1、分层随机抽样(20分钟45分)一、选择题(每小题5分,共25分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.某城市有大型、中型与小型超市共1 500个,它们的个数之比为159,为调查超市每日的零售额情况,需通过分层随机抽样抽取30个超市进行调查,那么抽取的小型超市个数为()A.5B.9C.18D.20【解析】选C.小型超市的总个数占超市总数的=,则抽取的小型超市的个数占样本容量的,故抽取的小型超市的个数为30=18.2.某单位共有老、中、青职工430人,其中有青年职工160人,中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工身体状况,现采用分层随机抽样方法进行调查,在抽取的样本
2、中有青年职工32人,则该样本中的老年职工人数为()A.9B.18C.27D.36【解析】选B.设该单位老年职工有x人,则160+3x=430x=90,即老年职工有90人,设样本中的老年职工人数为y,则=y=18.【补偿训练】某单位有职工161人,其中业务员有104人,管理人员33人,后勤服务人员24人,现用分层随机抽样法从中抽取一个容量为20的样本,则抽取管理人员()A.3人B.4人C.5人D.13人【解析】选B.由于=8,故从管理人员中剔除1人,从而抽样比为,则抽取的管理人员为32=4(人).3.某企业有3个分厂生产同一种电子产品,第一、二、三分厂的产量之比为121,用分层随机抽样方法(每个
3、分厂的产品为一层)从3个分厂生产的电子产品中共抽取100件作使用寿命的测试,由所得的测试结果算得从第一、二、三分厂取出的产品的使用寿命的平均值分别为980 h,1 020 h,1 032 h,则抽取的100件产品的使用寿命的平均值为()A.1 011 hB.1 012 hC.1 013 hD.1 014 h【解析】选C.利用分层随机抽样可知,从3个分厂抽出的100个电子产品中,每个厂中的产品个数比也为121,故分别有25,50,25个.再由三个厂算出的平均值可得抽取的100件产品的总的平均寿命为=1 013(h).4.在120个零件中,一级品24个,二级品36个,三级品60个,用分层随机抽样方
4、法从中抽取样本量为20的样本,则每个个体被抽取的可能性是()A.B.C.D.【解析】选D.在分层随机抽样方法中,每个个体被抽取的可能性都相等,且为,所以每个个体被抽取的可能性是=.5.(多选题)一个单位有职工800人,其中具有高级职称的160人,具有中级职称的320人,具有初级职称的200人,其余人员120人,为了解职工收入情况,决定采用分层随机抽样的方法,从中抽取容量为40的样本,则下列抽取正确的是()A.高级职称抽取8人B.中级职称抽取16人C.初级职称抽取10人D.其余人员抽取6人【解析】选ABCD.抽样比例为=,故各层中依次抽取的人数为160=8(人), 320=16(人),200=1
5、0(人),120=6(人).二、填空题(每小题5分,共10分)6.国家全面实施“二孩”政策后,某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动.已知该中学所在的城镇符合“二孩”政策的已婚女性中,30岁以下的约2 400人,30岁至40岁的约3 600人,40岁以上的约6 000人.为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异,该社团用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为N的样本进行调查,已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60,则N=_. 【解析】由题意可得=,解得N=200.答案:2007.某公司生产三种型号的轿车,产量分别是1 200辆,6 000辆和2 000辆,为
6、检验该公司的产品质量,现用分层随机抽样的方法抽取46辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取_辆、_辆、_辆.【解析】三种型号的轿车共9 200辆,抽取样本为46辆,则按=的比例抽样,所以依次应抽取1 200=6(辆),6 000=30(辆),2 000=10(辆).答案:63010三、解答题8.(10分)某学校高一年级有x名学生,高二年级有300名学生,高三年级有y名学生,采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为45的样本,高一年级被抽取20人,高三年级被抽取10人,问:这个学校共有高中学生多少人?高一、高三年级各有多少人?【解析】由条件知,高二年级被抽取45-20-10=15(人),设这个学校共
7、有高中学生N人,高一年级有x人,高三年级有y人,则300=15,解得N=900.因此,x=20,y=10,即x=400,y=200.故全校共有高中学生900人,高一年级有400人,高三年级有200人.(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)1.某校高一年级有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层随机抽样的方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为()A.15B.20C.25D.30【解析】选C.设应抽取的男生人数为x,则=,解得x=25.【补偿训练】某医学院有四个饲养房,分别养有18,54
8、,24,48只白鼠供实验用.某项实验需抽取24只,你认为最合适的抽样方法为()A.在每个饲养房各抽取6只B.把所有白鼠都加上编有不同号码的颈圈,用随机抽样法确定24只C.在四个饲养房分别随手提出3,9,4,8只D.先确定在这四个饲养房应分别抽取3,9,4,8只,再由各饲养房自己加号码颈圈,用简单随机抽样法确定各自抽取的对象【解析】选D.A中对四个饲养房抽取的白鼠平均分,但由于各饲养房所养数量不一,反而造成了各个个体入选的可能性不相等,是错误的方法.B中保证了各个个体入选的可能性相等,但由于没有注意到处在四个不同环境会产生不同差异,不如采用分层随机抽样可靠性高,且统一编号、统一选择加大了工作量.
9、C中总体采用了分层随机抽样,但在每个层次中抽取时有一定的主观性,貌似随机,实则各个个体被抽到的可能性无法保证相等.2.某校有1 700名高一学生,1 400名高二学生,1 100名高三学生,高一数学兴趣小组欲采用分层随机抽样的方法在全校抽取42名学生进行某项调查,则下列说法正确的是()A.高一学生被抽到的概率最大B.高三学生被抽到的概率最大C.高三学生被抽到的概率最小D.每名学生被抽到的概率相等【解析】选D.无论采用哪种抽样,每个个体被抽到的概率相等,故每位学生被抽到的概率相等.故选D.3.分层随机抽样是将总体分成若干个互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,组成一个
10、样本的抽样方法.在九章算术第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十,丙持钱一百八十,凡三人俱出关,关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”其译文为:今有甲持560钱,乙持350钱,丙持180钱,甲、乙、丙三人一起出关,关税共100钱,要按照个人带多少钱的比例进行交税,问三人各应付多少税?则下列说法错误的是()A.甲应付51钱B.乙应付32钱C.丙应付16钱D.三者中甲付的钱最多,丙付的钱最少【解析】选B.由分层随机抽样方法可知,抽样比为=,则甲应付560=51(钱);乙应付350=32(钱);丙应付180=16(钱).故选B.【补偿训练】为了了解A,B,C三个贫困县6
11、0岁以上老年人的身体状况,现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为1 200的样本,A,B,C三个县60岁以上老年人数之比依次为k53,已知从A县60岁以上老年人中抽取了240人,则在C县的60岁以上的老年人中应抽取人数为()A.280B.300C.360D.420【解析】选C.因为在A县60岁以上的老年人中抽取240人,即抽样比为=,所以=,解得k=2.故应从C县60岁以上老年人中抽取1 200= 360(人).4.(多选题)某单位有职工100人,不到35岁的有45人,35岁到49岁的有25人,剩下的为50岁以上(包括50岁)的人,用分层随机抽样的方法从中抽20人,下列说法正确的有()A.不到3
12、5岁的抽9人B.35岁到49岁的抽7人C.50岁以上(包括50岁)的抽6人 D.三层的抽样比可以不同,每一层必须等可能抽样【解析】选AC.三层的抽样比必须相同.由于样本容量与总体个体数之比为=,故各年龄段抽取的人数依次为45=9(人),25=5(人),20-9-5=6(人).二、填空题(每小题5分,共20分)5.一工厂生产了16 800件某种产品,它们分别来自甲、乙、丙3条生产线.为检查这批产品的质量,决定采用分层随机抽样的方法进行抽样,已知从甲、乙、丙3条生产线抽取的产品个数分别是a,b,c,且2b=a+c,则乙生产线生产了_件产品.【解析】设甲、乙、丙3条生产线各生产了T甲,T乙,T丙件产
13、品,则abc=T甲T乙T丙,即=.又2b=a+c,所以所以T乙=5 600.答案:5 6006.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如表(每名同学只参加一个小组)(单位:人).篮球组书画组乐器组高一4530a高二151020学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查,按小组分层随机抽样的方法,从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人,结果篮球组被抽出12人,则a的值为_.【解析】由题意知=,解得a=30.答案:30【补偿训练】某校对全校男女学生共1 600名进行健康调查,选用分层随机抽样法抽取一个容量为200的样本.已知女生比男生少抽了10人,则该校的女生人数应是_. 【解析】由已知得男生抽了105人
14、,女生抽了95人,设女生人数为x,则有=,所以x=760.答案:7607.某企业三月中旬生产A,B,C三种产品共3 000件,根据分层随机抽样的结果,该企业统计员制作了如下的统计表:由于疏忽,表格中A,C产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10.根据以上信息,可得C产品有_件. 【解析】设C产品的数量为x,则A产品的数量为(1 700-x),C产品的样本容量为a,则A产品的样本容量为(10+a),由分层随机抽样的定义可知=,解得x=800.答案:8008.经问卷调查,某班学生对摄影分别执“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度,其中执“一般”态度的比“不喜
15、欢”的多12人,按分层随机抽样方法从全班选出部分学生座谈摄影,如果选出的是5位“喜欢”摄影的同学、1位“不喜欢”摄影的同学和3位执“一般”态度的同学,那全班学生中“喜欢”摄影的_人,全班共有_人.【解析】设班里“喜欢”的有y人,“一般”的有x人,“不喜欢”的有(x-12)人,则=,解得x=18.因为=,所以y=30.所以全班共有30+18+6=54(人).答案:3054三、解答题9.(10分)山东某高中针对学生发展要求,开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团,已知报名参加这两个社团的学生共有800人,按照要求每人只能参加一个社团,各年级参加社团的人数情况如表:高一年级高二年级高三年级泥
16、塑abc剪纸xyz其中xyz=532,且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的,为了了解学生对两个社团活动的满意程度,从中抽取一个50人的样本进行调查,则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取多少人.【解析】方法一:因为“泥塑”社团的人数占总人数的,故“剪纸”社团的人数占总人数的,所以“剪纸”社团的人数为800=320.因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为=,所以“剪纸”社团中高二年级人数为320=96.由题意知,抽样比为=,所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96=6.方法二:因为“泥塑”社团的人数占总人数的,故“剪纸”社团的人数占总人数的,所以抽取的50人的样本中,“剪纸”社团中的人数为50=20.又“剪纸”社团中高二年级人数比例为=,所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为20=6.