可以解决一些怎样的问题?1. 根据三角形全等，可以证明线段相等，角相等；2. 根据三角形全等，求边长或角度例1 用同样粗细，同样材料的金属粗线构制两个全等三角形，如图所示，ABC和DEF，已知BE，AC的质量为25千克，求DF的质量【知识点】全等三角形的性质【解题过程】
9、因为ABCDEF，BE，所以B与E是对应角所以AC与DF为对应边故有ACDF.又因为AC的质量为25千克，所以 DF的质量为25千克【思路点拨】因为构成三角形的金属线是同样粗细，同种材料，又长度相等，故质量相等【答案】DF的质量为25千克练习：如图所示，ABCDCB，则观察图形一定有下列关系成立：(1)AB_，AC_；(2)A_，ABC_，ACB_【知识点】全等三角形的性质【解题过程】ABCDCBABDC，ACDB；AD，ABCDCB，ACBDBC【思路点拨】全等三角形的对应边相等，对应角相等【答案】(1)DC，DB (2)D ，DCB ，DBC【设计意图】通过练习，掌握全等三角形的性质活动2
10、例2如图，ABCDEF，ABDE，ACDF，且点B，E，C，F在同一条直线上(1)求证：BECF，ACDF；(2)若DF90，试判断AB与BC的位置关系【知识点】全等三角形的性质、等式性质、平行线的性质、垂线的性质【解题过程】（1）证明：ABCDEF，BCEF，ACBDFE，BCECEFEC，ACDFBECF.（2）解：结论：ABBC.证明：ABCDEF，AD，ACBFDF90AACB90B90ABBC.【思路点拨】利用全等三角形的对应边相等，对应角相等【答案】(2)结论：ABBC.练习：如图，AM平分CAD，CN平分ACB，ACBCAD，请你判断AM和CN的位置关系，并说明理由【知识点】全等
11、三角形的性质【解题过程】解： AMCN.理由：ACBCAD，ACBCAD.AM和CN分别平分CAD和ACB，ACNACB，CAMCAD.ACNCAM.AMCN.【思路点拨】利用全等三角形的对应角相等，角平分线的定义可知两小角相等，再由平行线的判定得平行.【答案】AMCN.【设计意图】考查运用三角形全等的性质进行简单推理的能力，体会证明过程的规范性.活动3例3 在ABC中，点A的坐标为(1，1)，点C的坐标为(2，2)，点B的坐标为(5，1)，如果ABD与ABC全等，求点D的坐标【知识点】全等三角形性质的应用【解题过程】解：当ABCABD时，D坐标为（2，0）；当ABCBAD时，D坐标为（4，0
12、）；当ABCBAD时，D坐标为（4，2）；故点D坐标是（2，0）或（4，0）或（4，2）【思路点拨】利用全等三角形的对应边相等，对应角相等解此题的关键是能根据题意化成符合条件的所有图形【答案】点D坐标是（2，0）或（4，0）或（4，2）练习： 如图，ABC的顶点A，B，C都在小正方形的顶点上，像这样的三角形叫做格点三角形，试在下面55的方格纸上按下列要求画出格点三角形(1)所画的三角形与ABC全等且有1个公共顶点；(2)所画的三角形与ABC全等且有1条公共边；(3)探索与ABC全等且有公共边AB的格点三角形共有多少个【知识点】全等三角形性质的应用【解题过程】（1）如图；（2）如图；（3） 根据
13、C点的不同方向可以有三个以AB为边的格点三角形与ABC全等，如图，图，图：【思路点拨】（1）所画的三角形与ABC全等且有1个公共顶点，也就是说画出的三角形可以分别与A、B或C三点为顶点作一个与ABC全等的三角形即可；（2）所画的三角形与ABC全等且有1个公共边，也就是说所作出的与ABC全等的三角形只要与AC、AB或BC重合便可；（3）可以C点不同的方向分析得出答案，当C点在线段AB的左上方时，左下方时，右下方时，右上方时进行分析.【答案】解：（1）如图；（2）如图；(3)3个【设计意图】通过画图，训练学生思维的多样性，有利于提高学生综合运用条件推理、考虑问题全面的能力.3. 课堂总结知识梳理（
14、1）能够完全重合的两个图形是全等形，能够完合重合的两个三角形是全等三角形（2）全等三角形的表示方法：全等用符号“”表示，读作“全等于”（3）全等三角形的有关概念：对应顶点、对应边、对应角.（4）全等三角形的对应边相等，对应角相等重难点归纳（1）能够完合重合的两个三角形是全等三角形（2）全等三角形的对应边相等，对应角相等（3）找对应元素的常用方法有两种：(一)从运动角度看，(二)根据位置元素来推理.（三）课后作业基础型 自主突破1一个图形经过平移后，发生变化的是（）A形状 B大小 C位置 D以上都变化了【知识点】平移、全等图形【解题过程】全等图形的形状、大小一样，只是位置不同，故选C【思路点拨】
15、平移后的图形和原来的图形是全等的【答案】C2下列说法中正确的是（ ）A两个面积相等的图形是全等图形 B两个等边三角形一定是全等图形C半径相等的两个圆是全等图形 D两个含30角的三角形是全等图形【知识点】全等图形【解题过程】解：A两个面积相等的图形是全等图形，说法错误；B两个等边三角形一定是全等图形，说法错误；C半径相等的两个圆是全等图形，说法正确；D两个含30角的三角形是全等图形，说法错误；故选：C【思路点拨】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形分别进行分析【答案】C3全等三角形是( )A三个角对应相等的两个三角形 B周长相等的两个三角形C面积相等的两个三角形 D能够完全重合的两
16、个三角形【知识点】全等三角形【解题过程】解：A全等三角形是三个角对应相等的两个三角形，说法错误；B全等三角形是周长相等的两个三角形，说法错误；C全等三角形是面积相等的两个三角形，说法错误；D全等三角形是能够完全重合的两个三角形，说法正确；故选：D【思路点拨】根据全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形分别进行分析【答案】D4如图所示，沿直线AC对折，ABC与ADC重合，则ABC_，AB的对应边是_，AC的对应边是_，BCA的对应角是_【知识点】全等三角形及对应元素【解题过程】ABC与ADC重合，则ABCADC，AB的对应边是AD，AC的对应边是AC，BCA的对应角是DCA【思路
17、点拨】根据全等三角形的有关概念，能够完全重合的顶点叫对应顶点，能够完全重合的边叫对应边，能够完全重合的角叫对应角的【答案】ADCADACDCA5如图，ABCCDA，AB5，BC7，AC6，则AD边的长为（ ）A4B5C6D7【知识点】全等三角形的性质【解题过程】ABCCDA，BC=AD=7故选D【思路点拨】利用全等三角形对应边相等【答案】D6如图，ABC中，BAC60，将ABC绕着点A顺时针旋转40，则BAC的度数为（ ）A60B40C100D90【知识点】全等三角形的性质【解题过程】由题意可知ABCAB C，BAC=BAC=60,BAB=40,BAC=60+40=100.故选C【思路点拨】利
18、用全等三角形对应角相等【答案】C能力型 师生共研7已知 ABC和 DEF全等， A=40， B=50，则 D的度数为（）A40 B50 C90 D40或50或90【知识点】全等三角形的性质【解题过程】解： A=40，B=50， C=180-40-50=90； ABC和DEF全等， 对应角相等； 当D与A是对应角时，D=A=40； 当D与B是对应角时，D=B=50； 当D与C是对应角时，D=C=90；综上所述：D的度数为40或50或90；故选：D【思路点拨】先由三角形内角和定理求出C，再由全等三角形的性质得出对应角相等，分三种情况讨论，即可得出结果【答案】D8一个三角形的三边为2、5、x，另一个
19、三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y=_【知识点】全等三角形的性质【解题过程】由题意得x=6，y=5，x+y=5+6=11【思路点拨】全等三角形对应边相等【答案】11探究型 多维突破9大家经常折纸，取一张长方形纸片，用A，B，C，D表示它的四个顶点，将其折叠，使点B与点D重合，折痕为E，F，如图所示观察图形并填空：(1)BEF_DEF；(2)若AEB70，则EDF_，EFB_【知识点】翻折的性质、平行线的性质、全等三角形的性质【解题过程】解：(1)由翻折可知：BEFDEF.(2)ADBC，且AEB70(已知)，EBFAEB70(两直线平行，内错角相等)又BEFDEF(已证)，
20、EDFEBF70(全等三角形的对应角相等)AEB70(已知)，且AEBBED180(平角的定义)，BED180AEB18070110(等式的性质)又BEFDEF(翻折的性质)，BEFDEFBED55(等式的性质)又ADBC(已知)，EFBDEF55(两直线平行，内错角相等)【思路点拨】翻折、平移或旋转的问题，常常利用全等图形的性质来解决问题【答案】(1)BEFDEF.(2)EDF70，EFB55.10如图所示，在正方形ABCD中，E是正方形边AD上一点，F是BA延长线上一点，并且AF=AE.已知ABEADF；（1）在图中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使ABE与ADF完全重合？（2）
21、指出图中线段BE与线段DF之间的关系,并说明理由.【知识点】全等三角形的性质【解题过程】解：（1）ABE绕点A逆时针旋转90后可得到ADF.（2）BE=DF且BEDF.理由如下：延长BE交DF于点GADFABE，BE=DF，FBG=ADF，DFA+ADF=90DFA+FBG=90，BGF=90BGDF，即BEDF.【思路点拨】（1）观察图形分析条件，可得F点和E点是对应点，D和B点是对应点，A和A点是对应点，可得F由E点绕点A旋转得到，D由B点绕点A旋转得到，不难求解；（2）由（1）可知ABE和ADF能完全重合，根据旋转的性质进行求解.【答案】（1）ABE绕点A逆时针旋转90后可得到ADF.（
22、2）BEDF.自助餐1下列说法不成立的是（）A两个全等三角形能重合 B两个全等三角形沿某一直线折叠能重合C两个全等三角形的面积相等 D两个全等三角形的周长相等【知识点】全等三角形的定义和性质【思路点拨】能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形，由此可判断各选项【解题过程】解：A两个全等三角形能重合，成立；B两个全等三角形沿某一直线折叠能重合，不一定成立C两个全等三角形的面积相等，成立；D两个全等三角形的周长相等，成立；故选B【答案】B2已知图中的两个三角形全等，则度数是（ ）A.72 B.60 C.58 D.50【知识点】全等三角形的性质【解题过程】观察图形可知a的对应角是50，故选D.【知识点
23、】全等三角形的性质【思路点拨】全等三角形对应角相等【答案】D.3已知：如图，OADOBC，且O=70，C=25，则AEB= _度【知识点】全等三角形的性质、三角形的外角【解题过程】OADOBC，D=C=25，O+D=DACDAC =70+ 25=95DAC+C=AEB，AEB=95+ 25=120.【思路点拨】由全等三角形的对应角可知D=C=25，再由三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和，求出DAC、AEB即可【答案】120.4如图，三角形纸片ABC，AB=10cm，BC=7cm，AC=6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则AED的周长为_cm【
24、知识点】全等三角形的性质、翻折的性质【解题过程】BDC与BDE关于BD折叠，BDCBDE，DC=DE，BC=BE.又AE=ABBE，AE=ABBC.AB=10cm，BC=7cm，AE=AB-BC =3cm.ADE的周长=AD+AE+DE，ADE的周长=AE+AD+DC=AE+AC.AC=6cm，ADE的周长=6+3=9cm.【思路点拨】由翻折的性质可以得出DC=DE，BC=BE，就可以求出AE，由ADE的周长=AD+AE+DE=AE+AD+DC=AE+AC就可以求出结论【答案】9cm.5.如图所示，ABE和ADC是由ABC分别沿着AB，AC边翻折形成的，若BAC150，则的度数为多少？【知识点
25、】翻折的性质、全等三角形的性质【解题过程】解：由翻折变换知BAEBAC，CADCAB，所以EBCA，DCABCA，所以EACD.又因为BAEBAC150，所以CAE360BAE-BAC360-150260.因为EACD，EGF=AGC，由三角形内角和得到CAE，即60.【思路点拨】翻折、平移或旋转的问题，常常利用全等图形的性质来解决问题【答案】606.如图所示，ABC绕着点B顺时针旋转90得到DBE，且ABC90.（1）ABC和DBE是否全等？若全等，指出对应边和对应角；（2）直线AC，DE有怎样的位置关系？【知识点】全等三角形的性质、旋转的性质.【解题过程】解：(1)因为ABC绕点B顺时针旋
26、转90后与DBE重合，所以ABCDBE.对应边：AB与DB，BC与BE，AC与DE；对应角：A与D，ABC与DBE，ACB与E.(2) 直线AC与DE互相垂直理由如下：延长AC交DE于点F，如图所示，由(1)知AD，又ACBDCF，所以在ABC和DFC中，有DFCABC90，即直线AC与DE互相垂直【思路点拨】（1）图中的ABC绕点B旋转后，位置发生了变化，但形状、大小都没有改变，所以图中的ABC与DBE是两个全等三角形，结合全等三角形的性质找对应边和对应角；（2）延长AC交DE于点F，可证明CFDABC90，即直线AC与DE互相垂直.【答案】(1) ABCDBE.对应边：AB与DB，BC与BE，AC与DE；对应角：A与D，ABC与DBE，ACB与E.(2) 直线AC与DE互相垂直.
