1、丰台区20212022学年度第一学期期末练习高三数学 2022.01第一部分 （选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1若集合，或，则（A） （B） （C） （D）2在复平面内，复数对应的点位于（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限3已知等差数列的前项和为若，则（A） （B） （C） （D）4下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（A） （B） （C） （D）5已知是两个不同的平面，直线，那么“”是“”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
2、6已知抛物线的焦点为，点在上. 若是坐标原点，则（A） （B） （C） （D） 7为普及冬奥知识，某校在各班选拔部分学生进行冬奥知识竞赛. 根据参赛学生的成绩，得到如图所示的频率分布直方图. 若要对40%成绩较高的学生进行奖励，则获奖学生的最低成绩可能为 （A） （B） （C） （D）958. 已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（A） （B） （C） （D）9. 声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：）. 人在正常说话时，声强级大约在4060 dB之间，声强级超过60 dB的声音会对人的神经系统造成不同程度的伤害给出下列四个声强，其声强级在4060 dB之间的是（A
3、）（B）（C）（D）10. 已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：在区间上有且仅有3个不同的零点；的最小正周期可能是；的取值范围是； 在区间上单调递增.其中所有正确结论的序号是（A）（B）（C）（D） 第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11. 在的展开式中，的系数为 （用数字作答）12. 在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与以原点为圆心的单位圆交于点，则 13. 已知双曲线的离心率为，的焦点到其渐近线的距离为5，则 14. 设是等比数列，能够说明“若，则”是假命题的一组和公比的值依次为 15已知点和圆上两个不同的点，满足，是弦的中点
4、，给出下列四个结论：的最小值是4； 点的轨迹是一个圆；若点，点，则存在点，使得；面积的最大值是. 其中所有正确结论的序号是 .三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.（本小题共13分）在中，再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知.（）求； （）求的面积.条件：；条件：.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.17.（本小题共15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，为棱的中点，.（）求证：平面；（）求平面与平面夹角的余弦值；（）求直线到平面的距离.18.（本小题共14分）为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了为期5天的传
5、统艺术活动，从第1天至第5天依次开展“书画”、“古琴”、“汉服”、“戏曲”、“面塑”共5项传统艺术活动，每名学生至少选择其中一项进行体验. 为了解该校上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表：传统艺术活动第1天第2天第3天第4天第5天书画古琴汉服戏曲面塑高一体验人数8045552045高二体验人数4060608040高三体验人数1550407530（）从样本中随机选取1名学生，求这名学生体验戏曲活动的概率；（）通过样本估计该校全体学生选择传统艺术活动的情况, 现随机选择3项传统艺术活动，设选择的3项活动中体验人数超过该校学生人数50
6、%的有项，求的分布列和数学期望；（）为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行访谈. 设这3名学生均选择了第天传统艺术活动的概率为，写出 的大小关系.19.（本小题共14分）已知函数且.() 当时，求曲线在点处的切线方程；（）若恒成立，求的取值范围.20.（本小题共15分）已知椭圆过点，离心率为.（）求椭圆的方程；（）设椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆交于不同的两点，（均异于点），直线，分别与直线交于点，. 求证：为定值.21.（本小题共14分）若有穷数列且满足，则称为M数列.（）判断下列数列是否为M数列，并说明理由； 1，2，4，3. 4
7、，2，8，1.（）已知M数列中各项互不相同. 令，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列;（）已知M数列是且个连续正整数的一个排列.若，求的所有取值. 丰台区20212022学年度第一学期期末练习高三数学参考答案 202201一、选择题共10小题，每小题4分，共40分题号12345678910答案 BDABAA CDCB二、填空题共5小题，每小题5分，共25分1180 12 1314，(答案不唯一) 15 三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 16.（本小题共13分）解： 选条件：.（）在中，因为，由余弦定理，得.因为, 所以. .7分（）由（）可得.所
8、以的面积. .13分选条件：.（）在中，因为,所以.由正弦定理，得.由题可知,所以.所以. .7分 （）由（）可得.因为， 所以的面积. .13分 17.（本小题共15分）证明：（）因为平面平面， 平面平面，平面，所以平面. .4分 （）因为底面为正方形，平面，所以，两两互相垂直如图，建立空间直角坐标系因为，所以， ，.因为平面，所以为平面的一个法向量.设平面的一个法向量为，则 即令，则.于是.设平面与平面的夹角为，所以 即平面与平面夹角的余弦值为 .11分（）由（）知，平面的法向量为，.因为，且平面，所以平面.所以点到平面的距离即为直线到平面的距离.因为，所以点到平面的距离为，即直线到平面的
9、距离为. .15分 18（本小题共14分）解：（） 由题意知，样本中学生共有100+100+100=300人，其中体验戏曲活动的学生共20+80+75=175人，设事件A为“从样本学生中随机选取1名学生，这名学生体验戏曲活动”，故所求概率为. 4分（）由题意知，体验人数超过该校学生人数50%的传统艺术活动有3项，的所有可能值为1，2，3.，.所以的分布列为123故的数学期望. .11分（）. .14分 19.（本小题共14分）解：（）当时，因为，所以，.又因为，所以曲线在点处的切线方程为.即. .4分 （）因为且， 所以 当时，所以在上单调递增.取，则，不符合题意.当时，令，解得或（舍）. 当
10、时，所以在区间上单调递减. 当时，所以在区间上单调递增. 所以在上的最小值为. 若恒成立，只需，解得.综上可知，的取值范围是. .14分20（本小题共15分）解：（）由题意得解得，.所以椭圆的方程是. .5分（）由题意知，直线的斜率存在.设直线的方程为（）， 由得.则，.依题意，解得. 因为点的坐标为，所以直线的方程为. 令，得点的纵坐标为，所以. 同理，可得.于是 .所以为定值6. .15分21（本小题共14分）解：（）因为，所以该数列不是M数列；因为，所以该数列是M数列. .4分 （）必要性： 若数列是等差数列，设公差为，则.所以数列是常数列.充分性： 若数列是常数列， 则，即. 所以或.因为数列的各项互不相同，所以.所以数列是等差数列. .8分（）当时，因为，所以，不符合题意； 当时，数列为.此时，符合题意；当时，数列为.此时，符合题意；下证当时，不存在满足题意. 令， 则，且，所以有以下三种可能：； ；.当时，因为，由（）知：是公差为1（或1）的等差数列. 当公差为1时，由得或， 所以或，与已知矛盾.当公差为1时，同理得出与已知矛盾.所以当时，不存在满足题意.其它情况同理.综上可知，的所有取值为4或5. .14分 （若用其他方法解题，请酌情给分）