1、平面向量数乘运算的坐标表示(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.下列各组向量中,不能作为平面内所有的向量的基底的一组是()A.a=(-1,2),b=(0,5)B.a=(1,2),b=(2,1)C.a=(2,-1),b=(3,4)D.a=(-2,1),b=(4,-2)【解析】选D.因为(-2)(-2)-14=0,所以a与b共线,不能作为平面内向量的基底.2.若=i+2j,=(3-x)i+(4-y)j(其中i,j的方向分别与x,y轴正方向相同且为单位向量).与共线,则x,y的值可能分别为()A.1,2B.2,2C.3,2
2、D.2,4【解析】选B.由题意知,=(1,2),=(3-x,4-y).因为,所以4-y-2(3-x)=0,即2x-y-2=0.只有B选项,x=2,y=2代入满足.【补偿训练】设向量a,b满足|a|=2,b=(2,1),且a与b的方向相反,则a的坐标为()A.(-4,-2)B.(3,4)C.(4,2)D.(-3,-4)【解析】选A.因为b=(2,1),且a与b的方向相反,所以设a=(2,)(0).因为|a|=2,所以42+2=20,2=4,=-2.所以a=(-4,-2).3.若a=(x,2),b=,c=a+2b,d=2a-b,且cd,则c-2d等于()A.B.C.(1,2)D.(-1,-2)【解
3、析】选D.c=(x+1,4),d=,因为3(x+1)=4,所以x=1.所以c=(2,4),d=,c-2d=(-1,-2).4.设向量a=(1,-3),b=(-2,4),若表示向量4a,3b-2a,c的有向线段首尾相接能构成三角形,则向量c等于()A.(1,-1)B.(-1,1)C.(-4,6)D.(4,-6)【解析】选D.因为4a,3b-2a,c对应的有向线段首尾相接能构成三角形,所以4a+3b-2a+c=0,故有c=-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).5.已知向量a=(1,2),b=(0,1),设u=a+kb,v=2a-b,若uv,则实数k的值是()A.-B.-C.
4、-D.-【解析】选B.v=2(1,2)-(0,1)=(2,3),u=(1,2)+k(0,1)=(1,2+k).因为uv,所以2(2+k)-13=0,解得k=-.6.(多选题)下列向量组中,不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()A.e1=(0,0),e2=(1,-2)B.e1=(-1,2),e2=(5,7)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2=【解析】选ACD.A中向量e1为零向量,所以e1e2;C中e1=e2,所以e1e2;D中e1=4e2,所以e1e2.二、填空题(每小题5分,共10分)7.已知A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0)
5、,给出下列结论:直线OC与直线BA平行;+=;+=;=-2.其中,正确结论的序号为_.【解析】因为=(-2,1),=(2,-1),所以=-,又直线OC,BA不重合,所以直线OCBA,所以正确;因为+=,所以错误;因为+=(0,2)=,所以正确;因为=(-4,0),-2=(0,2)-2(2,1)=(-4,0),所以正确.答案:【补偿训练】已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三点共线,则实数k的值是_.【解析】=-=(4-k,-7),=-=(-2k,-2).因为A,B,C三点共线,所以,共线,所以-2(4-k)=-7(-2k),解得k=-.答案:-8.对于任意的两个
6、向量m=(a,b),n=(c,d),规定运算“”为mn=(ac-bd,bc+ad),运算“”为mn=(a+c,b+d).设m=(p,q),若(1,2)m=(5,0),则(1,2)m等于_.【解析】由(1,2)m=(5,0),可得解得所以(1,2)m=(1,2)(1,-2)=(2,0).答案:(2,0)三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC与OB的交点P的坐标.【解析】方法一:由O,P,B三点共线,可设=(4,4),则=-=(4-4,4),=-=(-2,6).由与共线得(4-4)6-4(-2)=0,解得=,所以=(3,3),所以P
7、点的坐标为(3,3).方法二:设P(x,y),则=(x,y),因为=(4,4),且与共线,所以=,即x=y.又=(x-4,y),=(-2,6),且与共线,则得(x-4)6-y(-2)=0,解得x=y=3,所以P点的坐标为(3,3).10.在ABC中,已知点A(3,7),B(-2,5).若线段AC,BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.【解析】(1)若AC的中点在y轴上,则BC的中点在x轴上,设点C的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得=0,=0,所以x=-3,y=-5,即C点坐标为(-3,-5).(2)若AC的中点在x轴上,则BC的中点在y轴上,则同理可得C点坐标为(2,-7).综合(1)(2
8、),知C点坐标为(-3,-5)或(2,-7).(35分钟70分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(kR),d=a-b,如果cd,那么()A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向C.k=-1且c与d同向D.k=-1且c与d反向【解析】选D.若cd,则c=d,所以(k,1)=(1,-1),所以k=-1,所以k=-1,且c与d反向.2.已知点A(-1,1),点B(2,y),向量a=(1,2),若a,则实数y的值为 ()A.5B.6C.7D.8【解析】选C.=(3,y-1),又a
9、,所以(y-1)-23=0,解得y=7.3.下列向量中,与向量c=(2,3)不共线的一个向量p=()A.(3,2)B.C.D.【解析】选A.因为向量c=(2,3),对于A,22-33=-50,所以A中向量与c不共线.【补偿训练】已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb与a-2b共线,则=()A.2B.3C.2D.-2【解析】选D.向量a=(2,3),b=(-1,2),则ma+nb=(2m-n,3m+2n),a-2b=(4,-1),若ma+nb与a-2b共线,所以-2m+n=12m+8n,即14m=-7n,所以=-2.4.(多选题)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(
10、3,0),(1,-5),则第四个顶点的坐标是()A.(1,5)B.(-3,-5)C.(3,5)D.(5,-5)【解析】选ABD.设A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),第四个顶点为D,若这个平行四边形为ABCD,则=,所以D(-3,-5);若这个平行四边形为ACDB,则=,所以D(5,-5);若这个平行四边形为ACBD,则=,所以D(1,5).综上所述,D点坐标为(1,5)或(5,-5)或(-3,-5).二、填空题(每小题5分,共20分)5.设向量a=(1,2),b=(2,3).若向量a+b与向量c=(-4,-7)共线,则=_.【解析】a+b=(+2,2+3),因为(a+b)c,所以-
11、7(+2)=-4(2+3)=2.答案:26.已知向量a=(-2,3),ba,向量b的起点为A(1,2),终点B在坐标轴上,则点B的坐标为_.【解析】由ba,可设b=a=(-2,3).设B(x,y),则=(x-1,y-2)=b.由又B点在坐标轴上,则1-2=0或3+2=0,所以B或.答案:或【补偿训练】已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,),若a-2b与c共线,则k=_.【解析】a-2b=(,3),根据a-2b与c共线,得3k=,解得k=1.答案:17.如图所示,在四边形ABCD中,已知A(2,6),B(6,4),C(5,0),D(1,0),则直线AC与BD的交点P的坐标为_.【解
12、析】设P(x,y),则=(x-1,y),=(5,4),=(-3,6),=(4,0).由B,P,D三点共线可得=(5,4).又因为=-=(5-4,4),由与共线得,(5-4)6+12=0,解得=,所以=,所以P的坐标为.答案:【补偿训练】已知A(-1,4),B(x,-2),若C(3,3)在直线AB上,则x=_.【解析】=(x+1,-6),=(4,-1),因为,所以-(x+1)+24=0,所以x=23.答案:238.(双空题)已知a=(1,0),b=(2,1).当k=_时,ka-b与a+2b共线,若=2a+3b,=a+mb且A,B,C三点共线,则m=_.【解析】ka-b=k(1,0)-(2,1)=
13、(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2).因为ka-b与a+2b共线,所以2(k-2)-(-1)5=0,得k=-.方法一:因为A,B,C三点共线,所以=,R,即2a+3b=(a+mb),所以解得m=.方法二:=2a+3b=(8,3),=a+mb=(2m+1,m),因为A,B,C三点共线,所以,故8m-3(2m+1)=0,m=.答案:-三、解答题(每小题10分,共30分)9.如图,已知四边形ABCD是正方形,|=|,EC的延长线交BA的延长线于点F,求证:AF=AE.【证明】建立如图所示的平面直角坐标系,设正方形的边长为1,则A(-1,1),B(0,1),设点E的坐标为(
14、x,y),则=(x,y-1),=(1,-1).因为,所以x(-1)-1(y-1)=0.又|=|,所以x2+y2=2.由联立,解得点E的坐标为.设点F的坐标为(x,1),由=(x,1)和=共线,得x-=0,所以x=-(2+),所以点F的坐标为(-2-,1).所以=(-1-,0),=,所以|=1+=|,即AF=AE.10.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,-3-y).(1)若点A,B,C不能构成三角形,求x,y满足的条件;(2)若=2,求x,y的值.【解析】(1)因为点A,B,C不能构成三角形,则A,B,C三点共线.由=(3,-4),=(6,-3),=(5-x,-3-y)得=(3
15、,1),=(2-x,1-y),所以3(1-y)=2-x.所以x,y满足的条件为x-3y+1=0.(2)=(-x-1,-y),由=2得(2-x,1-y)=2(-x-1,-y),所以解得11.如图,在OABP中,过点P的直线与线段OA,OB分别相交于点M,N,若=x,=y(0x1).(1)求y=f(x)的解析式;(2)令F(x)=+x,判断F(x)的单调性,并给出你的证明.【解析】(1)=-,=-=x-y,=-=(-)-x=-(1+x)+,又,有x-y(1+x)=0,即f(x)=(0x1).(2)F(x)在(0,1)上为减函数.证明如下:由(1)得F(x)=+x=x+1(0x1),设0x1x21,则F(x1)-F(x2)=-=(x1-x2)+=(x1-x2)=(x1-x2),由0x1x21,得x1-x20,x1x2-10,得F(x1)-F(x2)0,即F(x1)F(x2).所以F(x)在(0,1)上为减函数.