1、第 3 讲 导数及其应用 1(2016四川改编)已知 a 为函数 f(x)x312x 的极小值点，则 a_.答案 2解析 f(x)x312x，f(x)3x212，令 f(x)0，则 x12，x22.当 x(，2)，(2，)时，f(x)0，则 f(x)单调递增；当 x(2,2)时，f(x)0，则 f(x)单调递减，f(x)的极小值点为 a2.2(2016课标全国乙改编)若函数 f(x)x13sin 2xasin x 在(，)上单调递增，则 a的取值范围是_答案 13，13解析 函数 f(x)x13sin 2xasin x 在(，)上单调递增，f(x)123cos 2xacos x123(2cos
2、2x1)acos x43cos2xacos x530，即 acos x43cos2x53在(，)恒成立当 cos x0 时，恒有 053，得 aR；当 0cos x1 时，得 a43cos x53cos x，令 tcos x，f(t)43t53t在(0,1上为增函数，得 af(1)13；当1cos x0 是 f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数 f(x)x3 在(，)上单调递增，但 f(x)0.2f(x)0 是 f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有 f(x)0 时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性例 2 已知函数 f(x)ex(axb)x24x，曲线 yf(x)在点
3、(0，f(0)处的切线方程为 y4x4.(1)求 a，b 的值；(2)讨论 f(x)的单调性，并求 f(x)的极大值解(1)f(x)ex(axb)aex2x4ex(axab)2x4，yf(x)在(0，f(0)处的切线方程为 y4x4，f(0)ab44，f(0)b4，a4，b4.(2)由(1)知 f(x)4ex(x2)2(x2)2(x2)(2ex1)令 f(x)0 得 x12，x2ln 12，列表：x(，2)22，ln 12ln 12(ln 12，)f(x)00f(x)极大值极小值 yf(x)的单调增区间为(，2)，ln 12，；单调减区间为2，ln 12.f(x)极大值f(2)44e2.思维升
4、华 利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导函数 f(x)；(3)若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式 f(x)0 或f(x)0，解得 x0，即函数 f(x)的单调递增区间为(，43)(0，)(2)f(x)的定义域为(0，)f(x)4x1x.由 f(x)0，得 x12.据题意，得k112k1，k10，解得 1k0，右侧 f(x)0，则 f(x0)为函数 f(x)的极大值；若在 x0 附近左侧f(x)0，则 f(x0)为函数 f(x)的极小值2设函数 yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则 f(x)在a，b上必有最大值和最小值且
5、在极值点或端点处取得例 3 已知函数 f(x)ax2x3ln x，其中 a 为常数(1)当函数 f(x)的图象在点23，f 23处的切线的斜率为 1 时，求函数 f(x)在32，3 上的最小值；(2)若函数 f(x)在区间(0，)上既有极大值又有极小值，求 a 的取值范围解(1)f(x)a2x23x(x0)，由题意可知，f 23 1，解得 a1.故 f(x)x2x3ln x，f(x)x1x2x2，根据题意由 f(x)0，得 x2.于是可得下表：x3232，22(2,3)3f(x)0f(x)13ln 2 f(x)minf(2)13ln 2.(2)f(x)a2x23xax23x2x2(x0),由题
6、意可得方程 ax23x20 有两个不等的正实根，不妨设这两个根为 x1，x2，并令 h(x)ax23x2，则98a0，x1x23a0，x1x22a0，也可以为98a0，32a 0，h00解得 0a98.故 a 的取值范围为0，98.思维升华(1)求函数 f(x)的极值，则先求方程 f(x)0 的根，再检查 f(x)在方程根的左右函数值的符号(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 f(x)0 根的大小或存在情况来求解(3)求函数 f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值 f(a)，f(b)与 f(x)的各极值进行比较得到函数的最值跟踪演练 3 已知函数
7、f(x)ln xaxa2x2(a0)(1)若 x1 是函数 yf(x)的极值点，求 a 的值；(2)若 f(x)0 在定义域内恒成立，求实数 a 的取值范围解(1)函数的定义域为(0，)，f(x)2a2x2ax1x.因为 x1 是函数 yf(x)的极值点，所以 f(1)1a2a20，解得 a12(舍去)或 a1.经检验，当 a1 时，x1 是函数 yf(x)的极值点，所以 a1.(2)当 a0 时，f(x)ln x，显然在定义域内不满足 f(x)0 时，令 f(x)2ax1ax1x0，得 x1 12a(舍去)，x21a，所以 x，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0，1a)1a(1a，)
8、f(x)0f(x)极大值所以 f(x)maxf(1a)ln 1a1.综上可得，a 的取值范围是(1，).1设函数 yf(x)的导函数为 f(x)，若 yf(x)的图象在点 P(1，f(1)处的切线方程为 xy20，则 f(1)f(1)_.押题依据 曲线的切线问题是导数几何意义的应用，是高考考查的热点，对于“过某一点的切线”问题，也是易错易混点答案 4解析 依题意有 f(1)1,1f(1)20，即 f(1)3，所以 f(1)f(1)4.2已知函数 f(x)x3ax2bxa27a 在 x1 处取得极大值 10，则ab的值为_押题依据 函数的极值是单调性与最值的“桥梁”，理解极值概念是学好导数的关键
9、极值点、极值的求法是高考的热点答案 23解析 由题意知 f(x)3x22axb，f(1)0，f(1)10，即32ab0，1aba27a10，解得a2，b1或a6，b9，经检验a6，b9，满足题意，故ab23.3已知函数 f(x)x2ax3 在(0,1)上为减函数，函数 g(x)x2aln x 在(1,2)上为增函数，则a 的值等于_押题依据 函数单调性问题是导数最重要的应用，体现了“以直代曲”思想，要在审题中搞清“在(0,1)上为减函数”与“函数的减区间为(0,1)”的区别答案 2解析 函数 f(x)x2ax3 在(0,1)上为减函数，a21，得 a2.又g(x)2xax，依题意 g(x)0
10、在 x(1,2)上恒成立，得 2x2a 在 x(1,2)上恒成立，有 a2，a2.4已知函数 f(x)x 1x1，g(x)x22ax4，若任意 x10,1，存在 x21,2，使f(x1)g(x2)，则实数 a 的取值范围是_押题依据 不等式恒成立或有解问题可以转化为函数的值域解决考查了转化与化归思想，是高考的一个热点答案 94，解析 由于 f(x)11x120，因此函数 f(x)在0,1上单调递增，所以 x0,1时，f(x)minf(0)1.根据题意可知存在 x1,2，使得 g(x)x22ax41，即 x22ax50，即 ax2 52x能成立，令 h(x)x2 52x，则要使 ah(x)在 x
11、1,2能成立，只需使 ah(x)min，又函数 h(x)x2 52x在 x1,2上单调递减，所以 h(x)minh(2)94，故只需 a94.A 组 专题通关1设函数 f(x)在(0，)内可导，且 f(ex)xex，则 f(1)_.答案 2解析 令 tex，f(t)tln t(t0)，所以 f(x)xln x(x0)f(x)11x，f(1)2.2曲线 yf(x)xx21在点(1，f(1)处的切线方程是_答案 y12解析 f(x)xx21的导数 f(x)1x21x22，曲线在点(1，f(1)处的切线斜率 k0，切点为1，12，曲线在点(1，f(1)处的切线方程为 y12.3已知 a0，函数 f(
12、x)(x22ax)ex.若 f(x)在1,1上是单调递减函数，则 a 的取值范围是_答案 34，)解析 f(x)exx22(1a)x2a，f(x)在1,1上单调递减，f(x)0 在1,1上恒成立令 g(x)x22(1a)x2a，则g10，g10，解得 a34.4函数 f(x)x33x 的极小值为_答案 2解析 f(x)3x23，令 f(x)0，得 x1 或 x1.当 x(1,1)时，f(x)0，函数 yf(x)在(，1)或(1，)上是增函数，故当 x1 时，函数 f(x)取得极小值 f(1)13312.5已知函数 f(x)xaln x，若曲线 yf(x)在点(a，f(a)处的切线过原点，则实数
13、 a 的值为_答案 e解析 因为 f(x)1ax，因此 f(a)2aaln aaln a1ae.6已知函数 f(x)asin xbx34(a，bR)，f(x)为 f(x)的导函数，则 f(2 014)f(2 014)f(2 015)f(2 015)_.答案 8解析 因为 f(x)asin xbx34(a，bR)，所以 f(x)acos x3bx2.因为 f(x)4asin xbx3 为奇函数，且 f(x)acos x3bx2 为偶函数，所以 f(2 014)f(2 014)f(2 015)f(2 015)f(2 014)4f(2 014)488.7已知函数 f(x)x32x，若1(1)(log
14、 3)0aff(a0 且 a1)，则实数 a 的取值范围是_答案()0，1()3，解析 因为 f(x)3x220，f(x)f(x)，所以 f(x)x32x 为 R 上单调递增的奇函数，因此由1(1)(log 3)0aff得1(1)(log 3)(log 3)(log 3),aaaffff 即 1loga3，当a1 时，a3，当 0a0，解得 a19，所以 a 的取值范围是(19，)9(2016北京)设函数 f(x)xeaxbx，曲线 yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为 y(e1)x4.(1)求 a，b 的值；(2)求 f(x)的单调区间解(1)f(x)的定义域为 R.f(x)eaxxe
15、axb(1x)eaxb.依题设，f22e2，f2e1，即2ea22b2e2，ea2be1.解得 a2，be.(2)由(1)知 f(x)xe2xex，由 f(x)2ex(1xex1)及 e2x0 知，f(x)与 1xex1 同号令 g(x)1xex1，则 g(x)1ex1.当 x(，1)时，g(x)0，g(x)在区间(，1)上单调递减；当 x(1，)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增故 g(1)1 是 g(x)在区间(，)上的最小值，从而 g(x)0，x(，)，综上可知，f(x)0，x(，)故 f(x)的单调递增区间为(，)10已知函数 f(x)x28ln x，x1,3(1)求 f
16、(x)的最大值与最小值；(2)若 f(x)4at 对任意的 x1,3，t0,2恒成立，求实数 a 的取值范围解(1)函数 f(x)x28ln x，f(x)x41x，令 f(x)0，得 x2 或 x2(舍去)x1,3，当 1x2 时，f(x)0；当 2x0.f(x)在(1,2)上是单调减函数，在(2,3)上是单调增函数，f(x)在 x2 处取得极小值 f(2)12ln 2.又 f(1)18，f(3)98ln 3，ln 31，18(98ln 3)ln 310，f(1)f(3)，当 x1 时，f(x)取得最大值为18.当 x2 时，f(x)取得最小值为12ln 2.(2)由(1)知，当 x1,3时，
17、f(x)18，故对任意 x1,3，f(x)18对任意 t0,2恒成立，即 at318 恒成立，记 g(t)at，t0,2g0318，g2318，解得 a0，则 ef(2 015)_f(2 016)(填“”“解析 令 g(x)fxex，则 g(x)fxfxexg(2 016)，即f2 015e2 015 f2 016e2 016，ef(2 015)f(2 016)12(2016江苏苏北三市高三最后一次模拟)若点 P，Q 分别是曲线 yx4x 与直线 4xy0上的动点，则线段 PQ 长的最小值为_答案 7 1717解析 设两直线 4xym 与 yx4x 相切，P 为切点由 y4x2得4x24x1，
18、因此 P(1,5)或 P(1，3)，m9 或 m7，两直线 4xym,4xy0 间距离分别为 917或 717，故线段 PQ 长的最小值为7 1717.13设函数 f(x)x3mx2m(m0)(1)当 m1 时，求函数 f(x)的单调减区间；(2)设 g(x)|f(x)|，求函数 g(x)在区间0，m上的最大值解(1)当 m1 时，f(x)x3x21.f(x)3x22xx(3x2)由 f(x)0，解得 x0 或 x23.所以函数 f(x)的减区间是(，0)，(23，).(2)依题意 m0.因为 f(x)x3mx2m，所以 f(x)3x22mxx(3x2m)由 f(x)0，得 x2m3 或 x0.当 0 x2m3 时，f(x)0，所以 f(x)在(0，2m3)上为增函数；当2m3 xm 时，f(x)0，所以 f(x)在(2m3，m)上为减函数；所以，f(x)极大值f(2m3)427m3m.当 427m3mm，即 m3 62 时，ymax 427m3m.当 427m3mm，即 0m3 62 时，ymaxm.综上，ymax 427m3m，m3 62，m，0m3 62.