1、动力学四大模型之三弹簧纵观历年的高考试题，和弹簧有关的题目占有相当的比重，高考命题者常以弹簧为载体设计出各类试题，试题涉及静力学问题、动力学问题和能量守恒问题、振动问题、功能问题等。几乎贯穿整个力学的知识体系。对于弹簧，从受力角度看，弹簧上的弹力是变力；从能量角度看，弹簧是个储能元件。因此，弹簧问题能很好地考查学生的综合分析能力，故备受高考命题者的青睐。本节次主要解决静力学和动力学中的弹簧问题。|胡克定律在平衡问题中的应用题型简述与弹簧相连的物体在弹簧弹力和其他力作用下处于平衡状态：若已知弹簧的情况(劲度系数、形变量)可以求解其他力；反过来，若已知物体受到的其他力可以求解弹簧的情况。方法突破(
2、1)胡克定律：Fkx，Fkx。(2)如果对弹簧测力计的两端施加(沿轴线方向)大小不同的拉力，弹簧测力计的示数等于挂钩上的拉力。例 1(2017河北正定中学模拟)如图所示，在高度不同的两水平台阶上放有质量分别为 m1、m2 的两物体，物体间用轻弹簧相连，弹簧与竖直方向夹角为。在 m1 左端施加水平拉力 F，使 m1、m2 均处于静止状态，已知 m1 下表面光滑，重力加速度为 g，则下列说法正确的是()A弹簧可能处于压缩状态B弹簧弹力的大小为 m1gcos C地面对 m2 的支持力可能为零D地面对 m2 的摩擦力大小为 F解析 若弹簧处于压缩状态，则 m1 不可能处于静止状态，故 A 错误；对整体
3、受力分析可知，整体受重力、支持力、拉力，要使整体受力平衡，则水平方向一定有向右的摩擦力作用在 m2上，且大小与 F 相同，故 D 正确；因 m2与地面间有摩擦力，则地面对 m2一定有支持力，故 C 错误；对 m1受力分析可知，弹簧弹力竖直方向的分力应等于 Nm1g，故弹簧弹力 F 弹Nm1gcos ，故 B 错误。答案 D名师指津本题考查了共点力的平衡条件，力的合成与分解，胡克定律。解答时首先要选择好研究对象，其次正确分析受力情况，作出受力图，再由平衡条件求解。1在应用胡克定律时要注意公式中 x 为弹簧的形变量。2合理选择研究对象是解题的关键。解题时要合理选择整体法与隔离法，对相应的研究对象分
4、析求解。跟进训练1.(2017江西质检)如图所示，三个相同的轻质弹簧连接在 O 点，弹簧 1 的另一端固定在天花板上，且与竖直方向的夹角为 30，弹簧 2 水平且右端固定在竖直墙壁上，弹簧 3 的另一端悬挂质量为 m 的物体且处于静止状态，此时弹簧 1、2、3 的形变量分别为 x1、x2、x3，则()Ax1x2x3 312 Bx1x2x3 321Cx1x2x312 3Dx1x2x321 3解析：选 D 以结点 O 为研究对象受力分析，由几何知识知 T1mgcos 30，T2mgtan 30，T3mg，故 T1T2T321 3。根据胡克定律有Tkx，则 x1x2x321 3。故 D 正确。|通过
5、弹簧的伸缩变化求物体位移题型简述与弹簧关联的物体运动时，物体的位移与弹簧的形变量有关，而弹簧既可以伸长又可以压缩，所以既能对关联物体施加拉力，又能对关联物体施加压力，且弹力大小随形变量的变化而连续变化。方法突破求解这类问题时，首先要分析弹簧的初、末状态，是伸长、压缩，还是原长，其次要分析关联的物体所处状态是平衡，还是加速运动，是匀加速运动，还是变加速运动。(1)当关联物体处于平衡状态时，结合胡克定律来确定弹力的大小和方向，列出方程。(2)当关联物体加速运动时，要从牛顿第二定律入手先分析加速度，再分析物体的运动规律。由于物体的运动会导致弹力发生变化，变化的弹力又会影响新的运动，因此分析弹簧的几个
6、特殊状态(原长、平衡位置、最大长度)尤其重要。(3)关联物体在弹簧弹力作用下的运动一般是变加速运动，当做匀变速直线运动时，必有变化的外力作用，变化的外力常存在极值问题。例 2如图所示，倾角为 的固定光滑斜面底部有一垂直斜面的固定挡板 C。劲度系数为 k1 的轻弹簧两端分别与质量均为 m 的物体 A 和 B 连接，劲度系数为 k2 的轻弹簧一端与 A连接，另一端通过细线与一轻质小桶相连，细线跨过斜面顶端的光滑的定滑轮，B 靠在挡板 C 处，A 和 B 均静止。现缓慢地向小桶内加入细砂，当 B 与挡板 C 恰要分离时，小桶下降的距离是多少？解析 方法一：轻质小桶内未加入细砂时，弹簧 k2 处于自然
7、长度，设此时弹簧 k1 压缩量为 x1，对 A 受力分析可知：k1x1mgsin 缓慢地向小桶内加入细砂，当 B 与挡板 C 间挤压力恰好为零时，设弹簧 k2 伸长量为 x2，弹簧 k1 伸长量为 x3，对 B 受力分析可知：k1x3mgsin 对 A、B 整体受力分析可知：k2x22mgsin 由分析知，小桶下降的距离：dx1x3x2解得 d2mgsin 1k1 1k2。方法二：对弹簧 k1 分析：初态时受到 A 的压力为 mgsin，末态时对 B 的拉力为 mgsin，因此弹力变化为 2mgsin，则由 Fkx 得：x12mgsin k1。对弹簧 k2 分析：初态时的弹力为零，末态时产生的
8、拉力为 2mgsin，则 x22mgsin k2所以 dx1x22mgsin 1k1 1k2。答案 2mgsin 1k1 1k2名师指津计算弹簧的伸长量时，通常的思路是先计算原来的形变量再求解，但实际上直接运用 xFk 求解更简洁。跟进训练2.(2017山西忻州一中等四校联考)如图所示，质量均为 m 完全相同的物块 A、B 用轻弹簧相连，置于带有挡板C 的固定斜面上。斜面的倾角为，弹簧的劲度系数为 k。初始时弹簧处于原长，A 恰好静止。现用一沿斜面向上的力拉 A，直到 B 刚要离开挡板 C，则此过程中物块 A 的位移为(弹簧始终处于弹性限度内)()A.mgkB.mgsin kC.2mgkD.2
9、mgsin k解析：选 D 初始时弹簧处于原长，A 恰好静止，根据平衡条件，有 mgsin fm，B 刚要离开挡板 C 时，弹簧拉力等于重力沿斜面向下的分力和最大静摩擦力之和，故 kxmgsin fm，解得 x2mgsin k。故 D 正确。|利用弹簧的“迟滞性”考查瞬时性问题题型简述牛顿第二定律是力的瞬时作用规律：力和加速度同时产生，同时变化，同时消失。分析物体的瞬时问题，关键是先分析瞬时前后物体的受力情况和运动状态，再由牛顿第二定律求出瞬时加速度。例 3(多选)(2015海南高考)如图，物块 a、b 和c 的质量相同，a 和 b、b 和 c 之间用完全相同的轻弹簧 S1 和 S2 相连，通
10、过系在 a 上的细线悬挂于固定点 O。整个系统处于静止状态。现将细线剪断。将物块 a的加速度的大小记为 a1，S1 和 S2 相对于原长的伸长分别记l1 和 l2，重力加速度大小为 g。在剪断的瞬间，()Aa13gBa10Cl12l2Dl1l2解析 剪断细线前，把 a、b、c 看成整体，细线上的拉力为 T3mg。因在细线剪断瞬间，弹簧未发生突变，因此 a、b、c 之间的作用力与剪断细线之前相同。则将细线剪断瞬间，对 a隔离进行受力分析，由牛顿第二定律得：3mgma1，可得 a13g，A 正确，B 错误；由胡克定律知：2mgkl1，mgkl2，所以 l12l2，C 正确，D 错误。答案 AC跟进
11、训练3.(多选)(2017南昌模拟)如图所示，吊篮 A、物体 B、物体C 的质量分别为 m、3m、2m。B 和 C 分别固定在弹簧两端，弹簧的质量不计。B 和 C 在吊篮的水平底板上处于静止状态。将悬挂吊篮的细线剪断的瞬间()A吊篮 A 的加速度大小为 2gB物体 B 的加速度大小为 gC物体 C 的加速度大小为 2gDA、B、C 的加速度大小都等于 g解析：选 AC 弹簧开始的弹力 F3mg，剪断细线的瞬间，弹力不变，将 C和 A 看成一个整体，根据牛顿第二定律得，aACFm2mg3m2g，即 A、C的加速度均为 2g，故 D 错误，A、C 正确；剪断细线的瞬间，弹簧弹力不变，B所受的合力仍
12、然为零，则 B 的加速度为0，故 B 错误。|弹簧弹力与摩擦力的结合题型简述弹簧弹力与摩擦力都属于可变力(与重力对比)，存在不确定性，在考查中，这两种力经常综合在一起，增大题目的技巧性。例 4(多选)如图所示，小车板面上的物体质量为 m8 kg，它被一根水平方向上拉伸了的弹簧拉住而静止在小车上，这时弹簧的弹力为 6 N。现沿水平向右的方向对小车施加作用力，使小车由静止开始运动起来，运动中加速度由零逐渐增大到 1 m/s2，随即以 1 m/s2 的加速度做匀加速直线运动。以下说法中正确的是()A物体与小车始终保持相对静止，弹簧对物体的作用力始终没有发生变化B物体受到的摩擦力先减小、后增大，先向左
13、、后向右C当小车加速度(向右)为 0.75 m/s2时，物体不受摩擦力作用D小车以 1 m/s2 的加速度向右做匀加速直线运动时，物体受到的摩擦力为8 N解析 开始时小车板面上的物体受弹簧水平向右的拉力为 6 N，水平向左的静摩擦力也为 6 N，合力为零。沿水平向右方向对小车施加作用力，小车向右做加速运动时，物体沿水平向右方向上的合力(Fma)逐渐增大到 8 N 后恒定。在此过程中向左的静摩擦力先减小，改变方向后逐渐增大到(向右)2 N 而保持恒定；弹簧的拉力(大小、方向)始终没有变，物体与小车保持相对静止，小车上的物体不受摩擦力作用时，向右的加速度完全由弹簧的拉力提供：aFTm 0.75 m
14、/s2。综上所述，A、B、C 正确。答案 ABC名师指津物体起初受弹簧的弹力和静摩擦力处于静止状态，当整体加速度逐渐增大时，隔离物体分析，通过加速度的变化，得出弹簧弹力和摩擦力的变化。解决本题的关键是：知道物体与小车具有相同的加速度，对物体隔离分析，运用牛顿第二定律，分析摩擦力的变化。求解时应注意静摩擦力大小和方向的可变性。跟进训练4.(多选)(2017宁夏六盘山模拟)如图所示，光滑水平面上放置着四个相同的木块，其中木块 B 与C 之间用一轻弹簧相连，轻弹簧始终在弹性限度内。现用水平拉力 F 拉 B，使四个木块以相同的加速度一起加速运动，则以下说法正确的是()A一起加速过程中，D 所受到的静摩擦力大小为F4B一起加速过程中，C 受到四个力的作用C一起加速过程中，A、D 所受摩擦力大小和方向相同D当 F 撤去瞬间，A、D 所受静摩擦力的大小和方向都不变解析：选 AC 一起加速过程中，由整体法有：a F4m，对 D：fDmaF4，A 正确；分析 C 的受力，C 受到重力、地面对 C 的支持力、D 对 C 的压力和摩擦力及弹簧对 C 的弹力，共5 个力，B 错误；对 A：fAmaF4，C 正确；当 F 撤去瞬间，D 受力情况不变，A 的摩擦力方向改变，D 错误。