1、2 动能 动能定理 第五章机 械 能1.对动能定理的理解(2009安徽)过山车是游乐场中常见的设施图521是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R1=2.0m、R2=1.4m.一个质量为m=1.0kg的小球(视为质点)，从轨道的左侧A点以v0=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L1=6.0m.小球与水平轨道间的动摩擦因数=0.2，圆形轨道是光滑的假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠重力加速度取g=10m/s2，计算结果保留小数点后一位数字试求：(1)小球在经过第一个圆形轨道的
2、最高点时，轨道对小球作用力的大小；(2)如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距L应是多少；(3)在满足(2)的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R3应满足的条件；小球最终停留点与起点A的距离图521()111111122210.0vmgLmgRmvmvmgFvFmgm RFN设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为，根据动能定理 小球在最高点受到重力和轨道对它的作用力，根据牛顿第二定律 解析：由 得 m-=-=+=()()()32212321122123.2.5Lmvmvvmgm Rmg LLmgRmvRvgvmm设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为，由题意 要
3、保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为由得应满足，m=-+-=-()()133313322232332311(2)2220.4.1(2)2021.027.9mg LLmgRmvmvRmRmg LLmgRmvRmRRRLRRRm 由得轨道半径较大时，小球上升的最大高度为，根据动能定理解得为了保证圆轨道不重叠，最大值应满足解得mm-+-=-=-+-=-=+=+-=3313300.41.027.900.41036.021.027.2(2).0926RmmRmRmALmgLmvLmmRmALLLLLLm综合、，要使小球不脱离轨道，则第三个
4、圆轨道的半径须满足下面的条件或当时，小球最终停留点与起始点 的距离为，则 当时，小球最终停留点与起始点 的距离为，则m?-?-?=?=点评：此题对考生的能力要求较高，将圆周运动与动能定理相结合，注重过程的分析，物理规律的应用考生很容易由于过程分析不完整，运动情况分析不全而造成失分如图5-2-2所示，DO是水平面，AB是斜面，初速度为v0的物体从D点出发沿DBA滑动到顶点A时的速度刚好为零，如果斜面改为AC，让该物体从D点出发沿DCA滑动到A点且速度刚好为零，则物体具有的初速度为（已知物体与路面之间的动摩擦因数处处相同，且不为零，在B、C处无机械能的损失）()A.大于v0 B.等于v0C.小于v
5、0 D.取决于斜面的倾角图5-2-2设OD=s,OA=h,斜面倾角为，物体从D点出发，沿DBA滑动到顶点A，过B点（或C点）时物体与斜面碰撞没有机械能损失，由动能定理得：即解得：由上式可见，物体的初速度跟斜面倾角无关.201cos(cot)0sin2hmghmgmg shmv2012mgsmghmv02()vgsh2.应用动能定理求变力的功质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，运动过程中小球受到空气阻力的作用.设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的拉力为7mg，此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功为()A.mgR
6、/4 B.mgR/3C.mgR/2 D.mgR小球在最低点时，设速度为v1，则7mg-mg=mv12/R，设小球恰能通过最高点的速度为v0，则mg=mv02/R设转过半个圆周过程中小球克服空气阻力做的功为W，由动能定理得-mg2R-W=mv02/2-mv12/2，由此解得W=mgR/2.答案：C点评：变力做功的计算：(1)在曲线运动或往返运动中，滑动摩擦力和空气阻力做功，可以用力与路程的乘积来计算；(2)利用F-l图线与坐标轴围成的面积来计算；(3)利用动能定理计算变力的功如图5-2-3所示，人拉着绳子的一端由滑轮正下方的A点以速度v0匀速地移到B点，已知滑轮高度为h，A、B之间的水平距离为l
7、，物体质量为m.求：人对物体所做的功.图5-2-3m上升的高度故v1=v0sin而所以22Hhlh22p()EmgHmghlh22sinllh 0122v lvlh物体此时上升的速度为人所做的功为：0122v lvlh2 22 2200k12222110222()v lmv lEmvm lhlh2 2220kp22()2mv lWEEmghlhlh 3.动能定理在多过程问题中的应用物体从高出地面H处，由静止自由下落，如图5-2-4所示，不考虑空气阻力，落至地面进入沙坑深h处停止，求物体在沙坑中受到的平均阻力是其重力的多少倍？图5-2-4解法一：物体运动分两个物理过程，先自由落体，然后做匀减速运
8、动，设物体落至地面时速度为v，则由动能定理可得第二个物理过程中物体受重力和阻力，同理可得由解得212mgHmv2102fmghF hmvfFHhmgh解法二：若视全过程为一整体，由于物体的初、末动能均为0，由动能定理得mg(H+h)-Ffh=0-0解得fFHhmgh点评：若物体的运动是由多个过程组成，又不需要研究过程的中间状态，即只研究运动的初、末状态时，可用动能定理解决解题时要注意各个力做功的正负如图5-2-5所示，斜面倾角为，质量为m的滑块距挡板P为x，以初速度v沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为，滑块所受摩擦力小于滑块重力沿斜面的分力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块最终经
9、过的路程有多大？图5-2-5由于滑块重力沿斜面向下的分力大于滑块所受摩擦力，所以可断定滑块最终将停靠在挡板处.从以v向上滑动至最终停下，设滑块经过的路程为l，则重力做正功，摩擦力做负功.此过程重力对滑块做功WG=mgxsin，摩擦力做功Wf=-mglcos，对滑块由动能定理，有：解得21sincos02mgxmglmv2sin/2cosgxvlg易错题：一个质量为m的物体静止放在光滑水平面上，在互成60角的大小相等的两个水平恒力作用下，经过一段时间，物体获得的速度为v，在力的方向上获得的速度分别为v1、v2，那么在这段时间内，如图526所示其中一个力做的功为()图526222211A.B.6411C.D.32mvmvmvmv 12212112111()222cos3061cos30211cos302cos3024FvWmvmmvAFWFsmvWF sFsFsBmv在分力 的方向上，由动能定理得，故 正确错解原因是在物体运动的分方向上应用了动能定理在【错解】【错解分析】【正解】合力 的方向上，由动能定理得，某个分力的功为，故 正确=?=?=点评：动能定理也可以表述为：外力对物体做的总功等于物体动能的变化实际应用时，这种表述比较好操作不必求合力，特别是在全过程的各个阶段受力有变化的情况下，只要把各个力在各个阶段所做的功都按照代数和加起来，就可以得到总功